Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp CD$ và $SC\perp CB$ với $CD,CB$ cắt nhau tại $C$ nằm trong mặt đáy nên $SC\perp (ABCD)$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $DB\perp AC$. Mặt khác $DB\perp SC$ (vì $SC\perp (ABCD)$). Từ đó $DB\perp (SAC)$. Vì $P\in SC,Q\in SA$ nên $PQ\subset (SAC)$, suy ra $DB\perp PQ$. Vậy cặp đường thẳng vuông góc là $DB$ và $PQ$, chọn đáp án A (khớp đáp án nguồn, mã đề 1102 câu 5 là A). Các phương án khác: $DP$ không vuông góc với $AB$ nói chung; $SB$ và $PQ$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ nhưng không vuông góc; $DB$ và $SD$ không vuông góc vì tam giác $SBD$ không vuông tại $D$ nói chung. Lưu ý: các tỉ số $SP=4PC$, $5SQ=4SA$ chỉ xác định vị trí $P,Q$ trên $(SAC)$, không ảnh hưởng đến kết luận $DB\perp PQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SD\perp (ABCD)$ nên $SD\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Do $AB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SDA)$, suy ra $AB\perp (SDA)$. Vậy khẳng định đúng là B. Các phương án khác sai: A sai vì $SD$ cắt $(SBC)$ tại $S$ nên không thể vuông góc với $(SBC)$; C sai vì nếu $AB\perp (SDB)$ thì $AB\perp DB$, mâu thuẫn với $DB$ là đường chéo hình vuông (không vuông góc $AB$); D sai vì nếu $BC\perp (SAC)$ thì $BC\perp AC$, sai trong hình vuông. Kết quả trùng đáp án nguồn (đề 1101, câu 8: B).

+ Hình vẽ (chỉ cần hình chóp) [Hình cần kiểm tra lại: p8_f2] — 0,25
a) (0,5) Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông
+ Ta có $\{\begin{array}{l}CD\perp AD\\ CD\perp SA\end{array}$ — 0,25
+ $\Rightarrow CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp SD\Rightarrow$ tam giác $SCD$ vuông tại $D$ — 0,25
b) (0,75) Chứng minh $AK\perp SC$
+ $AK\perp SB$ (vì K là hình chiếu của A trên SB) (1) — 0,25
+ $\{\begin{array}{l}BC\perp BA\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AK$ (2) — 0,25
+ Từ (1) và (2), Suy ra $AK\perp (SBC)\Rightarrow AK\perp SC$ — 0,25

(Ghi chú: bản gốc hướng dẫn chấm đánh nhãn mục b hai lần; giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (vì $SB\subset (SAB)$). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ nên $OB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $OA,OC$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$. Suy ra $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định khác sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$. Khớp với đáp án nguồn: D.

+ Hình vẽ (chỉ cần hình chóp) [Hình cần kiểm tra lại: p7_f1] — 0,25
a) (0,5) Chứng minh tam giác $SBC$ là tam giác vuông
+ Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}$ — 0,25
+ $\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB\Rightarrow$ tam giác $SBC$ vuông tại $B$ — 0,25
b) (0,75) Chứng minh $AH\perp SC$
+ $AH\perp SD$ (vì H là hình chiếu của A trên SD) (1) — 0,25
+ $\{\begin{array}{l}CD\perp AD\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp AH$ (2) — 0,25
+ Từ (1) và (2), Suy ra $AH\perp (SCD)\Rightarrow AH\perp SC$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Suy ra $CD\perp SD$ vì $SD\subset (SAD)$. Vậy đường thẳng $CD$ vuông góc với $SD$, đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ mà $OA,OC$ cắt nhau tại $O$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(OAC)$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định khác sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $AC$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$ nên theo định lý về tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA\perp AC$. Vậy khẳng định đúng là A. Các phương án B, C, D sai vì $SB,SC,SD$ không vuông góc với $SA$ (tam giác $SAB$, $SAC$, $SAD$ vuông tại $A$, không vuông tại $S$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ (do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc), nên $OB$ vuông góc với hai đường cắt $OA,OC$ trong mặt phẳng $(OAC)$. Suy ra $OB\perp (OAC)$. Các phương án khác sai: $AB$ không vuông góc $(OBC)$ vì $AB$ không vuông góc $BC$; $AC$ không vuông góc $(OBC)$ vì $AC$ không vuông góc $BC$; $AC$ không vuông góc $(OAB)$ vì $AC$ không vuông góc $AB$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, các cạnh bên SA=SB=SC=SD=a nên là hình chóp đều. a) Vì tam giác SAC cân tại S (SA=SC) nên SO⊥AC; tam giác SBD cân tại S nên SO⊥BD; do đó SO⊥(ABCD) → đúng. b) Nếu SA⊥(ABCD) thì SA⊥AB, nhưng tam giác SAB đều cạnh a nên góc SAB=60°≠90° → sai. c) Hình chiếu của S lên (ABCD) là O nên hình chiếu của SA là AO, góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và AO, tức là SAO (không phải SOA) → sai. d) Giao tuyến của (SAB) và (ABO)=(ABCD) là AB; O là trung tâm đáy nên OM⊥AB với M trung điểm AB, đồng thời SM⊥AB (tam giác SAB cân). Vậy góc nhị diện [S,AB,O] là SMO. Ta có SM=√(a²−a²/4)=a√3/2, OM=a/2, nên cos(SMO)=OM/SM=(a/2)/(a√3/2)=1/√3, suy ra SMO≈54,7356°≈54,7° → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
SO⊥AC và SO⊥BD (các tam giác SAC, SBD cân tại S) nên SO⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác SAB đều nên góc SAB=60°, SA không vuông góc với AB, do đó SA không vuông góc (ABCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của S lên (ABCD) là O nên góc giữa SA và (ABCD) là SAO, không phải SOA.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện là SMO với cos(SMO)=OM/SM=(a/2)/(a√3/2)=1/√3, suy ra SMO≈54,7°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, hai đường thẳng $SA$ và $AD$ cắt nhau tại $A$, do đó $BC\perp (SAD)$. Vậy chọn đáp án D.
Lưu ý: về mặt lý thuyết, $CD\perp AD$ (hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ nên $CD$ cũng thỏa mãn điều kiện vuông góc với $(SAD)$; do đó câu hỏi về mặt chặt chẽ có hai phương án thỏa mãn ($C$ và $D$), nhưng đáp án chuẩn của đề là $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó A, B, C đều đúng; mặt đáy là tam giác đều chứ không phải tam giác vuông, nên khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Có, $AC\perp (SBD)$. Giải thích: Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$ (vì $AC$ nằm trong $(ABCD)$). Từ đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b//a$ (hai đường thẳng phân biệt nên $b$ không nằm trong $(P)$), theo tính chất hai đường thẳng song song thì $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề đúng là B. Các phương án khác sai: A sai vì $b$ song song với đường thẳng vuông góc $(P)$ nên $b$ cũng vuông góc $(P)$, không song song $(P)$; C và D sai vì $b\perp a$ chỉ suy ra $b$ song song hoặc nằm trong $(P)$, không kết luận được $b\perp (P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ minh họa câu 11 có trên trang 5 (hình chóp $S.ABCD$ với $SB$ vuông góc đáy), nên token hợp lệ. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AD$. Do đó $AD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SB$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $AD\perp (SAB)$. Các khẳng định khác sai: $SB$ không vuông góc $(SDC)$ (vì $SB$ không vuông góc $SD$ hay $DC$ trong mặt phẳng đó theo cách tổng quát), $AD$ không vuông góc $(SDB)$ (vì $AD$ không vuông góc $BD$), $DC$ không vuông góc $(SAC)$ (vì $DC$ không vuông góc $AC$). Đáp án D trùng với đáp án nguồn (mã đề 1106, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, qua một điểm $O$ cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng $(\alpha )$ cho trước (tính chất của đường vuông góc với mặt phẳng). Vậy đáp án là $1$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: qua một điểm $O$ cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ cho trước. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1105, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AD$. Do $AD\perp AB$, $AD\perp SB$ và $AB,SB$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $AD\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là B. Các khẳng định khác sai: $AD$ không vuông góc với $SD$ nên A sai; $SB$ không vuông góc với $SD$ nên C sai; $DC$ không vuông góc với $SA$ nên D sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1105: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ ($AB=BC$) có góc đỉnh $60^{\circ }$, do đó tam giác $ABC$ đều. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM$ là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của tam giác đều $ABC$, suy ra $AM\perp BC$ (1). Vì $SC\perp (ABCD)$ mà $AM\subset (ABCD)$ nên $SC\perp AM$ (2). Từ (1) và (2), $AM\perp BC$, $AM\perp SC$, với $BC,SC$ là hai đường cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$, theo định lý về đường vuông góc với mặt phẳng ta có $AM\perp (SBC)$. Đpcm.