Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Ta có $\overrightarrow{AC}=(0;5)\Rightarrow \vec{n}=(1;0)$ là véc tơ pháp tuyến của $AC$. Phương trình $AC$: $x-3=0$. $S_{△ABC}=\frac{1}{2}d(B,AC)\left|\overrightarrow{AC}\right|=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-3t,y=3+t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-3;1)$ (hệ số của $t$). Đáp án B khớp với ${\vec{n}}_1=(-3;1)$, cũng trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-t,y=3+2t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2)$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
**2.1.** Gọi $\vec{n}=(a;b)$ là vecto pháp tuyến chung của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ ($AB\parallel CD$), với $|\vec{n}|=1$, $\vec{n}$ hướng từ đường thẳng $AB$ sang đường thẳng $CD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$; vì $I$ là tâm hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm của $PQ$, tức $Q=2I-P$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB,CD$ (đi qua $M(2;4)$ và $N(0;-2)$) bằng $AD$:
$$AD=|\vec{n}\cdot (\overrightarrow{NM})|=|2a+6b|.$$
Vì $Q=P+AD\cdot \vec{n}$ và $Q=2I-P$ nên $P=I-\frac{AD}{2}\vec{n}$. Vì $P$ nằm trên đường thẳng $AB$ đi qua $M$ nên $\vec{n}\cdot (\overrightarrow{PM})=0$:
$$\left(2-\frac{AD}{2}a-2\right)a+\left(2-\frac{AD}{2}b-4\right)b=0\Rightarrow -\frac{AD}{2}-2b=0\Rightarrow AD=-4b.$$
Vậy $b<0$ và $-4b=|2a+6b|$.

• Trường hợp $-4b=2a+6b\Rightarrow a=-5b$: với $a^2+b^2=1$, $b<0$ ta được $\vec{n}=\left(\frac{5}{\sqrt{26}};-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)$, $AD=\frac{4}{\sqrt{26}}$. Khi đó tính ra tọa độ $D$ đều có tung độ dương (bị loại).

• Trường hợp $-4b=-(2a+6b)\Rightarrow a=-b$: với $b<0$ ta được $\vec{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, $AD=2\sqrt{2}$, $P=I-\sqrt{2}\vec{n}=(1;3)$, vecto chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Các đỉnh: $A,B=P\mp \frac{AB}{2}\vec{u}=(1;3)\mp (2;2)$, và $D=A+AD\cdot \vec{n}$, $C=B+AD\cdot \vec{n}$. Để $D$ có tung độ âm, chọn $A(1;3)-(2;2)=(-1;1)$, khi đó:
$$A(-1;1),B(3;5),C(5;3),D(1;-1).$$
Kiểm tra: $AB=4\sqrt{2}=2\cdot AD=2\cdot 2\sqrt{2}$ ✓; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(4;4)\cdot (2;-2)=0$ ✓; trung điểm $AC=(2;2)=I$ ✓; đường thẳng $AB$ (qua $(-1;1)$, vt $(1;1)$) đi qua $M(2;4)$ ✓; đường thẳng $CD$ (qua $(1;-1)$, vt $(1;1)$) đi qua $N(0;-2)$ ✓; $D$ có tung độ $-1<0$ ✓.

**2.2.** Hai đường tròn có tâm $O_1(4;1)$, $R_1=2$ và $O_2(2;5)$, $R_2=\sqrt{10}$. Dây cung bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng nhau (lưu ý $R_1\ne R_2$ nên không thể là trung tuyến chung, và điều kiện khoảng cách bằng nhau là cần đủ).

Đường thẳng $(d)$ qua $I(7;-4)$: $ax+by+c=0$ với $7a-4b+c=0\Rightarrow c=-7a+4b$.

Khoảng cách từ $O_1$: $\frac{|4a+b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-3a+5b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; từ $O_2$: $\frac{|2a+5b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-5a+9b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Đặt bằng: $|-3a+5b|=|-5a+9b|$.

• $-3a+5b=-5a+9b\Rightarrow a=2b$: chọn $a=2,b=1,c=-10$, được $(d_1):2x+y-10=0$. Kiểm tra: $d(O_1,d_1)=\frac{|8+1-10|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<2$; $d(O_2,d_1)=\frac{|4+5-10|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<\sqrt{10}$ — cả hai đường tròn bị cắt, dây cung bằng nhau ✓.

• $-3a+5b=5a-9b\Rightarrow 8a=14b\Rightarrow a=\frac{7}{4}b$: chọn $a=7,b=4,c=-33$, được $(d_2):7x+4y-33=0$. Kiểm tra: $d(O_1,d_2)=\frac{|28+4-33|}{\sqrt{65}}=\frac{1}{\sqrt{65}}<2$; $d(O_2,d_2)=\frac{|14+20-33|}{\sqrt{65}}=\frac{1}{\sqrt{65}}<\sqrt{10}$ ✓.

Kết luận: $A(-1;1),B(3;5),C(5;3),D(1;-1)$; và $(d):2x+y-10=0$ hoặc $(d):7x+4y-33=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(-2;3)$ nên tại $t=0$ phải có $x=-2,y=3$. Kiểm tra: phương án B cho $x=-2-3t,y=3+4t$: tại $t=0$ được $(-2;3)$ đúng. VTCP của B là $(-3;4)$, cùng phương với $\vec{u}=(3;-4)$ vì $(-3;4)=-\vec{u}$, nên B thỏa mãn (VTCP chỉ cần cùng phương). Các phương án A, C, D không đi qua $M(-2;3)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{AB}=(5-(-2);-4-(-1))=(7;-3)$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;7)$. Phương trình đường thẳng qua $A(-2;-1)$ với $\vec{n}=(3;7)$:
$$3(x+2)+7(y+1)=0⟺3x+7y+13=0.$$
Kiểm tra: tại $A(-2;-1)$: $-6-7+13=0$ ✓; tại $B(5;-4)$: $15-28+13=0$ ✓.
Vậy $d:3x+7y+13=0$.

b) $(C):x^2+y^2+4x-8y-45=0⟺(x+2{)}^2+(y-4{)}^2=65$, tâm $I(-2;4)$, bán kính $R=\sqrt{65}$.
Thay $y=-4$: $(x+2{)}^2+64=65⟺(x+2{)}^2=1⟺x=-1$ hoặc $x=-3$.
Hai tiếp điểm: $M(-1;-4)$, $N(-3;-4)$.
Tiếp tuyến tại $M$: $(x_M+2)(x+2)+(y_M-4)(y-4)=65\Rightarrow 1(x+2)-8(y-4)=65\Rightarrow x-8y-31=0$.
So với ${\Delta }_1:x+b_{1}y+c_1=0$ ta có $b_1=-8$, $c_1=-31$.
Tiếp tuyến tại $N$: $(-1)(x+2)-8(y-4)=65\Rightarrow -x-8y-35=0$.
So với ${\Delta }_2:-x+b_{2}y+c_2=0$ ta có $b_2=-8$, $c_2=-35$.
Vậy $c_1{c}_2=(-31)(-35)=1085$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=3-t\end{array}$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;-1)$ (hệ số của $t$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x-2y-5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1$, $b=-2$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;-2) vào Δ: 3(1)+4(-2)+1 = 3-8+1 = -4 ≠ 0, nên A không thuộc Δ → đúng. b) Δ có VTCP (4;-3) (pháp tuyến (3;4)), d có pháp tuyến (3;-4). Vì (3;4) không tỉ lệ (3;-4) nên d không song song với Δ (thực tế d vuông góc Δ) → sai. c) d(A,Δ) = |3·1+4·(-2)+1|/√(9+16) = |-4|/5 = 4/5 ≠ 3 → sai. d) Đường tròn tâm A tiếp xúc Δ có bán kính R = d(A,Δ) = 4/5, nên R² = 16/25, phương trình (x-1)²+(y+2)² = 16/25 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
3(1)+4(-2)+1 = -4 ≠ 0 nên A không thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của Δ là (3;4), của d là (3;-4), không tỉ lệ nên hai đường không song song (chúng vuông góc nhau).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |3-8+1|/5 = 4/5 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = d(A,Δ) = 4/5 nên R² = 16/25, phương trình đúng.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{3};-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-\sqrt{3})$. Ta có $|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|=2$ và $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=\sqrt{3}\cdot 1+(-1)(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$. Do đó $\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\theta =30^{\circ }$. Vậy $a=30$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x+2y-9=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=2$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)+4|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3+8+4|}{5}=\frac{15}{5}=3$ → đúng. b) Đường tròn tâm $A$ tiếp xúc $\Delta$ có bán kính $r=3$ nên $r^2=9\ne 6$, phương trình đúng phải là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ → sai. c) $d$ và $\Delta$ có cùng cặp hệ số $a=3,b=-4$ nhưng $1\ne 4$ nên song song → đúng. d) Thay $A(1;-2)$: $3(1)-4(-2)+4=11\ne 0$ nên $A\notin \Delta$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3+8+4|}{5}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính $r=d(A,\Delta )=3$ nên $r^2=9\ne 6$; phương trình đúng là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có cùng $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=1\ne \frac{c_1}{c_2}$ nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3(1)-4(-2)+4=11\ne 0$ nên $A$ không thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
d_1 có vecto chỉ phương u_1=(-1;-1) nên hệ số góc k_1=1 (tạo với trục Ox góc 45°). d_2: x=1 là đường thẳng song song trục Oy. Góc giữa d_1 và d_2 là 90°-45°=45°. Vậy a=45.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-t,y=3+2t$, vecto chỉ phương là hệ số của $t$: ${\vec{u}}_0=(-1;2)$. Mọi vecto cùng phương với ${\vec{u}}_0$ đều là vecto chỉ phương. Xét các đáp án: $(-1;-3)$ không cùng phương với $(-1;2)$ vì $(-1)(2)-(-3)(-1)=-5\ne 0$; $(1;3)$ không cùng phương vì $1\cdot 2-3\cdot (-1)=5\ne 0$; $(-2;-4)$ không cùng phương vì $(-2)(2)-(-4)(-1)=-8\ne 0$; $(-1;2)$ trùng ${\vec{u}}_0$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 5: D).

Đường thẳng đi qua điểm $A(a;b)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(A;B)$, có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=a+At\\ y=b+Bt\end{array},t\in \mathbb{R}$$ Chọn đáp án (C)

Đường thẳng $d_1$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$ và đường thẳng $d_2$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$ nên $$\cos (d_1;d_2)=\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|1\cdot 1+1\cdot (-1)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=0$$ Vậy $(d_1;d_2)=90^{\circ }$. Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Đường thẳng Δ: x−√3y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−√3), không phải (1;√3).
b) Đúng. Khoảng cách từ I(4;0) đến Δ là d=|4−√3·0+2|/√(1+3)=6/2=3. Vậy đường tròn tâm I bán kính R=3 tiếp xúc với Δ: (x−4)²+y²=9.
c) Sai. Δ có hệ số góc m₁=1/√3, Δ' có hệ số góc m₂=−1/√3. tanθ=|(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|=|(2/√3)/(1−1/3)|=√3, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60°, không phải 45°.
d) Đúng. Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau (1/√3 ≠ −1/√3) nên chúng cắt nhau (không song song, không trùng nhau).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của Δ: x−√3y+2=0 là n=(1;−√3), không phải (1;√3).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|4+2|/2=3=R, nên (C):(x−4)²+y²=9 tiếp xúc với Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
tanθ=√3 nên góc giữa Δ và Δ' bằng 60°, không phải 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;1)$ với véc tơ pháp tuyến $\vec{n}(1;-2)$ có phương trình: $1(x-3)-2(y-1)=0\iff x-3-2y+2=0\iff x-2y-1=0$. Thử lại: $3-2(1)-1=0$ đúng. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;1)$ với pháp tuyến $\vec{n}(1;-2)$ có phương trình: $1(x-3)-2(y-1)=0\Rightarrow x-3-2y+2=0\Rightarrow x-2y-1=0$. Thử lại: $3-2(1)-1=0$ thỏa mãn. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Hai pháp tuyến n1=(1;-√3), n2=(1;√3). cos(Δ,Δ') = |1·1+(-√3)(√3)|/(2·2) = |1-3|/4 = 1/2, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60°, không phải 45°.
b) Đúng. Hai đường thẳng có hệ số góc m1=1/√3 và m2=-1/√3 khác nhau (không song song, không trùng nhau) nên chúng cắt nhau.
c) Đúng. Khoảng cách từ I(4;0) đến Δ: d = |4 - √3·0 + 2|/√(1+3) = 6/2 = 3. Vậy bán kính R=3 và (C): (x-4)² + y² = 9.
d) Sai. Từ phương trình x - √3·y + 2 = 0, một véc tơ pháp tuyến là n = (1; -√3), không phải (1; √3).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(Δ,Δ') = |1-3|/4 = 1/2 nên góc bằng 60°, không phải 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc 1/√3 ≠ -1/√3 nên hai đường thẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ) = |4+2|/2 = 3 = R nên (C): (x-4)² + y² = 9.
d) (AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của Δ là (1; -√3), không phải (1; √3).