Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

a. Ta có $E(5;12)$, $F(15;6)$.

$\overrightarrow{EF}=(10;-6)\Rightarrow \overrightarrow{n_{EF}}=(3;5)$.

Phương trình tổng quát của $EF$ là

$3(x-5)+5(y-12)=0\iff 3x+5y-75=0$ (1)

(Điểm: 0,25 / 0,25)

b. Gọi H là điểm cần tìm. Để đường đi ngắn nhất thì $HB\perp EF$. Giả sử $H(a;b)\in EF$ khi đó $3a+5b-75=0$.

lại có $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{EF}=0\iff 5a-3b=0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H\left(\frac{225}{34};\frac{375}{34}\right)$

(Điểm: 0,25đ / 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ: từ $d_2:x=7+3y$, thay vào $d_1$: $2(7+3y)-5y=-3\Rightarrow 14+y=-3\Rightarrow y=-17$, suy ra $x=7+3(-17)=-44$. Thử lại: $2(-44)-5(-17)=-88+85=-3$ đúng; $-44-3(-17)=-44+51=7$ đúng. Vậy giao điểm là $M(-44;-17)$, khớp đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: đường thẳng $2x-y+9=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$. b) Sai: vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(1;2)$ (hoặc $(2;4)$...), không phải $(2;1)$ vì $(2;1)\cdot (2;-1)=3\ne 0$. c) Đúng: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=5$. d) Sai: đường tròn tâm $M(3;-4)$ bán kính $R=7$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=49$, không phải $=7$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 302, Câu 1: Đ, S, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $2x-y+9=0$, hệ số của $x,y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương phải vuông góc với $\vec{n}=(2;-1)$. Ta có $(2;1)\cdot (2;-1)=4-1=3\ne 0$, nên $(2;1)$ không là vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương đúng là $\vec{u}=(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ với dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ được tâm $I(1;-3)$, $R=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $M(3;-4)$ bán kính $R=7$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=7^2=49$, không phải $=7$.

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-1)-3(y+1)=0$ $\Rightarrow 2x-2-3y-3=0\Rightarrow 2x-3y-5=0$.
b) $d(A;\Delta )=\frac{\left|3.1-4.(-1)-21\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{14}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình: $(d_1):x+y+1=0$ và $(d_2):2x+y-3=0$. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $(2x+y-3)-(x+y+1)=0\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4$. Thay vào $(d_1)$: $4+y+1=0\Rightarrow y=-5$. Vậy giao điểm là $(4;-5)$, trùng với đáp án C trong bảng đáp án mã đề 302.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\ne 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$. Thật vậy, lấy hai điểm phân biệt $M(x_1;y_1)$, $N(x_2;y_2)$ thuộc $(d)$ thì $a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$, tức $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MN}=0$, nên $\vec{n}=(a;b)$ vuông góc với $(d)$; điều kiện $a^2+b^2\ne 0$ bảo đảm $\vec{n}\ne \vec{0}$. Do đó đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 302, Câu 9: B). Lưu ý: trong đề gốc phương án C và D bị in trùng nhau $\vec{n}=(a;-b)$, đây là lỗi in của nguồn nhưng không ảnh hưởng đến đáp án đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình: từ $(d_1):x+y+1=0$ và $(d_2):2x+y-3=0$, trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai ta được $x-4=0\Rightarrow x=4$. Thay vào $(d_1)$: $4+y+1=0\Rightarrow y=-5$. Vậy giao điểm là $(4;-5)$, tương ứng phương án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $\Delta :2x-y+9=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$ → Đúng. b) Vectơ chỉ phương phải vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{u}=(1;2)$; $\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=4-1=3\ne 0$ → Sai. c) $(C):(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=5$ → Đúng. d) Đường tròn tâm $M(3;-4)$, bán kính $R=7$ phải có dạng $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=49$ (bình phương bán kính), không phải $=7$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $2x-y+9=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot 2+(-1)\cdot 1=3\ne 0$ nên không vuông góc với pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương đúng dạng $\vec{u}=(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ cho tâm $I(1;-3)$, $R=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $M(3;-4)$ bán kính $R=7$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=49$, không phải $=7$.

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-1)-3(y+1)=0$ $\Rightarrow 2x-2-3y-3=0\Rightarrow 2x-3y-5=0$.
b) $d(A;\Delta )=\frac{\left|3.1-4.(-1)-21\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{14}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\ne 0$ có vectơ pháp tuyến dạng $\vec{n}=(a;b)$ vì $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-b;a)$: $a\cdot (-b)+b\cdot a=0$. Do đó đáp án B, trùng với đáp án của đề (Mã đề 301, Câu 7: B). Lưu ý: đề gốc in phương án C và D giống hệt nhau $\vec{n}=(a;-b)$ — lỗi của đề nguồn, không ảnh hưởng đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi) ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;-4)$. ${\Delta }_2$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;4)=-1\cdot (3;-4)$, tức $\overrightarrow{n_2}$ song song với $\overrightarrow{u_1}$. Do đó $\overrightarrow{u_1}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ${\Delta }_2$ (là $(4;3)$), nên hai đường thẳng vuông góc nhau, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2+4·(-3)+6 = 6-12+6 = 0, nên A thuộc Δ. Đúng.
b) Vectơ AB = (1-2; 0-(-3)) = (-1; 3), cùng phương với u=(1;-3) vì AB = -u. Đúng.
c) d(A,Δ) = |3·2+4·(-3)+6|/5 = 0; d(B,Δ) = |3·1+4·0+6|/5 = 9/5. Vậy 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0 = d(A,Δ). Sai.
d) BA = √((2-1)²+(-3-0)²) = √10, nên đường tròn tâm B bán kính BA là (x-1)²+y² = 10, không phải 100. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2+4·(-3)+6 = 0 nên A thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-1;3) = -(1;-3) nên cùng phương với u=(1;-3).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ)=0, d(B,Δ)=9/5, nên 5·d(B,Δ)=9 ≠ 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
BA = √10 nên phương trình đúng là (x-1)²+y²=10, không phải 100.

$d(A;\Delta )=\frac{|-m+2-m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt{5}\iff |m-3|=\sqrt{5}.\sqrt{m^2+1}$ $\iff 4m^2+6m-4=0\iff \{\begin{array}{l}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}$.

$M\in \Delta$ nên $M(1+2t;t)$. $$O{M}^2=(1+2t{)}^2+t^2=5t^2+4t+1=5{\left(t+\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{5}\ge \frac{1}{5}$$ $OM$ ngắn nhất khi $O{M}^2$ ngắn nhất, khi đó $t+\frac{2}{5}=0\iff t=-\frac{2}{5}$. Vậy $M\left(\frac{1}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $d_1,d_2$: $2x+y-1=0$ và $x+2y+1=0$. Nhân phương trình thứ hai với 2: $2x+4y+2=0$, trừ phương trình thứ nhất: $3y+3=0\Rightarrow y=-1$, suy ra $2x-1-1=0\Rightarrow x=1$. Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $P(1;-1)$. Ba đường thẳng đồng quy khi $d_3$ đi qua $P$: $m\cdot 1-(-1)-7=0\iff m-6=0\iff m=6$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:7x+y-3=0$ và ${\Delta }_2:7x+y+12=0$ có cùng dạng $ax+by+c=0$ với $a=7,b=1$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là $d({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|12-(-3)|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song cùng dạng $7x+y+c=0$. Khoảng cách $d=\frac{|12-(-3)|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 132, Câu 11 = A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;-3) vào Δ: 3·2 + 4·(-3) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0, nên A thuộc Δ. Đúng.
b) Vectơ AB = B - A = (1-2; 0-(-3)) = (-1; 3), cùng phương với u = (1; -3) vì AB = -u. Đúng.
c) d(A,Δ) = |3·2 + 4·(-3) + 6|/√(9+16) = 0/5 = 0; d(B,Δ) = |3·1 + 4·0 + 6|/5 = 9/5. Khi đó 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0 = d(A,Δ). Sai.
d) BA = √((2-1)² + (-3-0)²) = √10, nên đường tròn tâm B bán kính BA là (x-1)² + y² = 10, không phải 100. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
3·2 + 4·(-3) + 6 = 0 nên A thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-1; 3) = -(1; -3) cùng phương với u = (1; -3).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = 0, d(B,Δ) = 9/5, nên 5·d(B,Δ) = 9 ≠ 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
BA = √10 nên phương trình đúng là (x-1)² + y² = 10.