Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Vì $\Delta \perp d$ nên véc-tơ chỉ phương của $d$ là véc-tơ pháp tuyến của $\Delta$ do đó: $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\Delta }}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\Delta }}=(1;1)$ và $\Delta$ đi qua $A$ suy ra: $\Delta :x+y-5=0$. Chọn đáp án C

a) Đúng.
b) Sai. Để kiểm tra $A$ có nằm ngoài $\Delta$ hay không thì phải thay tọa độ $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$. Thay tọa độ $A$ vào $\Delta$ ta được: $3+1-4=0$ (Đúng). Vậy $A\in \Delta$.
c) Đúng. $d_{(B;\Delta )}=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
d) Sai. Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ làm véc-tơ pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1)$ và $d$ đi qua $A(3;1)$ suy ra
$$d:1\cdot (x-3)-1\cdot (y-1)=0\iff x-y-2=0$$
Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d sai].
a) Đúng.
b) Sai. Để kiểm tra $A$ có nằm ngoài $\Delta$ hay không thì phải thay tọa độ $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$. Thay tọa độ $A$ vào $\Delta$ ta được: $3+1-4=0$ (Đúng). Vậy $A\in \Delta$.
c) Đúng. $d_{(B;\Delta )}=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
d) Sai. Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ làm véc-tơ pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1)$ và $d$ đi qua $A(3;1)$ suy ra
$$d:1\cdot (x-3)-1\cdot (y-1)=0\iff x-y-2=0$$

Vì $AH\perp BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow{BC}=(2;4)$ làm véc-tơ pháp tuyến và $AH$ đi qua điểm $A(2;1)$. Vậy nên $AH:2(x-2)+4(y-1)=0\iff 2x+4y-8=0\iff x+2y-4=0$ suy ra $T=\frac{2}{1}=2$.
Đáp án: 2

Vì $A\in Ox\Rightarrow A(x_A;0)$ và $x_A>0$.
Ta có:
$$d_{(A;\Delta )}=3\iff \frac{|4x_A+3.0+1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\iff |4x_A+1|=15\iff \{\begin{array}{l}4x_A+1=15\\ 4x_A+1=-15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{14}{4}=3,5(N)\\ x_A=-4(L)\end{array}$$
Đáp án: 3,5

Kiểm tra xem $A,B$ thuộc đường thẳng nào trong 4 phương án. Nhận thấy khi thay tọa độ $A,B$ vào phương trình đường thẳng $2x-3y+6=0$ (Thoả mãn) nên do đó $AB:2x-3y-6=0$. Chọn đáp án A.

Chọn đáp án (B). (Nguồn không cung cấp nội dung lời giải chi tiết cho câu này.)

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình: ${\Delta }_1:x-2y+7=0$ và ${\Delta }_2:3x-y+1=0$. Từ ${\Delta }_2$ ta có $y=3x+1$. Thay vào ${\Delta }_1$: $x-2(3x+1)+7=0\iff x-6x-2+7=0\iff -5x+5=0\iff x=1$. Suy ra $y=3(1)+1=4$. Vậy giao điểm là $(1;4)$, tương ứng phương án B. Kiểm tra lại: $1-2(4)+7=0$ đúng; $3(1)-4+1=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường trung tuyến và đường cao đều kẻ từ đỉnh $A$ nên $A$ là giao điểm của hai đường này: giải $7x-2y-3=0$ và $6x-y-4=0$ ta được $A(1;2)$. Vì $M(2;0)$ là trung điểm $AB$ nên $AB$ đi qua $A$ và $M$, có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AM}=(1;-2)$, phương trình: $y=-2(x-1)+2\iff 2x+y-4=0$. Vậy $a=2,b=1$, $S=a+b=3$. (Lưu ý: đường cao từ $A$ vuông góc với $BC$, không phải $AB$, nên không dùng nó để tìm hệ số góc của $AB$.)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :5x+3y-5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=5,b=3$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(5;3)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): a) Thay A(4;3) vào d₂: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0 nên d₂ không đi qua A → Sai. b) d₁: 3x+4y+3=0 có pháp tuyến n₁=(3;4) → Đúng. c) d(M,d₁) = |3·4+4·3+3|/√(3²+4²) = 27/5 = 5,4 ≠ 5 → Sai. d) n₁·n₂ = 3·4 + 4·(−3) = 0 nên d₁ ⊥ d₂ → Đúng. Kết quả: Đ, S, Đ, Đ, khớp đáp án chính thức ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;3) vào d₂: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0, nên A không thuộc d₂.
b) (AI giải đề cho tôi)
d₁: 3x+4y+3=0 có hệ số của x, y là 3 và 4 nên pháp tuyến n₁=(3;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,d₁) = |3·4+4·3+3|/√(9+16) = 27/5 = 5,4 ≠ 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
n₁·n₂ = 3·4 + 4·(−3) = 12 − 12 = 0 nên d₁ vuông góc d₂.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Mã 2014): a) Thay A(4;3) vào d2: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0 nên A không thuộc d2 → Sai. b) Từ 3x + 4y + 3 = 0, pháp tuyến n1 = (3; 4) → Đúng. c) n1·n2 = 3·4 + 4·(−3) = 0 nên d1 ⊥ d2 → Đúng. d) d(M, d1) = |3·4 + 4·3 + 3|/√(3²+4²) = 27/5 = 5,4 ≠ 5 → Sai. Kết quả SĐĐS trùng khớp đáp án chính thức trang 7.
a) Thay $x=4,y=3$ vào $d_2$: $4(4)-3(3)+1=8\ne 0$, nên $A$ không thuộc $d_2$ → Sai.
b) Từ phương trình $3x+4y+3=0$, véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(3;4)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{n_1}=(3;4)$, $\overrightarrow{n_2}=(4;-3)$; $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=12-12=0$ nên $d_1\perp d_2$ → Đúng.
d) $d(M,d_1)=\frac{|3(4)+4(3)+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{27}{5}=5,4\ne 5$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét Δ1: 2x+3y−1=0 (pháp tuyến n1=(2;3)) và Δ2: x−2y+5=0 (pháp tuyến n2=(1;−2)).
a) Cosin góc giữa hai đường thẳng: cosφ = |n1·n2|/(|n1||n2|) = |2·1 + 3·(−2)|/(√13·√5) = 4/√65 = 4√65/65. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Khoảng cách từ A(3;−1) đến Δ1: d = |2·3 + 3·(−1) − 1|/√(2²+3²) = |6−3−1|/√13 = 2/√13. Mệnh đề ĐÚNG.
c) Hai đường thẳng song song khi pháp tuyến cùng phương: n1=(2;3) và n2=(1;−2) không cùng phương (2/1 ≠ 3/(−2)), hơn nữa 2·(−2) − 1·3 = −7 ≠ 0 nên chúng cắt nhau. Mệnh đề SAI.
d) Δ2 có pháp tuyến n=(1;−2), nên vecto chỉ phương u = (2;1) (vì u·n = 2−2 = 0). Mệnh đề ĐÚNG.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cosφ = |2·1 + 3·(−2)|/(√13·√5) = 4/√65 = 4√65/65.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ1) = |2·3 + 3·(−1) − 1|/√13 = 2/√13.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (2;3) và (1;−2) không cùng phương, hai đường thẳng cắt nhau nên không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có pháp tuyến (1;−2) nên vecto chỉ phương là (2;1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét Δ₁: 2x+3y−1=0 có pháp tuyến n₁=(2;3) và Δ₂: x−2y+5=0 có pháp tuyến n₂=(1;−2).
a) Vectơ chỉ phương của Δ₂ vuông góc với n₂=(1;−2), chẳng hạn u=(2;1) vì 1·2+(−2)·1=0 → đúng.
b) Cosin góc giữa hai đường thẳng: cos(Δ₁,Δ₂)=|2·1+3·(−2)|/(√13·√5)=|−4|/√65=4/√65=4√65/65 → đúng.
c) n₁=(2;3) không tỉ lệ với n₂=(1;−2) nên hai đường thẳng cắt nhau, không song song → sai.
d) d(A,Δ₁)=|2·3+3·(−1)−1|/√13=|6−3−1|/√13=2/√13 → đúng.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng, khớp với đáp án nguồn (2a D, 2b D, 2c S, 2d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂ có pháp tuyến (1;−2) nên vectơ chỉ phương u=(2;1) vuông góc với pháp tuyến, thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(Δ₁,Δ₂)=|2·1+3·(−2)|/(√13·√5)=4/√65=4√65/65.
c) (AI giải đề cho tôi)
n₁=(2;3) không tỉ lệ n₂=(1;−2) nên hai đường thẳng cắt nhau, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ₁)=|2·3+3·(−1)−1|/√13=2/√13.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vectơ chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(3-4;0-1)=(-1;-1)$, phương trình qua $B(3;0)$: $y=x-3\iff x-y-3=0$, không phải $x+y-3=0$ (đường $x+y-3=0$ không qua $A(4;1)$ vì $4+1-3=2\ne 0$).
b) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(1;1)$ (tính từ $B$ đến $A$) là một vectơ chỉ phương của AB.
c) Đúng. $d(A,d)=\frac{|2\cdot 4+1-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.
d) Đúng. $\overrightarrow{OA}=(4;1)$, $\overrightarrow{OB}=(3;0)$, tích vô hướng $=12>0$ nên $\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})>0$, góc giữa hai đường $OA$ và $OB$ nhỏ hơn $90^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a S, b Đ, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình AB là $x-y-3=0$; đường $x+y-3=0$ không qua $A(4;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;1)$ là vectơ chỉ phương của AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,d)=|8+1-4|/\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=12>0$ nên góc nhỏ hơn $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:5x-3y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(5;-3)$ và $d_2:10x-6y-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(10;-6)=2\overrightarrow{n_1}$. Vì $\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song (kiểm tra: $\frac{5}{10}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\ne \frac{-1}{7}$, tức khác hệ số tự do nên không trùng nhau). Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng $0°$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 0.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+y-4=0$ và $d_2:-2x-2y+6=0$. Ta có $a_1=1,b_1=1,c_1=-4$; $a_2=-2,b_2=-2,c_2=6$. Vì $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=-\frac{1}{2}\ne \frac{c_1}{c_2}=-\frac{2}{3}$ nên hai đường thẳng song song. Kiểm tra: $d_1$ có hệ số góc $-1$, $d_2$ có hệ số góc $-1$ (cùng phương), nhưng $d_1$ đi qua $(4;0)$ không thuộc $d_2$ vì $-2(4)+6=-2\ne 0$. Vậy $d_1\parallel d_2$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(0;-3)$ và $N(4;0)$ nên cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $b=-3$ và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $a=4$. Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\Rightarrow \frac{x}{4}-\frac{y}{3}=1$. Kiểm tra: tại $N(4;0)$: $\frac{4}{4}-0=1$ đúng; tại $M(0;-3)$: $0-\frac{-3}{3}=1$ đúng. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua O(0;0) với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3)$ có phương trình tham số $x=t,y=3t$, tức $y=3x$. Điểm $M(2;b)$ thuộc Δ nên $b=3\cdot 2=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 1: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với trục $Oy$ có vectơ chỉ phương cùng phương với trục $Oy$, tức vectơ có hoành độ bằng 0. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{u}=(0;1)$ thỏa mãn. Các vectơ $(1;0)$, $(1;-1)$, $(1;1)$ đều có hoành độ khác 0 nên không cùng phương với trục $Oy$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+2y-5=0$ và $d_2:3x+my+1=0$ song song khi và chỉ khi $\frac{1}{3}=\frac{2}{m}\ne \frac{5}{-1}$. Từ $\frac{1}{3}=\frac{2}{m}$ suy ra $m=6$; kiểm tra $\frac{5}{-1}=-5\ne \frac{1}{3}$ nên hai đường thẳng thực sự song song (không trùng nhau). Vậy $m=6$, chọn đáp án A, trùng với đáp án của đề (Đề 102, Câu 6: A).