Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ (điều kiện đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$, nhưng định nghĩa là vuông góc với mọi đường thẳng). Do đó chọn D. Phương án A sai vì hai đường thẳng phân biệt trong $(P)$ có thể song song với nhau, khi đó không đủ để kết luận $\Delta \perp (P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, do đó A, B, C đều đúng (A: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; B: đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì cũng vuông góc mặt phẳng; C: $b\subset (P)$ thì $b\perp a$). Mệnh đề D sai: nếu $a\perp b$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó $b$ không song song với $(P)$), hoặc $b$ song song với $(P)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SAC$ cân tại $S$ (vì $SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ (vì $SB=SD$) có $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, suy ra $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định A, B, D không được suy ra từ giả thiết (ví dụ $CD$ không nhất thiết vuông góc với $AC$ vì đáy chỉ là hình thoi, không phải hình vuông). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy = cạnh bên = 1. Gọi O tâm đáy: AC = BD = √2, AO = √2/2, SO = √(SA² − AO²) = √(1 − 1/2) = 1/√2.
a) AC ⊥ BD (hình vuông) và AC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) ⇒ AC ⊥ (SBD). Đúng.
b) SB ⊥ AC nhưng SB không vuông SA (tam giác SAB đều cạnh 1, góc ASB = 60°) nên SB không ⊥ (SAC). Sai.
c) Góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và hình chiếu AO lên mặt đáy, tức góc SAO, không phải góc (SA, AC) (vì AC không phải hình chiếu của SA). Sai.
d) CD ∥ AB nên CD ∥ (SAB), khoảng cách giữa SB và CD bằng d(C, (SAB)). Lập hệ trục A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), S(1/2,1/2,1/√2). Mặt phẳng (SAB): −y/√2 + z/2 = 0, khoảng cách từ C: (1/√2)/(√3/2) = √6/3 ≈ 0,816 ≠ 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO ⇒ AC ⊥ (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB ⊥ AC nhưng góc ASB = 60° nên SB không vuông góc (SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SA và (ABCD) là góc SAO (AO là hình chiếu), không phải góc (SA, AC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa SB và CD bằng d(C,(SAB)) = √6/3 ≈ 0,816, không bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $m\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $m$ cũng vuông góc với $(P)$. Do đó nếu $n\parallel m$ thì $n\perp (P)$ (mệnh đề B đúng), chứ không phải $n\parallel (P)$ — mệnh đề A sai. Mệnh đề C đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Mệnh đề D đúng: nếu $n\parallel (P)$ thì $n$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, nói riêng $n\perp m$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, các cạnh bên MM', NN' vuông góc với mặt đáy (MNPQ) và mặt trên (M'N'P'Q'), nên A, B, C đúng. Đường chéo M'P' nằm trong mặt phẳng (M'N'P'Q') song song với (MNPQ), nên M'P' không vuông góc với (MNPQ) (nếu vuông góc thì nó phải vuông góc với mọi đường thẳng trong (MNPQ), ví dụ MP'... thực tế M'P' chỉ song song với MP nằm trong (MNPQ)). Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BA$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp AD$. Từ đó $BA\perp (SAD)$ (vì $BA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Các phương án khác sai vì $BA$ không vuông góc với $AC$, $BC$ hay các mặt phẳng $(SAC),(SBC),(SCD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (chứa $AB,SA$). Do đó: a) $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$ (đúng); b) đúng như trên; c) từ $BC\perp (SAB)$ suy ra $BC\perp AP$, mà $AP\perp SB$ (P là hình chiếu của A trên SB) nên $AP\perp (SBC)$, suy ra $AP\perp PQ$ (đúng); d) hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, của $B$ là $B$, của $C$ là $C$, nên hình chiếu của $△SBC$ là $△ABC$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (vuông tại B) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AP$; kết hợp $AP\perp SB$ suy ra $AP\perp (SBC)$, mà $PQ\subset (SBC)$ nên $AP\perp PQ$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABC)$), của $B,C$ là chính chúng, nên hình chiếu của $△SBC$ là $△ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ đều nằm trong mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ (khi $M\notin \Delta$, ta lấy hình chiếu $H$ của $M$ trên $\Delta$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ chứa mọi đường thẳng qua $M$ vuông góc với $\Delta$). Do đó chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Chúng không nhất thiết vuông góc hay song song với nhau, và không cùng vuông góc với một mặt phẳng nào. Đáp án: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\parallel a$ nên theo tính chất đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề A ('Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$') là sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng: B đúng theo lập luận trên; C đúng vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; D đúng vì $b\parallel (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, đặc biệt $b\perp a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BA$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BA\perp AD$. Do đó $BA\perp (SAD)$ (vì $BA$ vuông góc với hai đường cắt $SA,AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: $BA$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC=45^{\circ }$), nên $BA$ không vuông góc với $(SAC)$; tương tự $BA$ không vuông góc với $(SBC)$ hay $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $BC$ nằm trong $(ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Như vậy $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng (định lý về hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song). B sai: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau (ví dụ trong hình hộp, các cạnh xuất phát từ một đỉnh cùng vuông góc với một cạnh nhưng không song song). C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. D đúng: nếu một trong hai đường thẳng song song vuông góc với mp $(P)$ thì đường thẳng kia cũng vuông góc với $(P)$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD\perp AC$. Lại có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$, suy ra $BD\perp SC$ (vì $SC\subset (SAC)$). Vậy $BD$ vuông góc với $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều cạnh a, AA' ⊥ (ABC).
a) Sai. AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ AC, nhưng tam giác ABC đều nên góc CAB = 60°, tức AC không vuông góc AB. Do đó AC không vuông góc (AA'B'B).
b) Đúng. Vì AA' ⊥ (ABC) và BC nằm trong (ABC) nên AA' ⊥ BC.
c) Sai. Hình chiếu của A' trên (ABC) là A (vì AA' ⊥ (ABC)), B nằm trong (ABC), nên góc giữa A'B và (ABC) là góc A'BA, không phải A'BC.
d) Đúng. Tam giác ABC đều nên CA ⊥ BC; tam giác A'BC có A'A ⊥ (ABC) nên A'C ⊥ BC (định lý ba đường vuông góc). Vậy CA ⊥ BC và A'C ⊥ BC tại giao điểm C, góc nhị diện [A',BC.A] là A'CA.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC không vuông góc AB (góc CAB = 60°) nên AC không vuông góc (AA'B'B).
b) (AI giải đề cho tôi)
AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ BC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A' trên (ABC) là A nên góc giữa A'B và (ABC) là A'BA.
d) (AI giải đề cho tôi)
CA ⊥ BC và A'C ⊥ BC (ba đường vuông góc) nên góc nhị diện là A'CA.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp $SABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2a$.

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Ta có: $BC\perp AB$, $BC\perp SA$, trong đó $AB,SA\subset (SAB)$ và $AB\cap SA=A$. Vậy $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=2a$ và $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$). Khi đó:
$$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$
Suy ra $\widehat{SCA}=\arctan \sqrt{2}\approx 54,74^{\circ }\approx 54^{\circ }44^{\prime }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\arctan \sqrt{2}\approx 54^{\circ }44^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$), suy ra $BD\perp SC$. Vậy khẳng định đúng là A. Các khẳng định B, C, D sai: $AC$ không vuông góc với $SC$ (góc $SCA$ nhọn), $SA$ không vuông góc với $SC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên góc $ASC$ nhọn), và trong hình thoi $BC$ song song với $AD$ chứ không vuông góc. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật AB=6, AD=8, SA⊥(ABCD). Bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 3: SSĐĐ.
a) Sai: AC⊥BD (hai đường chéo hình chữ nhật) nhưng để AC⊥(SBD) cần AC⊥SB, điều này không đúng (SB không nằm trong mặt đáy). Vậy AC không vuông góc với (SBD).
b) Sai: Góc SBA=45° nên SA=AB=6. Gọi H là hình chiếu của A trên BD: AH = AB·AD/BD = 6·8/10 = 4,8; BH = √(AB²−AH²) = 3,6; SB = 6√2 nên SH = √(SB²−BH²) = √59,04 ≈ 7,684. Vì BD⊥AH và BD⊥SA nên BD⊥(SAH), suy ra (SBD)⊥(SAH) với giao tuyến SH. Tam giác SAH vuông tại A (SA⊥AH), khoảng cách từ A đến (SBD) là d(A,SH) = AH·SA/√(AH²+SA²) = 4,8·6/√(4,8²+6²) = 28,8/7,684 ≈ 3,75. Sin góc giữa SA và (SBD) = 3,75/6 ≈ 0,6247 ⇒ góc ≈ 38,7° < 42°. Vậy khẳng định 'lớn hơn 42°' là sai.
c) Đúng: SA⊥(ABCD) nên A là hình chiếu của S trên đáy, do đó hình chiếu của SC lên mặt đáy là AC.
d) Đúng: CD⊥AD (hình chữ nhật) và CD⊥SA (vì SA⊥đáy) ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.
a) AC chỉ vuông góc với BD trong mặt đáy, không vuông góc với SB nên không vuông góc với (SBD).
b) Với góc SBA=45° thì SA=AB=6. Gọi H là hình chiếu của A trên BD, AH = AB·AD/BD = 6·8/10 = 4,8; BH = √(AB²−AH²) = 3,6; SB = 6√2 nên SH = √(SB²−BH²) = √59,04 ≈ 7,684. Vì BD⊥(SAH) nên (SBD)⊥(SAH), giao tuyến SH. Trong mặt phẳng (SAH), tam giác SAH vuông tại A (vì SA⊥AH), nên d(A,(SBD)) = d(A,SH) = AH·SA/√(AH²+SA²) = 4,8·6/7,684 ≈ 3,75. Sin góc giữa SA và (SBD) = 3,75/6 ≈ 0,6247 ⇒ góc ≈ 38,7° < 42°. Vậy khẳng định 'lớn hơn 42°' là sai.
c) SA⊥(ABCD) nên hình chiếu của S là A, hình chiếu của SC là AC.
d) CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Do đó $AB\perp (SAD)$ vì $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$. Nếu $\Delta$ chỉ vuông góc với hai đường thẳng song song (B) hoặc một đường thẳng (D) thì chưa đủ để kết luận $\Delta \perp (P)$. Đáp án A khớp với đáp án của đề (mã 102, câu 9: A).