Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-1$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1)$. Khớp với đáp án C (mã đề 243, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $3x-4y-2=0$, vecto pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(3;-4)$, không phải $(3;4)$. b) Đúng: thay $M(2;1)$: $3\cdot 2-4\cdot 1-2=0$, nên $M\in {\Delta }_1$. c) Đúng: hệ $\{\begin{array}{l}3x-4y-2=0\\ x-4y=0\end{array}$, từ phương trình hai $x=4y$, thay vào: $12y-4y-2=0\Rightarrow y=\frac{1}{4}$, $x=1$. Vậy giao điểm $N\left(1;\frac{1}{4}\right)$. d) Sai: ${\Delta }_2:x-4y=0\Rightarrow y=\frac{x}{4}$, vecto chỉ phương $(1;\frac{1}{4})$, phương trình tham số qua gốc $O(0;0)$ là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{t}{4}\end{array}$, không phải $y=4t$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của ${\Delta }_1:3x-4y-2=0$ là ${\vec{n}}_1=(3;-4)$, không phải $(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(2;1)$ vào ${\Delta }_1$: $3\cdot 2-4\cdot 1-2=0$, nên $M$ thuộc ${\Delta }_1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ: $x=4y$, thay vào $12y-4y-2=0\Rightarrow y=\frac{1}{4},x=1$, giao điểm $N\left(1;\frac{1}{4}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_2:y=\frac{x}{4}$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{t}{4}\end{array}$, không phải $y=4t$.

a) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng $d$. Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$ nên có PT: $x+y+m=0$. Vì $M\in \Delta$ nên ta có: $15+m=0\iff m=-15$. Vậy $\Delta$ có phương trình: $x+y-15=0$. b) Xe khách chạy trên đường thẳng $d$, vị trí bắt được sóng tốt nhất là điểm N thuộc $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của M trên $d$. Đường thẳng $MN$ đi qua M và vuông góc với $d$ có phương trình: $x-y+5=0$. Toạ độ N là nghiệm của hệ pt: $\{\begin{array}{l}x-y+5=0\\ x+y-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=4\end{array}\Rightarrow N(-1;4)$. Ta có: $MN=6\sqrt{2}<10$ (t/m). Vậy $\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\end{array}\Rightarrow S=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(4;0)$ đến đường thẳng $5x+12y-7=0$ là $d(A,d)=\frac{|5\cdot 4+12\cdot 0-7|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{|13|}{13}=1$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x+y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=1,c=3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(2;1)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã 132, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giao của $AB:x-3y+4=0$ và $AD:x-2y+1=0$ là $A(5;3)$. Vì $M(2;2)$ là trung điểm $AB$ nên $B=2M-A=(-1;1)$. Cạnh $BC$ song song với $AD$ nên có dạng $x-2y+c=0$; qua $B(-1;1)$: $-1-2+c=0\Rightarrow c=3$. Vậy $BC:x-2y+3=0$, tức $b=-2,c=3$, nên $b+c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\end{array}$, ta có vectơ chỉ phương $\vec{a}=(2;3)$. Một vectơ pháp tuyến của $d$ phải thỏa $\vec{n}\cdot \vec{a}=0$. Kiểm tra ${\vec{u}}_3=(-3;2)$: $(-3)\cdot 2+2\cdot 3=-6+6=0$. Vậy ${\vec{u}}_3=(-3;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $d$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(-10;5) vào Δ1: 2(-10)+5+15=0, đúng nên M thuộc Δ1. b) Giải hệ 2x+y=-15 và x-2y=3: y=-15-2x, thay vào: x+30+4x=3 ⇒ x=-27/5, y=-15+54/5=-21/5, khớp N. c) Hệ số góc Δ1 là -2, Δ2 là 1/2, tích bằng -1 nên vuông góc. d) Khoảng cách: |m-15|/√5=2√5 ⇒ |m-15|=10 ⇒ m∈{25;5}, m+n=30≠-30, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
2(-10)+5+15=0 nên M thuộc Δ1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được x=-27/5, y=-21/5, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc -2 và 1/2 có tích -1 nên hai đường vuông góc.
d) (AI giải đề cho tôi)
|m-15|/√5=2√5 ⇒ m=25 hoặc m=5, tổng m+n=30 chứ không phải -30.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của An là đường thẳng AC qua A(-4;1) và C(8;4). Vecto chỉ phương AC = (12;3), nên phương trình AC: x - 4y + 8 = 0. Đoạn đường bộ ngắn nhất từ B(2;-3) tới đường AC là khoảng cách từ B đến AC: d = |2 - 4·(-3) + 8|/√(1²+(-4)²) = 22/√17 ≈ 5.3358 ≈ 5.34.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $ax+by+c=0$ có vectơ pháp tuyến là $(a;b)$. Với $3x-2y+2025=0$ thì $a=3$, $b=-2$, nên vectơ pháp tuyến là $(3;-2)$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(8;2)$, đường thẳng qua $A(-2;2)$ nên phương trình tham số $x=-2+8t,y=2+2t$ — đúng.
b) $d(B,d)=\frac{|6-2\cdot 4+5|}{\sqrt{1+4}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\approx 1,34\ne \frac{3}{5}$ — sai.
c) $R=\frac{3}{\sqrt{5}}$, $R^2=\frac{9}{5}$. Đường tròn $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{9}{5}$, nhân 5: $5x^2+5y^2-60x-40y+251=0$ — đúng.
d) $N(-5;0)$; chân đường vuông góc từ $B$ xuống $d$: $M=\left(\frac{27}{5};\frac{26}{5}\right)$, $BM=\frac{3}{\sqrt{5}}$, $MN=\frac{26\sqrt{5}}{5}$, $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{26\sqrt{5}}{5}=\frac{39}{5}=7,8<8$ — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(8;2)$, đường thẳng qua $A(-2;2)$: $x=-2+8t,y=2+2t$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(B,d)=\frac{|6-2\cdot 4+5|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\ne \frac{3}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $R^2=\frac{9}{5}$; $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{9}{5}$ suy ra $5x^2+5y^2-60x-40y+251=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $N(-5;0)$, $M=\left(\frac{27}{5};\frac{26}{5}\right)$, $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{26\sqrt{5}}{5}=\frac{39}{5}=7,8<8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại $B(0;0)$, khi đó $A(0;24)$, $D(29;24)$, $C(29;0)$. Vì $AE=9$ nên $E(9;24)$; vì $FC=12$ nên $F(29;12)$. Đường thẳng $EF$ qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{12-24}{29-9}=-\frac{3}{5}$, phương trình: $y-24=-\frac{3}{5}(x-9)\iff 3x+5y-147=0$. Lưới cá là hình tròn tâm $B$ bán kính $r$; để lưới không rơi vào tam giác $DEF$ (phần phía trên đường $EF$), cần $r\le d(B,EF)=\frac{|3\cdot 0+5\cdot 0-147|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{147}{\sqrt{34}}\approx 25,21$ m. Kiểm tra: foot của đường vuông góc từ $B$ xuống $EF$ nằm trong đoạn $EF$ (tham số $t\approx 0,7$ trên đoạn), nên khoảng cách này là giới hạn thực sự. Làm tròn đến hàng đơn vị: $25$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$ có phương trình: $2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-2-3y+6=0\iff 2x-3y+4=0$. Thử lại: $2(1)-3(2)+4=0$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A$ nằm trên cả đường trung tuyến và đường cao kẻ từ $A$: giải hệ $7x-2y-3=0$, $6x-y-4=0$ được $A(1;2)$. Vì $M(2;0)$ là trung điểm $AB$ nên $B=2M-A=(3;-2)$. Đường thẳng $AB$ qua $A(1;2)$, $B(3;-2)$ có hệ số góc $\frac{-2-2}{3-1}=-2$, phương trình $y-2=-2(x-1)\iff 2x+y-4=0$. Vậy $a=2$, $b=1$, $a+b=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d_1$ là $k_1=-\frac{2}{3}$, của $d_2$ là $k_2=\frac{1}{2}$. Vì $k_1\ne k_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau. Kiểm tra vuông góc: $k_1\cdot k_2=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\ne -1$ (hoặc $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+3\cdot (-2)=-4\ne 0$), nên không vuông góc. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+4y-7=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=4$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;4)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ B: 9x-3y-4=0 cắt BC: 7x+5y-8=0 tại B. Thay y=3x-4/3 vào BC: 7x+15x-20/3-8=0 → 22x=44/3 → x=2/3, y=2/3. Vậy B=(2/3;2/3), ý a đúng. Đường cao từ C: x+y-2=0 cắt BC: y=2-x, thay vào: 7x+10-5x-8=0 → x=-1, y=3. Vậy C=(-1;3), ý b đúng. A là giao hai đường cao: x+y-2=0 và 9x-3y-4=0 → y=2-x, 9x-6+3x-4=0 → x=5/6, y=7/6, A=(5/6;7/6). BC có hệ số góc -7/5 nên đường cao từ A có hệ số góc 5/7: y-7/6=(5/7)(x-5/6) → 5x-7y+4=0, khác 5x-7y-6=0, ý c sai. Trung điểm M của BC: M=((-1/6);(11/6)). Đường trung tuyến qua A và M có hệ số góc (11/6-7/6)/(-1/6-5/6)=-2/3: y-7/6=(-2/3)(x-5/6) → 12x+18y-31=0, khác x-13y+4=0, ý d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
B là giao của đường cao từ B (9x-3y-4=0) và BC (7x+5y-8=0): giải hệ được B=(2/3;2/3).
b) (AI giải đề cho tôi)
C là giao của đường cao từ C (x+y-2=0) và BC: giải hệ được C=(-1;3).
c) (AI giải đề cho tôi)
A=(5/6;7/6). Đường cao từ A vuông góc BC (hệ số góc 5/7) có phương trình 5x-7y+4=0, không phải 5x-7y-6=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M của BC là (-1/6;11/6). Trung tuyến từ A qua A(5/6;7/6) và M có phương trình 12x+18y-31=0, không phải x-13y+4=0.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:3x-2y+1=0$ nên có dạng $3x-2y+c=0$. Vì $\Delta$ đi qua $M(0;1)$ nên $3\cdot 0-2\cdot 1+c=0\Rightarrow c=2$. Vậy $\Delta :3x-2y+2=0$, tức $b=-2$, $c=2$. Suy ra $S=b+c=-2+2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(-1;2)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-4)$ có phương trình: $2(x+1)-4(y-2)=0\iff 2x+2-4y+8=0\iff x-2y+5=0$. Kiểm tra: thay $A(-1;2)$: $-1-4+5=0$ đúng; vecto pháp tuyến $(1;-2)$ cùng phương với $(2;-4)$ đúng. Vậy đáp án D.

Đường thẳng đi qua điểm $M(-2;2)$ và nhận $\vec{n}=(3;-2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $3(x+2)-2(y-2)=0\iff 3x-2y+10=0$. Theo thứ tự phương án trên trang đề (trang 1), phương trình này ứng với phương án D. (Lưu ý: trang lời giải nguồn sắp xếp lại các phương án và gạch chân A cho cùng phương trình $3x-2y+10=0$; với thứ tự phương án của trang đề, đáp án đúng là D.)