Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(2;1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{u}(-1;1)$ có phương trình: $-1(x-2)+1(y-1)=0\iff -x+2+y-1=0\iff -x+y+1=0$. Thử lại: điểm $A(2;1)$: $-2+1+1=0$ (thỏa). Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề B, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x-4y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3$, $b=-4$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;-4)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (Mã B, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình tham số $\Delta :x=2-t,y=-5+2t$. Với $A(1;-3)$: từ $x=1$ suy ra $t=1$, khi đó $y=-5+2\cdot 1=-3$ khớp tọa độ $y$ của $A$, nên $A\in \Delta$. Các điểm khác: $C(2;5)$ cho $t=0$ nhưng $y=-5\ne 5$; $B(-1;-3)$ cho $t=3$ nhưng $y=1\ne -3$; $D(2;1)$ cho $t=0$ nhưng $y=-5\ne 1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề B, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $I(0;6)$ và $J(2;5)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{IJ}=(2;-1)$, lấy $\vec{u}=(-2;1)$. Qua điểm $J(2;5)$: $\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=5+t\end{array}$. Kiểm tra: $t=0$ cho $J(2;5)$; $t=1$ cho $(0;6)=I$. Vậy đáp án B, trùng đáp án nguồn (Mã đề A, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1)$ có phương trình: $2(x-1)+1(y+2)=0\iff 2x-2+y+2=0\iff 2x+y=0$. Kiểm tra: điểm $A(1;-2)$ thỏa $2(1)+(-2)=0$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề A, câu 2: B).

Đường cao $AH$ vuông góc với đường thẳng $BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow{BC}$ làm một vectơ pháp tuyến. Ta có $\overrightarrow{BC}=(4-(-2);-3-1)=(6;-4)$. Có thể chọn VTPT gọn hơn: $\vec{n}=(3;-2)$. Đường cao $AH$ đi qua $A(1;5)$ và có VTPT $\vec{n}=(3;-2)$, có phương trình tổng quát là: $3(x-1)-2(y-5)=0\iff 3x-2y+7=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x-4y+7=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=-4$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;-4)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề A, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng Δ: x - 2y + 4 = 0. Với Q(0;2): 0 - 2·2 + 4 = 0 ✓ nên Q thuộc Δ. Với N(-2;0): -2 - 0 + 4 = 2 ≠ 0. Với M(1;-2): 1 + 4 + 4 = 9 ≠ 0. Với P(2;0): 2 - 0 + 4 = 6 ≠ 0. Vậy chỉ có Q(0;2) thuộc Δ, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề A, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$, nên VTPT là $(7;-5)$ hoặc $(-7;5)$. Kiểm tra $(5;7)\cdot (-5;-7)=-74\ne 0$ nên $(5;7)$ không phải VTPT → Sai.
b) Trung điểm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, đường trung trực có VTPT là $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$: $-5\left(x+\frac{1}{2}\right)-7\left(y+\frac{3}{2}\right)=0\iff 5x+7y+13=0$. Phương trình đề cho tương đương $x+3y+26=0$ → Sai.
c) Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, bán kính $R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{25+49}{4}=\frac{37}{2}$: ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{37}{2}$ → Đúng.
d) Đường tròn tâm $A$ qua $B$ có $R^2=A{B}^2=25+49=74\ne 72$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$ nên VTPT là $(7;-5)$ hoặc $(-7;5)$; $(5;7)$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường trung trực qua $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$ với VTPT $(-5;-7)$ có phương trình $5x+7y+13=0$, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, $R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{74}{4}=\frac{37}{2}$, đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R^2=A{B}^2=(-5{)}^2+(-7{)}^2=74\ne 72$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-11x-2y-64=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(-11;-2)$. Thay $M(5;3)$: $-11(5)-2(3)-64=-125$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$: $\overrightarrow{MH}=\frac{-(-125)}{(-11{)}^2+(-2{)}^2}\cdot (-11;-2)=\frac{125}{125}(-11;-2)=(-11;-2)$. Suy ra $H=(-6;1)$, và $M^{\prime }=2H-M=(-12-5;2-3)=(-17;-1)$. Vậy $a+b=-17+(-1)=-18$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;3)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(9;-5)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|1\cdot 9+3\cdot (-5)|}{\sqrt{10}\sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(-2;-1), B(2;-7): vectơ chỉ phương AB = (4;-6) = 2(2;-3), nên a) đúng. Trung điểm AB là (0;-4), đường trung trực có VTCP (2;-3) nên phương trình 2x - 3(y+4) = 0 tức 2x - 3y - 12 = 0, khác 2x - 3y + 1 = 0 nên b) sai. Đường tròn tâm A qua B có R² = AB² = 16 + 36 = 52 ≠ 49 nên c) sai. Đường tròn đường kính AB có tâm (0;-4), R = AB/2, R² = 13, phương trình x² + (y+4)² = 13 nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ AB = (4;-6) có VTCP (2;-3), đường thẳng qua A(-2;-1): x = -2 + 2t, y = -1 - 3t. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là (0;-4), đường trung trực vuông góc AB nên có VTCP (2;-3): 2x - 3(y+4) = 0 ⇔ 2x - 3y - 12 = 0 ≠ 2x - 3y + 1 = 0. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = AB nên R² = 4² + (-6)² = 52, phương trình là (x+2)² + (y+1)² = 52 ≠ 49. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm I(0;-4), R² = (AB/2)² = 52/4 = 13, phương trình x² + (y+4)² = 13. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1)$. Gọi $D^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là điểm đối xứng của $D(-1;3)$ qua $d$. Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(x^{\prime }+1;y^{\prime }-3)$ cùng phương với $\vec{n}$, nên $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=k(3;1)$, suy ra $x^{\prime }=-1+3k$, $y^{\prime }=3+k$. Trung điểm $I\left(\frac{x^{\prime }-1}{2};\frac{y^{\prime }+3}{2}\right)=\left(-1+\frac{3k}{2};3+\frac{k}{2}\right)$ thuộc $d$, thay vào phương trình $d$: $$3\left(-1+\frac{3k}{2}\right)+\left(3+\frac{k}{2}\right)-10=0\iff \frac{9k}{2}+\frac{k}{2}-10=0\iff 5k-10=0\iff k=2.$$ Vậy $D^{\prime }=(-1+6;3+2)=(5;5)$. Kiểm tra: trung điểm $I(2;4)$ thỏa $3(2)+4-10=0$; $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(6;2)=2(3;1)$ cùng phương với pháp tuyến. Cách khác: dùng công thức đối xứng qua $Ax+By+C=0$ với $f(D)=3(-1)+3-10=-10$, ta có $x^{\prime }=x_0-\frac{2Af(D)}{A^2+B^2}=-1-\frac{2\cdot 3\cdot (-10)}{10}=5$, $y^{\prime }=y_0-\frac{2Bf(D)}{A^2+B^2}=3-\frac{2\cdot 1\cdot (-10)}{10}=5$, cho cùng kết quả $D^{\prime }(5;5)$. Vậy $a=5$, $b=5$, nên $a+b=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-3)(5)+1\cdot 9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;2), B(-3;-5). Vecto chỉ phương của AB là AB=(-5;-7), nên vecto pháp tuyến là (7;-5) (vì 7·(-5)+(-5)·(-7)=0) → a) đúng. Đường thẳng AB: 7(x-2)-5(y-2)=0 ⇔ 7x-5y-4=0. Trung điểm M(-1/2; -3/2). Đường trung trực AB nhận AB=(-5;-7) làm pháp tuyến, đi qua M: -5(x+1/2)-7(y+3/2)=0 ⇔ 5x+7y+13=0, khác -1/2 x - 3/2 y - 13 = 0 → b) sai. Đường tròn đường kính AB có tâm M(-1/2;-3/2), bán kính R=AB/2, R²=AB²/4=(25+49)/4=74/4=37/2, không phải 37/4 → c) sai. Đường tròn tâm A qua B có R²=AB²=(-5)²+(-7)²=74, không phải 72 → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-5;-7) nên vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là (7;-5) vì 7·(-5)+(-5)·(-7)=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M(-1/2;-3/2), đường trung trực có pháp tuyến AB=(-5;-7): -5(x+1/2)-7(y+3/2)=0 ⇔ 5x+7y+13=0, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm M(-1/2;-3/2) đúng nhưng R²=AB²/4=(25+49)/4=37/2 ≠ 37/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
R²=AB²=(-5)²+(-7)²=74 ≠ 72, nên phương trình đúng phải là (x-2)²+(y-2)²=74.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M^{\prime }=(x;y)$ là điểm đối xứng của $M(-2;7)$ qua $d:3x-5y-27=0$. Ta có $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(x+2;y-7)$ vuông góc với $d$ nên $\frac{x+2}{3}=\frac{y-7}{-5}=t$, và trung điểm $I\left(\frac{x-2}{2};\frac{y+7}{2}\right)$ thuộc $d$. Thay vào: $3\cdot \frac{x-2}{2}-5\cdot \frac{y+7}{2}-27=0\Rightarrow 3x-5y=73$. Với $x=-2+3t,y=7-5t$: $3(-2+3t)-5(7-5t)=73\Rightarrow -6+9t-35+25t=73\Rightarrow 34t=114\Rightarrow t=\frac{57}{17}$. Suy ra $x=-2+\frac{171}{17}=\frac{137}{17}$... kiểm tra lại: cách khác, $d(M)=3(-2)-5(7)-27=-48$, $M^{\prime }=M-\frac{2d(M)}{3^2+(-5{)}^2}(3;-5)=(-2;7)+\frac{48}{17}(3;-5)=\left(-2+\frac{144}{17};7-\frac{240}{17}\right)=\left(\frac{110}{17};-\frac{121}{17}\right)$. Kiểm tra: trung điểm $\left(\frac{48}{17};-\frac{1}{34}\right)$... thực tế kiểm tra trung điểm $I=\left(\frac{-2+110/17}{2};\frac{7-121/17}{2}\right)=\left(\frac{38}{17};-\frac{1}{17}\right)$, thay vào $d$: $3\cdot \frac{38}{17}-5\cdot \left(-\frac{1}{17}\right)-27=\frac{114+5}{17}-27=7-27=-20\ne 0$. Tính lại: $7-\frac{240}{17}=\frac{119-240}{17}=-\frac{121}{17}$, đúng. Trung điểm: $x_I=\frac{-2+110/17}{2}=\frac{-34/17+110/17}{2}=\frac{76/17}{2}=\frac{38}{17}$; $y_I=\frac{7-121/17}{2}=\frac{119/17-121/17}{2}=-\frac{1}{17}$. Thay vào $d$: $3\cdot \frac{38}{17}-5\cdot \left(-\frac{1}{17}\right)-27=\frac{114+5-459}{17}=\frac{-340}{17}=-20\ne 0$ — sai. Lỗi ở đâu: $2d/(a^2+b^2)=2(-48)/34=-\frac{48}{17}$, nên $M^{\prime }=M-\left(-\frac{48}{17}\right)(3;-5)=M+\frac{48}{17}(3;-5)$ — đúng như trên. Kiểm tra $d(M^{\prime })=3\cdot \frac{110}{17}-5\cdot \left(-\frac{121}{17}\right)-27=\frac{330+605-459}{17}=\frac{476}{17}=28\ne -d(M)=-(-48)=48$? Thực ra phải có $d(M^{\prime })=-d(M)=48$. Ta được 28, sai. Tính lại $d(M)$: $3(-2)-5(7)-27=-6-35-27=-68$, không phải $-48$! Suy ra $M^{\prime }=M+\frac{68}{17}(3;-5)=M+4(3;-5)=(10;-13)$. Kiểm tra: $d(10;-13)=30+65-27=68=-d(M)$ đúng; $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(12;-20)$ có tích vô hướng với $(3;-5)$: $36+100=136\ne 0$? $(12)(3)+(-20)(-5)=36+100=136$ — phải vuông góc với pháp tuyến $(3;-5)$: $12\cdot 3+(-20)\cdot (-5)=136\ne 0$, sai! $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ phải song song với pháp tuyến $(3;-5)$: $(12;-20)=4(3;-5)$ đúng, và tích vô hướng với VTCP $(5;3)$: $60-60=0$ đúng. Vậy $M^{\prime }=(10;-13)$, $a+b=10-13=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-15+9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
A(-2;-1), B(2;-7). a) VTCP của AB là AB=(4;-6), không phải (2;-7); kiểm tra: với x=-2+2t=2 thì t=2, y=-1-7·2=-15≠-7 nên B không thuộc đường thẳng này → sai. b) Trung điểm AB là I(0;-4), AB có hệ số góc -3/2 nên trung trực có hệ số góc 2/3: y+4=(2/3)x ⟺ 2x-3y-12=0 → đúng. c) Bán kính R=AB=√(16+36)=√52, nên đường tròn là (x+2)²+(y+1)²=52≠50 → sai. d) Đường tròn đường kính AB có tâm I(0;-4), R²=AB²/4=52/4=13: x²+(y+4)²=13 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của AB là (4;-6) chứ không phải (2;-7); thay t=2 được điểm (2;-15)≠B nên phương trình đã cho sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm I(0;-4), hệ số góc trung trực 2/3, suy ra 2x-3y-12=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R²=AB²=4²+6²=52, phương trình đúng phải là (x+2)²+(y+1)²=52.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(0;-4), R²=52/4=13, được x²+(y+4)²=13.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y=0$ có $a=1,b=-2,c=0$. Áp dụng công thức hình chiếu/đối xứng qua đường thẳng: $x^{\prime }=x_0-2a\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=5-2\cdot 1\cdot \frac{5-10}{5}=5+2=7$; $y^{\prime }=y_0-2b\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=5-2\cdot (-2)\cdot \frac{-5}{5}=5-4=1$. Vậy $A^{\prime }(7;1)$, tức $a=7,b=1$, nên $a+b=8$. Kiểm tra: trung điểm $M(6;3)$ thỏa $6-2\cdot 3=0$ (nằm trên $d$), và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;-4)$ vuông góc với vectơ chỉ phương $(2;1)$ vì $2\cdot 2+(-4)\cdot 1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1:-3x+y+7=0$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;3)$ (hoặc pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$), VTCP của $d_2:5x+9y-6=0$ là $\overrightarrow{u_2}=(-9;5)$ (pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$). Dùng hai pháp tuyến: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-3)(5)+1\cdot 9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Kiểm tra bằng VTCP: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-9)+3\cdot 5=6$, $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{u_2}|=\sqrt{106}$, cùng kết quả $\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy đáp án D.