Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm $A(-3;0)$, $B(0;8)$ có dạng đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a=-3$ (hoành độ giao điểm với $Ox$) và $b=8$ (tung độ giao điểm với $Oy$). Thay vào: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{8}=1$. Kiểm tra: tại $A(-3;0)$: $\frac{-3}{-3}+0=1$ đúng; tại $B(0;8)$: $0+\frac{8}{8}=1$ đúng. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án Mã đề 103.

a) Ta có $$\frac{(-8)\cdot 13+5\cdot 3}{\sqrt{(-8{)}^2+5^2}\cdot \sqrt{13^2+3^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$. b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(21;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $21x-2y=0$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(21;-2)$; một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;21)$; phương trình đường thẳng $AB$ là $2(x-(-8))+21(y-5)=0$, rút gọn ta được $2x+21y-89=0$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{|2\cdot 0+21\cdot 0-89|}{\sqrt{2^2+21^2}}=\frac{1}{5}\sqrt{445}$. d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=\frac{89}{5}$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d đúng].
a) a) Ta có $$\frac{(-8)\cdot 13+5\cdot 3}{\sqrt{(-8{)}^2+5^2}\cdot \sqrt{13^2+3^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$.
b) b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(21;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $21x-2y=0$.
c) c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(21;-2)$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;21)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $$2(x-(-8))+21(y-5)=0.$$ Rút gọn phương trình trên ta được $$2x+21y-89=0.$$ Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $$\frac{|2\cdot 0+21\cdot 0-89|}{\sqrt{2^2+21^2}}=\frac{1}{5}\sqrt{445}.$$
d) d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $$x^2+y^2=\frac{89}{5}.$$

Khoảng cách từ điểm $A(2;-1)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|12\cdot 2+(-5)\cdot (-1)+140\right|}{\sqrt{12^2+(-5{)}^2}}=13.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(2;3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;7)$ có phương trình dạng $5(x-2)+7(y-3)=0$. Kiểm tra: thay $M(2;3)$ thỏa mãn; hệ số của $x$, $y$ đúng bằng thành phần pháp tuyến. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Mã đề 103, Câu 5 chọn B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(2;3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;7)$ có phương trình: $5(x-2)+7(y-3)=0$. Kiểm tra: thay $M(2;3)$ vào phương trình ta được $5\cdot 0+7\cdot 0=0$, thỏa mãn. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 10: B).

a) Ta có $$\frac{7\cdot (-11)+4\cdot 3}{\sqrt{7^2+4^2}\cdot \sqrt{(-11{)}^2+3^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$. b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-18;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $18x+y=0$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-18;-1)$; một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-18)$; phương trình đường thẳng $AB$ là $1(x-7)-18(y-4)=0$, rút gọn ta được $x-18y+65=0$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{|1\cdot 0+(-18)\cdot 0+65|}{\sqrt{1^2+(-18{)}^2}}=\sqrt{13}$. d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=13$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d đúng].
a) a) Ta có $$\frac{7\cdot (-11)+4\cdot 3}{\sqrt{7^2+4^2}\cdot \sqrt{(-11{)}^2+3^2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=135^{\circ }$.
b) b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-18;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $18x+y=0$.
c) c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-18;-1)$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-18)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $$1(x-7)-18(y-4)=0.$$ Rút gọn phương trình trên ta được $$x-18y+65=0.$$ Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $$\frac{\left|1\cdot 0+(-18)\cdot 0+65\right|}{\sqrt{1^2+(-18{)}^2}}=\sqrt{13}.$$
d) d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $$x^2+y^2=13.$$

Khoảng cách từ điểm $A(-1;-2)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)-52\right|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=10.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm trên trục $A(4;0)$ và $B(0;-3)$ có phương trình đoạn chắn dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a=4$ (hoành độ giao điểm với trục $Ox$) và $b=-3$ (tung độ giao điểm với trục $Oy$). Vậy phương trình là $\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$. Kiểm tra: thay $A(4;0)$: $\frac{4}{4}+0=1$ đúng; thay $B(0;-3)$: $0+\frac{-3}{-3}=1$ đúng. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 3: A).

a) Ta có $$\frac{2\cdot 7+5\cdot 3}{\sqrt{2^2+5^2}\cdot \sqrt{7^2+3^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=45^{\circ }$. b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $5x-2y=0$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$; một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;5)$; phương trình đường thẳng $AB$ là $2(x-2)+5(y-5)=0$, rút gọn ta được $2x+5y-29=0$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{|2\cdot 0+5\cdot 0-29|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\sqrt{29}$. d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=29$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d đúng].
a) a) Ta có $$\frac{2\cdot 7+5\cdot 3}{\sqrt{2^2+5^2}\cdot \sqrt{7^2+3^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=45^{\circ }$.
b) b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $5x-2y=0$.
c) c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;5)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $$2(x-2)+5(y-5)=0.$$ Rút gọn phương trình trên ta được $$2x+5y-29=0.$$ Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $$\frac{|2\cdot 0+5\cdot 0-29|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\sqrt{29}.$$
d) d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $$x^2+y^2=29.$$

Khoảng cách từ điểm $A(-2;-3)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|3\cdot (-2)+4\cdot (-3)+43\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(5;0) và B(0;-7) có dạng đoạn chắn: $\frac{x}{5}+\frac{y}{-7}=1$. Kiểm tra: tại A(5;0): $\frac{5}{5}+0=1$ đúng; tại B(0;-7): $0+\frac{-7}{-7}=1$ đúng. Phương án A sai vì mẫu phải là hằng số (khi x=0 hoặc y=0 không xác định). Khớp với đáp án nguồn B (Mã đề 101, Câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(2;3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;7)$ có phương trình: $5(x-2)+7(y-3)=0$. Kiểm tra: thay $M(2;3)$ thỏa mãn; hệ số của $x,y$ đúng bằng tọa độ pháp tuyến. Khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 8 chọn A).

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{2};-\sqrt{3})$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(\sqrt{3};\sqrt{2})$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, do đó hai đường thẳng vuông góc với nhau. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc ${\Delta }^{\prime }$ nên $y_0=1-x_0$. Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta :3x+4y-6=0$ là $d=\frac{|3x_0+4(1-x_0)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-x_0-2|}{5}=\frac{|x_0+2|}{5}$. Theo đề $d=\frac{4}{5}$ nên $|x_0+2|=4$, suy ra $x_0=2$ hoặc $x_0=-6$. Với $x_0=2$: $M_1(2;-1)$; với $x_0=-6$: $M_2(-6;7)$. Tổng tung độ: $-1+7=6$. (Lưu ý: báo cáo trước đó tính nhầm dấu, cho kết quả $-6$; phép tính đúng cho tổng bằng $6$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;1-x)\in {\Delta }^{\prime }$. Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta :3x+4y-6=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3x+4(1-x)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-x-2|}{5}$. Theo đề: $\frac{|x+2|}{5}=\frac{4}{5}\Rightarrow |x+2|=4\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-6$. Tổng hoành độ các điểm $M$ là $2+(-6)=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và ${\Delta }_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét tỉ số hệ số tự do: $\frac{1}{-10}\ne -3=\frac{-3}{1}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, do đó hai đường thẳng song song. Điều này khớp với đáp án B trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):3x+y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=1$. a) Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(a;b)=(3;1)$ → đúng. b) Vectơ chỉ phương vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{u}(1;-3)$ vì $3\cdot 1+1\cdot (-3)=0$ → đúng. c) Thay $M(-1;2)$: $3(-1)+2+1=0$ → $(d)$ đi qua $M$ → đúng. d) $d^{\prime }:3x+y-1=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $(3;1)$ với $(d)$ nên $d^{\prime }\parallel (d)$ (vì $-1\ne 1$ nên không trùng), hai đường thẳng song song không cắt nhau → khẳng định sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x+y+1=0$ có hệ số $a=3,b=1$ nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(1;-3)\cdot \vec{n}(3;1)=3-3=0$, nên $\vec{u}$ vuông góc với pháp tuyến, là vectơ chỉ phương của $(d)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;2)$ vào phương trình: $3(-1)+2+1=0$, thỏa mãn nên $(d)$ đi qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d^{\prime }$ và $(d)$ có cùng vectơ pháp tuyến $(3;1)$ và $\frac{3}{3}=\frac{1}{1}\ne \frac{-1}{1}$ nên $d^{\prime }\parallel (d)$, hai đường thẳng không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):x-2y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$. a) Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(a;b)=(1;-2)$, nên $\vec{n}(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến của $(d)$: Đúng. b) Vectơ chỉ phương của $(d)$ phải vuông góc với $\vec{n}(1;-2)$, ví dụ $\vec{u}(2;1)$. Vì $\vec{u}(1;-2)\cdot \vec{n}(1;-2)=1+4=5\ne 0$ nên $\vec{u}(1;-2)$ chính là vectơ pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương: Sai. c) Thay $M(1;-1)$ vào $(d)$: $1-2(-1)+1=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(d)$: Sai. d) Hai đường thẳng $x-2y+1=0$ và $d^{\prime }:2x+3y-1=0$ có $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{3}$ (tức $1\cdot 3-(-2)\cdot 2=7\ne 0$) nên không song song, do đó chúng cắt nhau: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $ax+by+c=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;b)$, nên với $(d):x-2y+1=0$ thì $\vec{n}(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(1;-2)$ trùng với vectơ pháp tuyến của $(d)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4=5\ne 0$ nên không vuông góc với pháp tuyến), do đó không phải vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương có thể là $\vec{u}(2;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-1)$: $1-2(-1)+1=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(d)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính song song: $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{3}$ vì $1\cdot 3-(-2)\cdot 2=7\ne 0$, nên $(d)$ và $d^{\prime }$ không song song, tức chúng cắt nhau.

a) Viết đúng PTTQ đường thẳng $AB:2x+3y-13=0$ (1,0 điểm).

b) Khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến đường thẳng $d:2x+y+1=0$ bằng
$$\frac{\left|2.2+3+1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$$ (1,5 điểm)

c) Do $C\in d$ nên tọa độ điểm $C(a;-2a-1)$.
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ suy ra $BC=BA\iff (a+1{)}^2+(-2a-6{)}^2=3^2+2^2$
$$\iff 5a^2+26a+24=0\iff a=-4;a=\frac{-6}{5}.$$ Suy ra $C(-4;7)$, $C\left(\frac{-6}{5};\frac{7}{5}\right)$.
Điểm $C(-4;7)$ loại vì với $C(-4;7)$ thì ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Vậy suy ra tọa độ điểm $C\left(\frac{-6}{5};\frac{7}{5}\right)$. (1,0 điểm)

Ta có $AC=\frac{8\sqrt{5}}{5}$; $DC=\frac{\sqrt{5}}{5}$, kết hợp với $D$ thuộc đoạn $AC$ suy ra $\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{DC}$. Gọi tọa độ điểm $D(x;y)$. Ta có
$$\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}\frac{-16}{5}=8\left(\frac{-6}{5}-x\right)\\ \frac{-8}{5}=8\left(\frac{7}{5}-y\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{5}\\ y=\frac{8}{5}\end{array}$$
Vậy ta có tọa độ điểm $D\left(\frac{-4}{5};\frac{8}{5}\right)$. (0,5 điểm)

Đường thẳng $d$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2)$ và đi qua điểm $M(1;-2)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $3x+2y+1=0$. Suy ra $a=3,b=1\Rightarrow a-b=2$.