Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$, nên vectơ pháp tuyến của $AH$ là $\vec{n}=(-7;-3)$ (tương đương $(7;3)$). Phương trình: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$. Khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;2\sqrt{3})$ và $n_2=(0;1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, Câu 11: C).

Đáp án chính thức (theo thứ tự a, b, c, d): S, Đ, S, Đ.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos 45^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Suy ra $\frac{|m+2|}{\sqrt{4+m^2}}=1$, bình phương hai vế: $(m+2{)}^2=m^2+4\Rightarrow m^2+4m+4=m^2+4\Rightarrow 4m=0\Rightarrow m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, ${\vec{n}}_2=(2;0)$, $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng góc $45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 3267: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-8y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-8)$ và $d_2:8x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(8;3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 8+(-8)\cdot 3=24-24=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ có hệ số góc $1$, nên $AB\perp CH$ có hệ số góc $-1$. Đường thẳng $AB$ qua $A(1;-2)$: $y=-x-1\iff x+y+1=0$.

$B$ là giao của $AB$ và phân giác $BN:2x+y+5=0$: thay $y=-x-1$ ta được $2x-x-1+5=0\Rightarrow x=-4$, $y=3$. Vậy $B(-4;3)$, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$.

Phân giác trong $BN$ là trục đối xứng giữa tia $BA$ và tia $BC$, nên phản xạ của $A$ qua $BN$, gọi là $A^{\prime }$, nằm trên đường thẳng $BC$. Khoảng cách có dấu của $A$ tới $BN$: $\frac{2(1)+(-2)+5}{5}=1$. Chân đường vuông góc: $(1;-2)-1\cdot (2;1)=(-1;-3)$, nên $A^{\prime }=2(-1;-3)-(1;-2)=(-3;-4)$.

Đường thẳng $BC$ qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $y=-7x-25$.

$C$ thuộc $CH$: $y=x+1$, giải $x+1=-7x-25\Rightarrow x=-\frac{13}{4}$, $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Chiều cao từ $C$ xuống $AB$: $d(C,AB)=\frac{\left|-\frac{13}{4}-\frac{9}{4}+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2\sqrt{2}}$.

Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{45}{4}$. Vậy $a=45$, $b=4$, $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi trên đường thẳng AB. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là $d(C,AB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|60\cdot 10-80\cdot 10|}{\sqrt{60^2+80^2}}=\frac{200}{100}=2$. Kiểm tra chân đường vuông góc: $t=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{600+800}{10000}=0.14\in [0;1]$ nên điểm gần nhất nằm trên đoạn AB. Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến đảo C là 2 km, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(3;-1)$, $B(4;3)$ là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1;4)$. Đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát: qua $A$ với hệ số góc $k=4/1=4$: $y+1=4(x-3)\iff y=4x-13$. Kiểm tra các phương án: phương án D cho $x=5+t,y=7+4t$ có vecto chỉ phương $(1;4)$ đúng, và điểm tương ứng $t=0$ là $(5;7)$, thỏa mãn $7=4\cdot 5-13$. Vậy phương án D đúng (đường thẳng này đi qua điểm $(5;7)$ thuộc $d$ và có cùng vecto chỉ phương). Các phương án A, C có vecto chỉ phương $(4;-1)$ sai; phương án B đi qua $(3;1)$ không thuộc đường thẳng (vì $1\ne 4\cdot 3-13=-1$). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=C-B=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$. Vì $AH\perp BC$ nên vectơ pháp tuyến của $AH$ song song với $\overrightarrow{BC}$, chọn ${\vec{n}}_{AH}=(7;3)$ (vì $(7;3)=-(-7;-3)$ nên song song với $\overrightarrow{BC}$). Phương trình $AH$: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x-14+3y+3=0\iff 7x+3y-11=0$. Thử lại với $A(2;-1)$: $7\cdot 2+3\cdot (-1)-11=14-3-11=0$ (đúng). Vậy đáp án D, khớp bảng đáp án mã đề 3267.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua A(3;-1), B(4;3) là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1;4)$. Đường thẳng qua A có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1+4t\end{array}$. Xét các phương án: A có VTCP $(1;4)$ và điểm $(5;7)$ thuộc đường thẳng (với $t=2$: $x=3+2=5$, $y=-1+8=7$) nên A đúng. B có điểm $(3;1)$ không thuộc đường thẳng (với $x=3$ thì $y=-1$). C và D có VTCP $(4;-1)$ không cùng phương với $(1;4)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;2) vào d1: 3(1)-2(2)-2=-3≠0 nên M không thuộc d1 → Sai. b) Tham số hóa d2 vào d1: 3(1+t)-2(7-5t)-2=0 ⟹ 13t-13=0 ⟹ t=1 ⟹ N(2;2) → Đúng. c) d2 có VTCP (1;-5) nên đường cần tìm có VTCP (1;-5), qua M(1;2): y-2=-5(x-1) ⟺ 5x+y-7=0 → Đúng. d) N(2;2), M(1;2) cùng nằm phía trên trục hoành. Lấy điểm M' đối xứng M qua trục hoành: M'(1;-2). IM+IN nhỏ nhất khi I là giao của M'N với trục hoành. Đường M'N qua (1;-2) và (2;2) có hệ số góc 4, phương trình y=4x-6; y=0 ⟹ x=3/2. Vậy hoành độ của I bằng 3/2, không phải 1 → Sai. Kết quả: S, Đ, Đ, S khớp đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;2) vào 3x-2y-2=0: 3-4-2=-3≠0, nên M không thuộc d1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=1+t, y=7-5t vào d1: 3(1+t)-2(7-5t)-2=0 ⟹ 13t=13 ⟹ t=1 ⟹ N(2;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
d2 có VTCP (1;-5). Đường qua M(1;2) song song d2: y-2=-5(x-1) ⟺ 5x+y-7=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lấy M'(1;-2) đối xứng M qua trục hoành. I là giao của M'N với Ox. Đường M'N: y=4x-6, cho y=0 được x=3/2. Vậy hoành độ của I bằng 3/2 chứ không bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}.$$ Với $\theta =45^{\circ }$ thì $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó $$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺|2+m|=\sqrt{4+m^2}.$$ Bình phương hai vế: $(2+m{)}^2=4+m^2⟺4+4m+m^2=4+m^2⟺4m=0⟺m=0.$ Thử lại: với $m=0$, ${\Delta }_2:2x+2026=0$ là đường thẳng đứng, ${\Delta }_1$ có hệ số góc $-1$ (nghiêng $135^{\circ }$), góc giữa chúng đúng bằng $45^{\circ }$. Vậy $m=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1354: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ (hệ số góc $1$) là đường vuông góc xuống $AB$, nên $AB$ có hệ số góc $-1$, đi qua $A(1;-2)$: $x+y+1=0$.

Phân giác trong tại $B$ là $BN:2x+y+5=0$. Phản xạ điểm $A$ qua $BN$: $d=\frac{2\cdot 1+(-2)+5}{2^2+1^2}=\frac{5}{5}=1$, nên $A^{\prime }=A-2\cdot 1\cdot (2;1)=(-3;-4)$. Điểm $A^{\prime }$ nằm trên đường thẳng $BC$.

$B$ là giao của $AB$ và $BN$: $x+y+1=0$, $2x+y+5=0\Rightarrow x=-4,y=3$, tức $B(-4;3)$.

$BC$ đi qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $7x+y+25=0$.

$C=BC\cap CH$: thay $y=x+1$ vào $7x+y+25=0$: $8x+26=0\Rightarrow x=-\frac{13}{4},y=-\frac{9}{4}$. Vậy $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Diện tích: $\overrightarrow{AB}=(-5;5)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{17}{4};-\frac{1}{4}\right)$.
$$S=\frac{1}{2}\left|(-5)\left(-\frac{1}{4}\right)-5\left(-\frac{17}{4}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{90}{4}=\frac{45}{4}.$$

Vậy $a=45,b=4$ (tối giản), $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-8y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-8)$ và $d_2:8x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(8;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 8+(-8)\cdot 3=24-24=0$, suy ra $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, do đó $d_1\perp d_2$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1354, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi trên đoạn thẳng AB. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB: $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|60\cdot 10-80\cdot 10|}{\sqrt{60^2+80^2}}=\frac{200}{100}=2$. Kiểm tra chân đường vuông góc: $t=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{600+800}{10000}=0,14\in [0;1]$ nên chân vuông góc nằm trên đoạn AB, khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến đảo C đúng bằng 2 km. Khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;2\sqrt{3})$, và $d_2:y-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1354: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1354: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$. Vì $AH\perp BC$ nên $AH$ nhận $\vec{n}=(-7;-3)$ làm vectơ pháp tuyến (tương đương $(7;3)$). Phương trình: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$. Kiểm tra: $A(2;-1)$: $14-3-11=0$ đúng. Khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc đường thẳng Δ khi tồn tại t sao cho x=1+2t, y=2−t. Thử từng điểm: M₄(2;2): từ x=2 ⇒ t=1/2, khi đó y=2−1/2=3/2≠2, loại. M₂(2;−1): t=1/2 ⇒ y=3/2≠−1, loại. M₃(1;1): t=0 ⇒ y=2≠1, loại. M₁(1;2): t=0 ⇒ x=1, y=2, thỏa mãn. Vậy M₁(1;2) thuộc Δ, đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 1: D).