Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

$d(A;\Delta )=\frac{|-m+2-m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt{5}\iff |m-3|=\sqrt{5}.\sqrt{m^2+1}$ $\iff 4m^2+6m-4=0\iff \{\begin{array}{l}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}$.

$M\in \Delta$ nên $M(1+2t;t)$. $$O{M}^2=(1+2t{)}^2+t^2=5t^2+4t+1=5{\left(t+\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{5}\ge \frac{1}{5}$$ $OM$ ngắn nhất khi $O{M}^2$ ngắn nhất, khi đó $t+\frac{2}{5}=0\iff t=-\frac{2}{5}$. Vậy $M\left(\frac{1}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1:x=-2+3t,y=1-4t$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;-4)$. Đường thẳng ${\Delta }_2:-3x+4y-14=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;4)$, nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(4;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=3\cdot 4+(-4)\cdot 3=12-12=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $d_1:2x+y-1=0$ và $d_2:x+2y+1=0$: từ hệ $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x+2y=-1\end{array}$, giải được $x=1,y=-1$. Để ba đường thẳng đồng quy, điểm $(1;-1)$ phải thuộc $d_3:mx-y-7=0$, tức $m\cdot 1-(-1)-7=0\iff m-6=0\iff m=6$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−2y−1=0 có vectơ pháp tuyến n1=(1;−2). Δ2: −4x+8y−1=0 có n2=(−4;8)=−4(1;−2), nên n2 cùng phương với n1 ⇒ hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét tỉ số hệ số: 1/(−4) = (−2)/8 = −1/4 nhưng 1/(−4) ≠ (−1)/(−1)... cụ thể so sánh a/c = 1/(−4) = −1/4, b/d = (−2)/8 = −1/4, còn e/f = (−1)/(−1) = 1 ≠ −1/4, nên ba cặp hệ số không cùng tỉ lệ ⇒ hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy Δ1 // Δ2. (Cách khác: y = (x−1)/2 và y = (4x+1)/8 = x/2 + 1/8 có cùng hệ số góc 1/2 nhưng khác hệ số chặn.) Khớp đáp án nguồn C (Mã đề 2222).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II: a) Đường thẳng d: 4x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến n=(4;1) → Đúng. b) Đường thẳng Δ: x-4y+15=0 có pháp tuyến n_Δ=(1;-4), nên vectơ chỉ phương là u=(4;1) (hoặc (1;4) sau khi đổi dấu... chính xác u=(4;1)); vectơ (1;-4) là pháp tuyến chứ không phải chỉ phương → Sai. c) n_d·n_Δ = 4·1 + 1·(-4) = 0, hai đường vuông góc nên cắt nhau → Đúng. d) Giải hệ 4x+y=8, x-4y=-15: y=8-4x, thay vào: x-4(8-4x)=-15 ⇒ 17x=17 ⇒ x=1, y=4. Giao điểm là A(1;4), không phải A(1;5) → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d: 4x+y-8=0 có hệ số A=4, B=1 nên vectơ pháp tuyến là n=(4;1). Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ: x-4y+15=0 có pháp tuyến n=(1;-4), do đó vectơ chỉ phương phải vuông góc với n, ví dụ u=(4;1). Vectơ (1;-4) chính là pháp tuyến, không phải chỉ phương. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_d·n_Δ = 4·1 + 1·(-4) = 0 nên d vuông góc với Δ, hai đường cắt nhau. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ {4x+y=8; x-4y=-15} được x=1, y=4, giao điểm là A(1;4) chứ không phải A(1;5). Sai.

Đáp án chính thức: ĐA: $90^0$.

Lời giải: Đường thẳng $AB$ có phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}=1\iff 2x+y-6=0$. Giả sử vị trí bến thuyền là điểm $M\left(x;4-x^2\right)$ trên bờ hồ với $0\le x\le 2$. Khoảng cách từ điểm $M\left(x;4-x^2\right)$ đến đường thẳng $AB$ là: $$d=\frac{\left|2x+4-x^2-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|x^2-2x+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{(x-1{)}^2+1}{\sqrt{5}}.$$ Vậy $d\ge \frac{1}{\sqrt{5}}$ và dấu bằng xảy ra khi $x=1$. Vậy khoảng cách ngắn nhất là $\frac{1}{\sqrt{5}}.100\approx 44,7m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-5=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(3;1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0. Kiểm tra: A: $(3;-1)\cdot (3;1)=9-1=8\ne 0$. B: $(1;3)\cdot (3;1)=3+3=6\ne 0$. C: $(1;-3)\cdot (3;1)=3-3=0$ nên ${\Delta }_3:x-3y-5=0$ vuông góc với $d$. D: $(3;1)\cdot (3;1)=10\ne 0$ (song song với $d$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án in tiêu đề cột là "2222" nhưng mã đề là 222).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $I(-1;2)$ với vtpt $\vec{n}(1;2)$ có phương trình: $1(x+1)+2(y-2)=0\iff x+1+2y-4=0\iff x+2y-3=0$. Kiểm tra: $I(-1;2)$: $-1+4-3=0$ đúng. Khớp đáp án nguồn (mã đề 2222, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song khi có cùng vectơ pháp tuyến (hoặc cùng hệ số a, b) và khác nhau. Đường thẳng $d:x+2y+3=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$. Xét các phương án: A có $\vec{n}=(2;-2)$, khác; C có $\vec{n}=(1;-2)$, khác; D có $\vec{n}=(1;-2)$, khác; B: ${\Delta }_1:x+2y+6=0$ có $\vec{n}=(1;2)$ trùng với $\vec{n}$ của $d$, và $\frac{6}{3}\ne \frac{1}{1}$ nên hai đường thẳng phân biệt, do đó song song. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+y-2=0$ và $d_2:2x+y-3=0$ có hệ số góc lần lượt $a_1=-1$ và $a_2=-2$. Vì $a_1\ne a_2$ nên hai đường không song song và không trùng nhau. Kiểm tra vuông góc: $a_1{a}_2=(-1)(-2)=2\ne -1$ nên không vuông góc. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau (không vuông góc). Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-4y+2=0$ và $d_2:3x-4y+5=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-4)$ và $\frac{3}{3}=\frac{-4}{-4}=1\ne \frac{2}{5}$ nên $d_1\parallel d_2$, không cắt nhau và không trùng nhau.
a) Sai: Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-4(2)+2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$; hơn nữa $d_1\parallel d_2$ nên không có giao điểm chung.
b) Đúng: Từ phương trình $3x-4y+2=0$, vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(3;-4)$.
c) Sai: Vì $\frac{2}{5}\ne 1$ nên hai đường thẳng song song, không trùng nhau.
d) Đúng: Vectơ chỉ phương của $d_2$ vuông góc với pháp tuyến $(3;-4)$, ví dụ $\vec{u}=(4;3)$ vì $3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$.
Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 111, câu 14): a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-4(2)+2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$; hơn nữa $d_1\parallel d_2$ (cùng pháp tuyến, hệ số tự do khác nhau) nên hai đường không cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3x-4y+2=0$ cho vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-4)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3}{3}=\frac{-4}{-4}\ne \frac{2}{5}$ nên $d_1$ và $d_2$ song song, không trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_2$ vuông góc với pháp tuyến $(3;-4)$, ví dụ $\vec{u}=(4;3)$ vì $3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$. Đúng.

$$\cos \alpha =\frac{|1.3+2.(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$$ Góc $\alpha \approx 81,87^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung, tức là hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$ cùng phương (tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{n_2}=k\overrightarrow{n_1}$) và $d_1$ không trùng $d_2$ (mọi điểm $M\in d_1$ thì $M\notin d_2$). Xét các phương án: B và D ($a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$, tức $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$) là điều kiện vuông góc, sai. C ($\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$) chỉ là trường hợp riêng của cùng phương và có thể dẫn đến trùng nhau, không đủ điều kiện. Phương án A phát biểu đúng điều kiện song song, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-2y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-2)$ và $d_2:2x+3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 2+(-2)\cdot 3=6-6=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(2;1)$ với véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$ có phương trình: $3(x-2)-2(y-1)=0\iff 3x-6-2y+2=0\iff 3x-2y-4=0$. Thử lại $A(2;1)$: $3(2)-2(1)-4=0$ đúng. Khớp với đáp án D (cũng khớp bảng đáp án mã đề 111, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Δ₂: 3x−y=0 ⟺ y=3x. Với x=t thì y=3t, nên phương trình tham số đúng. b) Thay y=3x vào Δ₁: 3x+4(3x)+15=0 ⟹ 15x+15=0 ⟹ x=−1, y=−3. Giao điểm là N(−1;−3), không phải N(1;−3) → sai. c) Thay M(−2;−1) vào Δ₁: 3(−2)+4(−1)+15=−6−4+15=5≠0 → M không thuộc Δ₁ → sai. d) Δ₁: 3x+4y+15=0 có vectơ pháp tuyến n₁=(3;4) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂: y=3x, chọn x=t thì y=3t, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ được giao điểm N(−1;−3), không phải N(1;−3).
c) (AI giải đề cho tôi)
3(−2)+4(−1)+15=5≠0 nên M không thuộc Δ₁.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của 3x+4y+15=0 là (3;4).

a) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng $d$. Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$ nên có PT: $x-y+m=0$. Vì $M\in \Delta$ nên ta có: $5+m=0\iff m=-5$. Vậy $\Delta$ có phương trình: $x-y-5=0$. b) Xe khách chạy trên đường thẳng $d$, vị trí bắt được sóng tốt nhất là điểm $N$ thuộc $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu của $M$ trên $d$. Đường thẳng MN đi qua M và vuông góc với d có phương trình: $x+y-1=0$. Toạ độ N là nghiệm của hệ pt: $\{\begin{array}{l}x-y+5=0\\ x+y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\Rightarrow N(-2;3)$. Ta có: $MN=5\sqrt{2}<10$ (t/m). Vậy $\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\end{array}\Rightarrow S=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(1;2)$ đến đường thẳng $5x-12y-7=0$: $d(A,d)=\frac{|5\cdot 1-12\cdot 2-7|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|5-24-7|}{13}=\frac{26}{13}=2$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng mã đề 243.