Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Bước 1: Gọi tọa độ $A(x,y)$ thuộc $\Delta :x-y-4=0\Rightarrow y=x-4$; $B(1,1)$, $G(2,-3)$. Bước 2: Dùng công thức trọng tâm $$\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{x_A+1+x_C}{3}=2\\ y_G=\frac{y_A+1+y_C}{3}=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=5-x_A=5-x\\ y_C=-10-y_A=-10-(x-4)=-6-x\end{array}$$ $\Rightarrow C(5-x,-6-x)$. Bước 3: Tỉ lệ diện tích $\frac{S_{\Delta IAB}}{S_{\Delta IAC}}=\frac{4}{5}$. Do AI là phân giác $\Rightarrow AB/AC=4/5$ (1). Bước 4: Lập phương trình $A{B}^2=(x-1{)}^2+(x-5{)}^2=2x^2-12x+26$; $A{C}^2=(2x-5{)}^2+(2x+2{)}^2=8x^2-12x+29$. Từ (1) suy ra $\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{16}{25}$ $$\Rightarrow \frac{2x^2-12x+26}{8x^2-12x+29}=\frac{16}{25}\Rightarrow 13x^2+18x-31=0\Rightarrow x=1(dox>0)$$ Bước 5: $A(1,-3)$; $C(4,-7)$. Bước 6: Phương trình BC qua $B(1;1)$; $C(4;-7)$ có PT: $\Rightarrow 8x+3y-11=0$. Kết quả: $a=8$, $b=3$, $c=-11\Rightarrow a+b+2c=-11$.

Véc-tơ pháp tuyến của $\Delta :2x-y+8=0$ là $\vec{n}=(2;-1)$. Trang lời giải (trang 4) đánh dấu 'Chọn B' theo thứ tự phương án riêng của trang đó, trong đó phương án B là $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$; theo thứ tự phương án của đề thi, giá trị $(2;-1)$ ứng với phương án A.

Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):-2x+3y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(-2;3)$. Vectơ chỉ phương của $(d)$ vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{a}=(3;2)$ vì $(-2)\cdot 3+3\cdot 2=0$. Kiểm tra các phương án: $(3;-2)$ có tích $-6-6=-12\ne 0$; $(2;-3)$ có tích $-4-9=-13\ne 0$; $(-2;3)$ chính là $\vec{n}$, không phải VTCP. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bán kính đường tròn tâm A(1;1) tiếp xúc Δ: R = d(A,Δ) = |3·1 − 4·1 + 2|/√(3²+4²) = 1/5 ≠ 3/5 ⇒ Sai. b) AB = (4−1; 2−1) = (3;1) là vectơ chỉ phương của AB ⇒ Đúng. c) Δ: 3x − 4y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3;−4) ⇒ Đúng. d) Vectơ chỉ phương của Δ là u = (4;3). cos(Δ,AB) = |4·3 + 3·1|/(√(4²+3²)·√(3²+1)) = 15/(5√10) = 3/√10 ≈ 0,9487 ⇒ góc ≈ 18,43° < 19° ⇒ Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3.1-4.1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}$
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (4−1; 2−1) = (3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng 3x − 4y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3;−4).
d) $\cos (\Delta ,AB)=\frac{|4.3+3.1|}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{3^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \widehat{(\Delta ,AB)}\approx 18,43^{\circ }$

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $3x-4y+2=0$, véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-4)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. c) Sai: $\cos \left(\widehat{(\Delta ,AB)}\right)=\frac{|4\cdot 3+3\cdot 1|}{\sqrt{4^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1}}=\frac{15}{5\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,9487$, suy ra góc $\approx 18,43^{\circ }<19^{\circ }$, nên khẳng định 'lớn hơn $19^{\circ }$' là sai. d) Sai: bán kính đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với $\Delta$ là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}\ne \frac{3}{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3x-4y+2=0$ suy ra $\vec{n}=(3;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$.
c) $\cos (\Delta ,AB)=\frac{|4.3+3.1|}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{3^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \widehat{(\Delta ,AB)}\approx 18,43^{\circ }$
d) Đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3.1-4.1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với $\Delta :-x+5y-4=0$ có dạng $-x+5y+c=0$ (hoặc nhân đôi: $2x-10y+2c=0$). Thay $M(-1;2)$: $-(-1)+5(2)+c=0\Rightarrow 1+10+c=0\Rightarrow c=-11$, tức $-x+5y-11=0$, tương đương $2x-10y-22=0$... kiểm tra lại: $2(-1)-10(2)+22=-2-20+22=0$, nên $2x-10y+22=0$ đi qua $M$ và có hệ số tỉ lệ với $\Delta$ (nhân với $-2$), tức song song với $\Delta$. Các phương án khác: $-x+5y+12=0$ tại $M$ cho $23\ne 0$; $-x+5y-12=0$ cho $-1\ne 0$; $2x-10y-22=0$ cho $-44\ne 0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;3)$, $B(3;5)$ có VTCP $\overrightarrow{AB}=(1;2)$, nên PT tổng quát: $2(x-2)-(y-3)=0\iff 2x-y-1=0$. Kiểm tra: $A$: $4-3-1=0$ ✓, $B$: $6-5-1=0$ ✓. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTPT của $d_1:2x+y-2=0$ là $\vec{n}=(2;1)$, và $\overrightarrow{n_1}=(4;2)=2(2;1)$ cũng là một VTPT của $d_1$ → Đúng.
b) $d_2:4x+2y+3=0\iff 2x+y+\frac{3}{2}=0$ có cùng VTPT với $d_1:2x+y-2=0$ và $\frac{3}{2}\ne -2$ nên $d_1\parallel d_2$ → Đúng.
c) Khoảng cách giữa hai đường song song: $d(d_1,d_2)=\frac{\left|\frac{3}{2}-(-2)\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{7}{2\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{10}\approx 1,565\ne \sqrt{5}$ → Sai.
d) $(C):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=5$, tâm $I(3;1)$, $R=\sqrt{5}$. Tiếp tuyến tại $M(a;b)$ song song với $d_1$ thì $IM$ song song với VTPT $(2;1)$, tức $\overrightarrow{IM}=\pm \frac{R}{\sqrt{5}}(2;1)=\pm (2;1)$. Suy ra $M(5;2)$ hoặc $M(1;0)$, tương ứng $a+b=7$ hoặc $a+b=1$. Vì $a+b$ không duy nhất bằng 7 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}=(4;2)=2(2;1)$ cùng phương với VTPT $(2;1)$ của $d_1$, nên $(4;2)$ là một VTPT của $d_1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d_2\iff 2x+y+\frac{3}{2}=0$ có VTPT cùng phương với $d_1$ và hệ số tự do khác nhau, nên $d_1\parallel d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(d_1,d_2)=\frac{|\frac{3}{2}+2|}{\sqrt{5}}=\frac{7}{2\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{10}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C)$ có tâm $I(3;1)$, $R=\sqrt{5}$. $\overrightarrow{IM}=\pm (2;1)$ nên $M(5;2)$ hoặc $M(1;0)$, cho $a+b=7$ hoặc $a+b=1$. Do đó khẳng định $a+b=7$ không đúng trong mọi trường hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $PQ$ là $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-4;-2-0)=(-4;-2)$, cùng phương với $(2;1)$. Đường thẳng qua $A(3;2)$ song song với $PQ$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=2+t\end{array}$. Kiểm tra đáp án C: $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=t\end{array}$ có vectơ chỉ phương $(2;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$, và điểm $A(3;2)$ thuộc đường thẳng vì với $t=2$: $x=-1+4=3$, $y=2$. Vậy C là đáp án đúng (các đáp án A, B có vectơ chỉ phương không cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$; D không đi qua $A$).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của M(1;2) lên Ox là A(1;0), lên Oy là B(0;2). Đường thẳng AB đi qua hai trục nên có dạng x/a + y/b = 1 với a=1, b=2, tức x + y/2 = 1, hay 2x + y - 2 = 0. Kiểm tra: A(1;0): 2-2=0 đúng; B(0;2): 2-2=0 đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-2)$. Vì $d\perp \Delta$ nên vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(2;3)$. Đường thẳng $d$ có dạng $2x+3y+c=0$. Thay $A(1;-2)$: $2(1)+3(-2)+c=0\Rightarrow 2-6+c=0\Rightarrow c=4$. Vậy $d:2x+3y+4=0$. Kiểm tra: $2(1)+3(-2)+4=0$ đúng, và $\overrightarrow{n_d}\cdot \overrightarrow{n_{\Delta }}=2\cdot 3+3\cdot (-2)=0$ nên vuông góc. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+y=0$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $A(3;0)$ và song song với $d$ nhận cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1)$, nên có phương trình tham số: $x=3+t,y=-t$. Đặt $t^{\prime }=t+3$ (thay tham số mới) ta được $x=t^{\prime },y=3-t^{\prime }$, trùng với phương án A. Kiểm tra: với mọi $t$, $x+y=3$ (hằng số) nên $\Delta$ song song với $d:x+y=0$; khi $t=3$ ta được điểm $(3;0)=A$, nên $\Delta$ qua $A$. Loại B vì $x+y=3+2t$ không hằng số (không song song với $d$); loại C vì $x+y=3-2t$ không hằng số; loại D vì $x+y=-3$ (song song với $d$ nhưng không qua $A$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A vuông góc với BC nên nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=C-B=(5-7;3-6)=(-2;-3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình: $-2(x-6)-3(y-4)=0\iff -2x-3y+24=0$. Kiểm tra: điểm $A(6;4)$: $-12-12+24=0$ ✓. Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1;-1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(0;-2)$. Tính $\cos (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})=\frac{|(-1)(0)+(-1)(-2)|}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x+5=0$ là đường thẳng đứng $x=-5$ (không có hệ số góc). $d_2:2x+y=0\iff y=-2x$ có hệ số góc $k=-2$. Vì $d_1$ song song với trục $Oy$ còn $d_2$ không song song với trục $Oy$ nên $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm $(-5;10)$. Hai đường không vuông góc vì $d_2$ không song song với trục $Ox$ (vuông góc với $d_1$ khi $d_2$ có dạng $y=c$). Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau nhưng không vuông góc, khớp với đáp án D trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm trên hai trục có dạng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a$ là hoành độ giao điểm với trục $Ox$, $b$ là tung độ giao điểm với trục $Oy$. Ở đây $A(3;0)$ nên $a=3$, $B(0;-5)$ nên $b=-5$. Vậy phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{-5}=1$. Kiểm tra: thay $A(3;0)$: $\frac{3}{3}+0=1$ đúng; thay $B(0;-5)$: $0+\frac{-5}{-5}=1$ đúng. Khớp với đáp án B trong nguồn.

a) Ta có $$\frac{7\cdot (-9)+2\cdot 5}{\sqrt{7^2+2^2}\cdot \sqrt{(-9{)}^2+5^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$. b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-16;3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $16x-3y=0$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-16;3)$; một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;16)$; phương trình đường thẳng $AB$ là $3(x-7)+16(y-2)=0$, rút gọn ta được $3x+16y-53=0$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{|3\cdot 0+16\cdot 0-53|}{\sqrt{3^2+16^2}}=\frac{1}{5}\sqrt{265}$. d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=\frac{53}{5}$. Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d đúng].
a) a) Ta có $$\frac{7\cdot (-9)+2\cdot 5}{\sqrt{7^2+2^2}\cdot \sqrt{(-9{)}^2+5^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$.
b) b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-16;3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $16x-3y=0$.
c) c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-16;3)$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;16)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $$3(x-7)+16(y-2)=0.$$ Rút gọn phương trình trên ta được $$3x+16y-53=0.$$ Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $$\frac{|3\cdot 0+16\cdot 0-53|}{\sqrt{3^2+16^2}}=\frac{1}{5}\sqrt{265}.$$
d) d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $$x^2+y^2=\frac{53}{5}.$$

Khoảng cách từ điểm $A(-2;3)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|8\cdot (-2)+(-15)\cdot 3-228\right|}{\sqrt{8^2+(-15{)}^2}}=17.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(2;3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;7)$ nên có phương trình: $5(x-2)+7(y-3)=0$. Kiểm tra: thay $M(2;3)$ vào phương trình ta được $5\cdot 0+7\cdot 0=0$, thỏa mãn. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Câu 3 chọn C).