Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó. Hai đường thẳng song song (A) hoặc chỉ một đường thẳng (B) không đủ điều kiện; C sai vì đường thẳng cắt mặt phẳng có thể không nằm trong mặt phẳng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật AB=6, AD=8, SA⊥(ABCD).
a) Sai: Nếu AC⊥(SBD) thì AC⊥BD (đúng) và AC⊥SB. Nhưng SB không nằm trong mặt đáy; thực tế trong mặt phẳng (SAC), SO (O = AC∩BD) là giao tuyến của (SAC) và (SBD), mà AC không vuông góc với SO (vì tam giác SAC không phải vuông tại O với cấu hình này), nên AC không vuông góc (SBD).
b) Đúng: SA⊥(ABCD) nên hình chiếu của S lên đáy là A, do đó hình chiếu của SC lên mặt đáy là AC.
c) Đúng: CD⊥AD (hình chữ nhật) và CD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.
d) Sai: Gọi O = AC∩BD. Toạ độ A(0,0,0), B(6,0,0), D(0,8,0), C(6,8,0); tan∠SBA = SA/AB = 1 ⇒ SA = 6, S(0,0,6). Mặt phẳng (SBD): SB=(6,0,-6), SD=(0,8,-6), pháp tuyến n=(4,3,4), phương trình 4x+3y+4z=24. Khoảng cách từ A: d = 24/√41. Góc giữa SA và (SBD): sinθ = d/SA = (24/√41)/6 = 4/√41 ≈ 0,6247 ⇒ θ ≈ 38,66° < 42°. Vậy khẳng định 'lớn hơn 42°' là sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC không vuông góc với (SBD) vì AC không vuông góc với giao tuyến SO của (SAC) và (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) nên hình chiếu của S lên đáy là A, hình chiếu của SC là AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA=6, sinθ = 4/√41 ⇒ θ ≈ 38,66° < 42°, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Vậy $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AB\perp (SAD)$. Các phương án khác sai: $AC$, $BD$ không vuông góc với $AD$ hay $SA$ theo cách cần thiết; $BC$ song song với $AD$ nên không vuông góc $(SAD)$. Đáp án khớp với mã đề 101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Suy ra $BD\perp SC$ vì $SC\subset (SAC)$. Các khẳng định A, B, D không luôn đúng với hình thoi bất kì. Đáp án khớp với mã đề 101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0). Vì SA⊥(ABC) và SB=a√2 nên SA=√(SB²−AB²)=a, suy ra S(a,0,a). M là trung điểm AC nên M(a/2,a/2,0).
a) SA⊥(ABC) nên SA⊥AC. Đúng.
b) Tam giác ABC vuông cân tại B nên BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó BM⊥AC; lại SA⊥(ABC) nên SA⊥BM. Vậy BM⊥(SAC). Đúng.
c) SC=(−a,a,−a), N=S+t(−a,a,−a). Điều kiện MN⊥SC: (M−S)·SC=0 với M−S=(−a/2,a/2,−a), tích vô hướng = a²/2+a²/2+a²=2a², |SC|²=3a², nên t=2/3. N=(a/3,2a/3,a/3), BN=a√(1/9+4/9+1/9)=a√6/3 ≠ a√3/3. Sai.
d) MN=(−a/6,a/6,a/3), |MN|=a√6/6, |BN|=a√6/3, MN·BN=a²/6, cos(MN,BN)=(a²/6)/(a²·6/18)=1/2 nên góc bằng 60°, không phải 30°. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABC) nên SA vuông với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đáy, kể cả AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, BM là trung tuyến của cạnh huyền AC nên BM⊥AC; mặt khác SA⊥(ABC) nên SA⊥BM. Vậy BM⊥(SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0), S(a,0,a), M(a/2,a/2,0), tìm N trên SC với MN⊥SC được N=(a/3,2a/3,a/3), suy ra BN=a√6/3, không bằng a√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN=(−a/6,a/6,a/3), |MN|=a√6/6, |BN|=a√6/3, MN·BN=a²/6 nên cos=1/2, góc bằng 60° chứ không phải 30°.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (PHẦN IV):

a) Vì $MNP$ là tam giác đều nên đường trung tuyến $ME$ cũng là đường cao, do đó $ME\perp NP$. Mặt khác $SE\perp (MNP)$ mà $NP\subset (MNP)$ nên $SE\perp NP$. Ta có $NP\perp ME$, $NP\perp SE$, với $ME,SE\subset (SME)$ và cắt nhau tại $E$, suy ra $NP\perp (SME)$.

b) Trong tam giác $SME$: $A$ là trung điểm $SM$, $B$ là trung điểm $SE$ nên $AB$ là đường trung bình của tam giác $SME$, suy ra $AB\parallel ME$. Do đó góc giữa $AB$ và $SN$ bằng góc giữa $ME$ và $SN$.

Chứng minh $ME\perp SN$: từ câu a) ta có $NP\perp (SME)$, suy ra $NP\perp ME$. Mặt khác $SE\perp (MNP)$ nên $SE\perp ME$. Vì $ME$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $NP$ và $SE$ trong mặt phẳng $(SEN)$, suy ra $ME\perp (SEN)$, do đó $ME\perp SN$.

(Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $E$ làm gốc, $EN$ trục $Ox$, $EM$ trục $Oy$, $ES$ trục $Oz$. Giả sử cạnh đáy $a=2$, khi đó $N(1;0;0)$, $M(0;\sqrt{3};0)$, $S(0;0;h)$ với $h=SE>0$. Khi đó $\overrightarrow{ME}=(0;-\sqrt{3};0)$ và $\overrightarrow{SN}=(1;0;-h)$, nên $\overrightarrow{ME}\cdot \overrightarrow{SN}=0+0+0=0$, tức $ME\perp SN$ với mọi $h$.)

Kết luận: góc giữa đường thẳng $AB$ và $SN$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, do đó $SB\perp AB$, $SB\perp BC$, $SB\perp AC$ (các mệnh đề A, B, C đúng). Mệnh đề D: $SB\perp SA$ không suy ra được từ giả thiết, vì $SA$ không nằm trong mặt đáy; $SB\perp SA$ chỉ xảy ra khi góc $ASB=90^{\circ }$ (tức tam giác SAB vuông tại S), điều này không được phát biểu trong giả thiết. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. a) Vì $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ bằng góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $B^{\prime }$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$), nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là góc $A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, khác $45^{\circ }$ (chỉ bằng $45^{\circ }$ khi $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, tức phụ thuộc cạnh; nói chung không xác định được bằng $45^{\circ }$). Thực chất: góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ phụ thuộc tỉ số $\frac{C{C}^{\prime }}{AC}$, không cố định bằng $45^{\circ }$ → sai. b) $C{C}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow C{C}^{\prime }\perp AB$ → đúng. c) Lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy: $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ → đúng. d) Mặt $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABC)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $BC$ (với $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$) là góc $A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ trong tam giác vuông $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, phụ thuộc tỉ số giữa cạnh bên và cạnh đáy, không cố định bằng $45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, mà $AB\subset (ABC)$ nên $C{C}^{\prime }\perp AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa đường thẳng $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng theo định nghĩa mặt phẳng trung trực. B đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C đúng: qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. D sai: đường thẳng phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì mới vuông góc với mặt phẳng; nếu hai đường thẳng song song với nhau thì kết luận không chắc chắn. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Do đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $AB$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AB$ không vuông góc $SB$; $BC$ không vuông góc $(SAB)$ vì $BC$ không vuông góc $AB$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AC=2a$, $BC=a$ nên $AB=a\sqrt{3}$.

a) $AB\perp BC$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC\ne 90^{\circ }$), nên $AB$ không vuông góc với mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ → Sai.

b) Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, góc giữa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ bằng góc giữa $BC$ và $AC$ = góc $BCA$, với $\cos \angle BCA=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$ → góc bằng $60^{\circ }$ → Đúng.

c) Hình chiếu của $B^{\prime }C$ lên $(ABC)$ là $BC$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$), nên góc giữa $B^{\prime }C$ và $(ABC)$ là góc $B^{\prime }CB$, không phải $B^{\prime }CA$ → Sai.

d) $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; mà $BC\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ → Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án SĐSĐ.

a) (AI giải đề cho tôi)
$AB$ chỉ vuông góc với $BC$, không vuông góc với $AC$ nên không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

b) (AI giải đề cho tôi)
$B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên góc cần tìm là $\angle BCA=60^{\circ }$ vì $\cos \angle BCA=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$.

c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B^{\prime }C$ trên $(ABC)$ là $BC$, góc giữa $B^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $B^{\prime }CB$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$, $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\perp a$, đường thẳng $b$ không thể cắt $(P)$ (nếu $b$ cắt $(P)$ tại một điểm thì $b$ không vuông góc với $a$, vì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$ đều vuông góc với $a$). Thực tế, $b$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$ (ví dụ mọi đường thẳng trong $(P)$ đều vuông góc với $a$), hoặc song song với $(P)$ (ví dụ đường thẳng qua một điểm ngoài $(P)$ và vuông góc với $a$ sẽ song song với $(P)$). Vậy mệnh đề đúng là: đường thẳng $b$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với mặt phẳng $(P)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

Đáp án theo bảng đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (ĐSĐS).

a) Theo đề bài, SAB là tam giác đều. Do đó $SH\perp AB$
Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng AB.
Suy ra $SH\perp (ABCD)$


b) Ta có ABC là tam giác đều, suy ra $CH\perp AB$
Mà $SH\perp AB$
Do đó $AB\perp (SCH)$. Suy ra $(SCH)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

c) BE vuông góc SC với E là trung điểm SC
Kẻ EK vuông SC
Do đó $[D,SC,B]=\widehat{BEK}$.
Tính được $EK=\frac{a}{2}$; $EB=\frac{a\sqrt{10}}{4}$; $BK=\frac{a\sqrt{22}}{4}$.
$\cos \widehat{BEK}=\frac{E{B}^2+E{K}^2-B{K}^2}{2EB.EK}=\frac{-\sqrt{10}}{5}$.
Góc cần tìm 129,23 độ.

Học sinh giải đúng bằng nhiều cách khác cũng cho điểm

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy là hình thang vuông tại A và D nên AB ∥ CD, AB ⊥ AD, CD ⊥ AD; M là trung điểm AB nên AM = a = DC, do đó AMCD là hình vuông.

a) Ta có CD ⊥ AD (giả thiết) và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD). CD ⊥ AD, CD ⊥ SA với AD, SA là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAD). Vậy CD ⊥ (SAD).

b) Vì AMCD là hình vuông nên MC ⊥ AB (hai đường chéo hình vuông vuông góc nhau). Mặt khác SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ MC. MC ⊥ AB và MC ⊥ SA, với AB, SA là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAB), suy ra MC ⊥ (SAB). Vì MC ⊂ (SCM) nên (SCM) ⊥ (SAB).

c) Tính các độ dài:
• AC² = AD² + DC² = a² + a² = 2a², nên SC² = SA² + AC² = a² + 2a² = 3a².
• Trong mặt phẳng đáy, kẻ BH ⊥ DC (H trên tia DC), BH = AD = a, CH = AB − DC = 2a − a = a, nên CB² = BH² + CH² = a² + a² = 2a².
• SB² = SA² + AB² = a² + 4a² = 5a².
Ta có SC² + CB² = 3a² + 2a² = 5a² = SB². Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác SCB vuông tại C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ (đi qua giao điểm). Phương án A chỉ vuông góc với một đường thẳng là chưa đủ; C và D không liên quan đến định nghĩa. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (AB)\cap (SA)$ với hai đường thẳng $AB,SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Các khẳng định khác sai: $BD$ không vuông góc với $SC$ hay $SA$ nên A, C sai; $AC$ không vuông góc với $SB$ nên D sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $BC\perp CD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $BC\subset (ABCD)$). Hai đường thẳng $CD$ và $C{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, suy ra $BC\perp (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $BC$ không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ vì $BC$ cắt $AC$; $BC$ song song với $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$; $BC$ song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (12A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tấm phẳng ban đầu: $BD=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$; chân đường cao từ $A$ xuống $BD$ cho $BH=\frac{A{B}^2}{BD}=\frac{a}{2}$, $HD=\frac{A{D}^2}{BD}=\frac{3a}{2}$, $AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
a) Đúng: $AH\perp (BCD)$ nên $AH\perp CD$ với $CD\subset (BCD)$.
b) Sai: $M$ trung điểm $BD$ nên $HM=\frac{a}{2}$, suy ra $M{A}^2=A{H}^2+H{M}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2\Rightarrow MA=a$. Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ với $BD=2a$ nên trung tuyến $MC=\frac{BD}{2}=a$. Vậy $MA=MC$, không có $MA>MC$.
c) Đúng: $AH\perp (BCD)\Rightarrow AH\perp BC$; lại có $HE\perp BC$ nên $BC\perp (AHE)$. Mặt phẳng trung trực của $BC$ cũng vuông góc với $BC$, hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song, nên $(AHE)$ song song với mặt phẳng trung trực của $BC$.
d) Sai: Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B(0,0),C(a\sqrt{3},0),A(0,a)$; $H$ là chân vuông góc từ $A$ lên $BD$ nên $H=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4},\frac{a}{4}\right)$, do đó $E=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$ và $HE=\frac{a}{4}$. Tam giác $AHE$ vuông tại $H$ nên $k=\cos \widehat{AEH}=\frac{HE}{AE}=\frac{a/4}{\sqrt{3a^2/4+a^2/16}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$, vậy mô hình chưa đạt tiêu chuẩn. Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 1102): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AH\perp (BCD)$ nên $AH\perp CD$ với $CD\subset (BCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $HM=\frac{a}{2}$, $M{A}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2\Rightarrow MA=a$; tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên trung tuyến $MC=\frac{BD}{2}=a$. Vậy $MA=MC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BC\perp AH$ và $BC\perp HE\Rightarrow BC\perp (AHE)$; mặt phẳng trung trực của $BC$ cũng vuông góc $BC$, nên hai mặt phẳng song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $HE=\frac{a}{4}$, $AE=\frac{a\sqrt{13}}{4}$, $k=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$ nên chưa đạt chuẩn.

$\Delta ABC$ cân tại $B$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AC\Rightarrow BH\perp AC$. (0,25 điểm)
$SB\perp (ABC)$, $AC\subset (ABC)\Rightarrow SB\perp AC$. (0,25 điểm)
Hai đường thẳng $BH$ và $SB$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SBH)\Rightarrow AC\perp (SBH)$. (0,25 điểm)
$SH\subset (SBH)$ và $AC\perp (SBH)$, ta suy ra $AC\perp SH$ (điều phải chứng minh). (0,25 điểm)