Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $BC\perp AB$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BC$). Hai đường thẳng $AB$ và $B{B}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, suy ra $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Các mặt phẳng còn lại: $BC$ không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ hay $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ (chứa các đường chéo không vuông góc với $BC$), và $BC$ song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên không thể vuông góc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (12A).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(a,a\sqrt{3})$, $D=(0,a\sqrt{3})$ trong mặt phẳng ban đầu. Tam giác $ABD$ vuông tại $A$ với $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$, nên $BD=2a$ và $\cos \widehat{ABD}=\frac{a^2+4a^2-3a^2}{2a\cdot 2a}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{ABD}=60^{\circ }$, $BH=a\cos 60^{\circ }=\frac{a}{2}$, $AH=a\sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sau khi nâng, $AH\perp (BCD)$ với $H=\left(\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$, $A=\left(\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4},\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $E$ là chân vuông góc từ $H$ xuống $BC$ (đường $x=a$): $E=\left(a,\frac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$.

a) Đúng. Vì $AH\perp (BCD)$ mà $CD\subset (BCD)$ nên $AH\perp CD$.

b) Sai. $M$ là trung điểm $BD$. Trong tam giác $ABD$ vuông tại $A$, trung tuyến $MA=\frac{BD}{2}=a$; trong tam giác $BCD$ vuông tại $C$, trung tuyến $MC=\frac{BD}{2}=a$. Khi gấp theo $BD$, hai tam giác $ABD$ và $BCD$ không biến dạng nên $MA=MC=a$, không có $MA>MC$. (Kiểm tra bằng tọa độ: $M=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $M{A}^2={\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=a^2$ và $M{C}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=a^2$.)

c) Đúng. Mặt phẳng $(AHE)$ chứa $AH$ (phương thẳng đứng) và $HE$ (phương hoành, song song $AB$), nên $(AHE)$ là mặt phẳng $y=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Mặt phẳng trung trực của $BC$ (đoạn thẳng đứng từ $B(a,0,0)$ đến $C(a,a\sqrt{3},0)$) là mặt phẳng $y=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Hai mặt phẳng cùng có pháp tuyến $(0,1,0)$ và không trùng nhau nên song song.

d) Sai. $\overrightarrow{EA}=\left(-\frac{a}{4},0,\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{EH}=\left(-\frac{a}{4},0,0\right)$. Suy ra $k=\cos \widehat{AEH}=\frac{\frac{a^2}{16}}{\frac{a}{4}\cdot \frac{a\sqrt{13}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$. Vậy mô hình chưa đạt tiêu chuẩn.

Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 1101): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp (BCD)$ và $CD\subset (BCD)$ nên $AH\perp CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BD$. Trong tam giác $ABD$ vuông tại $A$, $MA$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $MA=\frac{BD}{2}=a$; trong tam giác $BCD$ vuông tại $C$, $MC=\frac{BD}{2}=a$. Các tam giác không bị biến dạng khi gấp nên $MA=MC=a$, tức $MA=MC$ (không có $MA>MC$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$(AHE)$ là mặt phẳng $y=\frac{a\sqrt{3}}{4}$; mặt phẳng trung trực của $BC$ là $y=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; cùng pháp tuyến $(0,1,0)$ nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
$k=\cos \widehat{AEH}=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$ nên mô hình chưa đạt tiêu chuẩn.

$\Delta ABC$ cân tại $A$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $BC\Rightarrow AH\perp BC$. (0,25 điểm)
$SA\perp (ABC)$, $BC\subset (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. (0,25 điểm)
Hai đường thẳng $AH$ và $SA$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SAH)\Rightarrow BC\perp (SAH)$. (0,25 điểm)
$SH\subset (SAH)$ và $BC\perp (SAH)$, ta suy ra $BC\perp SH$ (điều phải chứng minh). (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án A sai vì để đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$, $d$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$, chứ không phải hai đường thẳng bất kì (hai đường thẳng song song không đủ). Khẳng định B đúng: vì $a\parallel (\alpha )$ nên tồn tại đường thẳng $a^{\prime }$ trong $(\alpha )$ với $a\parallel a^{\prime }$; do $d\perp (\alpha )$ nên $d\perp a^{\prime }$, suy ra $d\perp a$. Khẳng định C đúng theo định lí về điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Khẳng định D đúng theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối chiếu với đáp án đề 1020: câu 11 là A, khớp với kết quả.

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, đặc biệt $A{A}^{\prime }\perp CD$. Kiểm tra các phương án khác: $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (không vuông góc, loại D); $C^{\prime }D$ và $A^{\prime }B$ là các đường chéo của mặt bên, không vuông góc với $A{A}^{\prime }$ (loại B, C). Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Định lý: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau, nên C đúng. A sai (chúng song song, không vuông góc). B sai (trong không gian hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba có thể chéo nhau). D sai (mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia, không song song). Đáp án khớp mã đề 1020: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án D sai vì để $d\perp (\alpha )$ thì $d$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(\alpha )$, không phải hai đường thẳng bất kì (có thể song song). A đúng theo định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; B, C đúng theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$. Xét từng phương án:
- A: $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (hai cạnh bên song song), nên $A{A}^{\prime }\perp C{C}^{\prime }$ sai.
- B: Chọn hệ trục $A(0,0,1),A^{\prime }(0,0,0),B(1,0,1)$: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,-1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1,0,1)$, tích vô hướng $=-1\ne 0$, nên $A{A}^{\prime }$ không vuông góc $A^{\prime }B$. Sai.
- C: $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$... thực tế $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$ (vì $C^{\prime }D\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$), tức $C^{\prime }D\parallel A{A}^{\prime }$, không vuông góc. Sai.
- D: Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $CD\subset (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp CD$. Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý quen thuộc: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau, nên A đúng. B sai vì trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể chéo nhau hoặc cắt nhau (ví dụ trong hình lập phương $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng không song song... thực tế chúng song song; ví dụ phản ví dụ: $AB$ và $AD$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng cắt nhau tại $A$). C sai vì nếu mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì nó cũng vuông góc (cắt) với đường kia, không song song với đường kia. D sai vì hai đường cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song chứ không vuông góc với nhau. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1010: câu 7 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự $SB=SD$ cho $SO\perp BD$. Suy ra $SO\perp (ABCD)$ (D đúng). Lại có $AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$ (A đúng); $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ nên $BD\perp (SAC)$ (C đúng). Với B: $CD\perp BD$ nhưng $CD$ không vuông góc với $SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO$ chỉ vuông góc mọi đường thẳng qua $O$ trong $(ABCD)$, còn $CD$ không qua $O$; thực tế $CD$ không vuông góc $(SBD)$). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=a$ bằng cạnh hình thoi nên tam giác $ABC$ và $ACD$ đều cạnh $a$, suy ra $BD=a\sqrt{3}$. a) Trong hình thoi $AC\perp BD$; lại có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Do đó $AC\perp (SBD)$, kéo theo $AC\perp SB$: đúng. b) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$: đúng. c) $BD\perp AC$ (tính chất hình thoi) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AC,SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ nên $BD\perp (SAC)$: đúng. d) Tọa độ hóa: $A(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $B(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$, $D(a/2;-a\sqrt{3}/2;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $\overrightarrow{SD}=(a/2;-a\sqrt{3}/2;-a\sqrt{2})$, $|SD|=\sqrt{a^2/4+3a^2/4+2a^2}=a\sqrt{3}$, và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2/2$. Suy ra $\cos \phi =\frac{a^2/2}{a\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$: đúng. Cả bốn ý a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, kể cả $BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (tính chất hình thoi) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AC$ cắt $SA$ tại $A$ trong $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $D(a/2;-a\sqrt{3}/2;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$: $\overrightarrow{SD}=(a/2;-a\sqrt{3}/2;-a\sqrt{2})$, $|SD|=a\sqrt{3}$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2/2$, nên $\cos \phi =\frac{a^2/2}{a^2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$, mà $AH\subset (SAB)$ nên $BC\perp AH$. Lại có $AH\perp SB$ (giả thiết $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$), với $SB\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$, $SB\cap BC=B$. Vậy $AH\perp (SBC)$.

**Câu b)** Vì $AK\perp SC$ (giả thiết) và $HK$ là hình chiếu của $AK$ trên $(SBC)$, theo định lý ba đường vuông góc ta có $HK\perp SC$.

Xét mặt phẳng $(AHK)$: $SC\perp AK$, $SC\perp HK$, trong đó $AK\subset (AHK)$, $HK\subset (AHK)$, $AK\cap HK=K$. Suy ra $SC\perp (AHK)$.

Vì $D=HK\cap BC$ nên $D\in HK\subset (AHK)$, do đó $AD\subset (AHK)$, suy ra $SC\perp AD$. Mặt khác $D\in BC\subset (ABC)$ nên $AD\subset (ABC)$, mà $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AD$.

Ta có $AD\perp SC$, $AD\perp SA$, với $SC\subset (SAC)$, $SA\subset (SAC)$, $SA\cap SC=S$. Vậy $AD\perp (SAC)$, suy ra $AD\perp AC$.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B=(0;0;0)$, $A=(a;0;0)$, $C=(0;b;0)$, $S=(a;0;h)$. Khi đó
$$H=\left(\frac{a^3}{a^2+h^2};0;\frac{a^{2}h}{a^2+h^2}\right),K=\left(\frac{a(a^2+b^2)}{T};\frac{b{h}^2}{T};\frac{h(a^2+b^2)}{T}\right),T=a^2+b^2+h^2.$$

Đường thẳng $HK$ cắt trục $Oy$ (đường thẳng $BC$) tại $D=(0;y_D;0)$ với tham số $\lambda =-\frac{a^{2}T}{b^2{h}^2}$ (thỏa cả hai điều kiện $x=0$ và $z=0$), cho
$$y_D=\lambda \cdot \frac{b{h}^2}{T}=-\frac{a^2}{b}.$$

Khi đó $\overrightarrow{AC}=(-a;b;0)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-a;-\frac{a^2}{b};0\right)$ nên
$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2+b\cdot \left(-\frac{a^2}{b}\right)=0,$$

tức $AC\perp AD$ (khớp với kết quả tổng quát ở trên).

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AD$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Delta$. Mọi đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ đều vuông góc với $\Delta$ tại điểm chung $H$ (hoặc vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta$), nên chúng cùng nằm trong mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ (mặt phẳng $(\alpha )$ với $(\alpha )\perp \Delta$). Hai đường thẳng bất kỳ trong số đó không nhất thiết song song hay vuông góc với nhau, và mặt phẳng $(\alpha )$ không chứa $\Delta$ vì $A\notin \Delta$. Vậy đáp án C.

Theo định lí ta có “Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a$, $b$ cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.” Chọn đáp án A.

Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp SA\subset (SAB)\\ BC\perp AB\subset (SAB)\\ SA\cap AB=\{A\}\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: SA vuông góc với AB và AD, hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (ABCD), nên SA⊥(ABCD). b) Đúng: AB∥CD nên góc giữa SC và AB bằng góc giữa SC và CD. c) Đúng: AD⊥AB (hình chữ nhật) và AD⊥SA (giả thiết) nên AD⊥(SAB). d) Đúng: SA⊥(ABCD) nên góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA, tan(SBA)=SA/AB=2√3/2=√3, suy ra góc bằng 60°. Khớp đáp án mã 111: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥AB, SA⊥AD với AB, AD cắt nhau trong (ABCD) nên SA⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì AB∥CD (ABCD là hình chữ nhật) nên (SC,AB)=(SC,CD).
c) (AI giải đề cho tôi)
AD⊥AB và AD⊥SA nên AD⊥(SAB).
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA; tan(SBA)=SA/AB=2√3/2=√3 nên góc bằng 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ khi và chỉ khi $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$. Xét các phương án: A sai vì hai đường thẳng $a,b$ có thể song song (khi đó $d$ không nhất thiết vuông góc với $(\alpha )$); B sai vì hai đường thẳng song song không đủ điều kiện; C đúng vì hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$ chính là nội dung định lý; D sai vì chỉ vuông góc với một đường thẳng trong $(\alpha )$ là chưa đủ. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án của đề (Mã đề 111, Câu 2: C).

Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (1)

Tam giác ABC đều có AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao, suy ra $BC\perp AM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $BC\perp (SAM)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SD\perp (ABCD)$ nên $SD\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Do $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SD$ và $AD$ cùng thuộc mặt phẳng $(SDA)$, suy ra $AB\perp (SDA)$. Vậy khẳng định đúng là D. Các phương án khác sai: A sai vì $BC$ không vuông góc $SA$ (tam giác SAC không phải vuông tại A); B sai vì $AB$ không vuông góc $SB$; C sai vì $SD$ không vuông góc $SC$. Kết quả trùng đáp án nguồn (đề 1102, câu 12: D).