Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua O(0;0) với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;5)$ có phương trình tham số $x=2t,y=5t$, suy ra phương trình tổng quát $5x-2y=0$, tức $y=\frac{5}{2}x$. Điểm $P(6;y)$ thuộc Δ nên $y=\frac{5}{2}\cdot 6=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (15).

a) $\overrightarrow{BC}=(8;4)$, chọn $\vec{n}=(2;1)$ là vtpt của đường cao kẻ từ A. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A là $2(x-0)+(y-9)=0\iff 2x+y-9=0$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $\frac{x}{-3}+\frac{y}{9}=1\iff 3x-y+9=0$. $d(C/AB)=\frac{\left|3.5-4+9\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}=R$. Phương trình đường tròn cần tìm là $(x-5{)}^2+(y-4{)}^2=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với trục $Ox$ có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ đơn vị trên trục hoành, tức có dạng $(k;0)$ với $k\ne 0$ (tung độ bằng 0). Trong các đáp án: $\vec{u}=(1;0)$ thỏa mãn; $(1;-1)$ và $(1;1)$ có tung độ khác 0 nên là vectơ chỉ phương của đường thẳng có hệ số góc khác 0; $(0;1)$ là vectơ chỉ phương của trục $Oy$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-3y+2=0$ (có $a_1=1,b_1=-3,c_1=2$) và $d_2:2x+my+3=0$ (có $a_2=2,b_2=m,c_2=3$) song song khi và chỉ khi $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, tức $\frac{1}{2}=\frac{-3}{m}\ne \frac{2}{3}$. Suy ra $m=-6$. Kiểm tra: với $m=-6$ thì $\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$, nên hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 6: D).

Vecto pháp tuyến của đường thẳng $d:2x-y+1=0$ là $\vec{n}=(2;-1)$.
Chọn đáp án (C)

Công thức tính khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Chọn đáp án (D)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc bù của nó), nên $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Điều này khớp với phương án B (mẫu số là $\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}$, tử số có giá trị tuyệt đối). Phương án A sai mẫu số ($\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}$), C thiếu giá trị tuyệt đối, D sai tử số. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-t,y=3+2t$, véc tơ chỉ phương của $(d)$ là $\vec{u}=(-1;2)$ (hệ số của $t$). Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. VTPT của Δ là n₁=(3;-4), của d là n₂=(3;2). n₁·n₂ = 9 + (-8) = 1 ≠ 0 nên d không vuông góc với Δ.
b) Đúng. d(A,Δ) = |3·3 - 4·(-2) + 8| / √(3²+4²) = |9+8+8|/5 = 25/5 = 5.
c) Đúng. Giải hệ 3x+2y=4 và 3x-4y=-8: trừ hai phương trình được 6y=12 ⇒ y=2, suy ra 3x+4-4=0 ⇒ x=0. Giao điểm là (0;2).
d) Sai. Đường tròn tâm A(3;-2) tiếp xúc với Δ có bán kính R = d(A,Δ) = 5, phương trình đúng là (x-3)² + (y+2)² = 25, không phải (x+3)²+(y-2)²=25. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
n₁·n₂ = 3·3 + (-4)·2 = 1 ≠ 0 nên d không vuông góc với Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |3·3 - 4·(-2) + 8|/5 = 25/5 = 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được x=0, y=2, giao điểm (0;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn đúng phải là (x-3)²+(y+2)²=25 với tâm A(3;-2), R=5.

Đáp số: 2.

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ $C$ đến thuyền $T$ trong quá trình chuyển động của nó là:
$d=\frac{\left|5.3-12.4+7\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}=2$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ đến thuyền đánh cá là 2 hải lý.

a) Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

$d:4x+3y-2=0$ có một vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$. (0,25 điểm)

Suy ra một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;-4)$. (0,25 điểm)

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-5-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ (với $a^2+b^2\ne 0$) là $d(M,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả không âm, mẫu số là căn tổng bình phương $a^2+b^2$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-t,y=3+2t$, véc tơ chỉ phương của $(d)$ là $\vec{u}=(-1;2)$ (hệ số của $t$). Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-2)+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+8+8|}{5}=\frac{25}{5}=5$ → Đúng. b) VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-4)$, của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(3;2)$. Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_d}=3\cdot 3+(-4)\cdot 2=9-8=1\ne 0$ → không vuông góc → Sai. c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}3x+2y-4=0\\ 3x-4y+8=0\end{array}$: trừ hai phương trình được $6y-12=0\Rightarrow y=2$, suy ra $3x+4-4=0\Rightarrow x=0$. Giao điểm $(0;2)$ → Đúng. d) Đường tròn tâm $A(3;-2)$ bán kính $R=d(A,\Delta )=5$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$, khác với $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=25$ (tâm $(-3;2)$) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-2)+8|}{5}=\frac{25}{5}=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_d}=3\cdot 3+(-4)\cdot 2=1\ne 0$ nên $d$ không vuông góc với $\Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được $x=0,y=2$, giao điểm $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn đúng là $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$ với tâm $A(3;-2)$, bán kính $5$; phương trình đã cho có tâm $(-3;2)$.

Đáp số: 2.

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ $C$ đến thuyền $T$ trong quá trình chuyển động của nó là:
$d=\frac{\left|5.3-12.4+7\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}=2$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ đến thuyền đánh cá là 2 hải lý.

a) Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

$d:4x+3y-2=0$ có một vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$. (0,25 điểm)

Suy ra một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;-4)$. (0,25 điểm)

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-5-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ (với $a^2+b^2\ne 0$) là $d(M,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Khớp với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy góc nhọn, nên cosin dương, tức lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng). Theo công thức tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=a_1{a}_2+b_1{b}_2$, $|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$, $|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$. Do đó $\cos \phi =\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. So sánh các phương án: A thiếu giá trị tuyệt đối (có thể cho cosin âm, không đúng với góc nhọn giữa hai đường thẳng); B sai mẫu số ($\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}$); D sai tử số ($|a_1{b}_1+a_2{b}_2|$). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(0;3)$ và $B(4;0)$ có dạng đoạn chắn $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$, nhân với 12 được $3x+4y-12=0$. Kiểm tra: tại $A$: $3\cdot 0+4\cdot 3-12=0$; tại $B$: $3\cdot 4+4\cdot 0-12=0$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề B, câu 10: D).

Ta có $\overrightarrow{BC}(5;3)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH. Phương trình AH: $5(x-2)+3(y-1)=0\iff 5x+3y-13=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)