Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó. Phương án B chỉ yêu cầu vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ (không nhất thiết cắt nhau) nên chưa đủ; C yêu cầu hai đường thẳng song song thì không đủ điều kiện; D chỉ vuông góc với một đường thẳng cũng không đủ. Vậy khẳng định đúng là A. Phương án D được xác minh có trên trang 6 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b//a$ (hai đường thẳng phân biệt) nên $b\perp (P)$, do đó mệnh đề D 'Nếu $b//a$ thì $b//(P)$' là sai. Kiểm tra các mệnh đề còn lại: A đúng vì đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó. B đúng vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, kể cả $b$. C đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ song song với một đường thẳng $c$ trong $(P)$, mà $a\perp (P)$ nên $a\perp c$, suy ra $a\perp b$. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $SA\perp (ABCD)$.

a) Vì $SA\perp$ mặt phẳng đáy nên $SA$ là đường cao của hình chóp → Đúng.

b) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp$ mọi đường thẳng trong mặt đáy, đặc biệt $SA\perp CD$ → Đúng.

c) $SA\perp (ABCD)$, $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ → Đúng.

d) Vì $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $AB\perp (SAD)$. Do đó hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(SAD)$ là điểm $A$, không phải trung điểm $I$ của $SD$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh: Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ nên $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Suy ra $BD\perp AH$ (vì $AH\subset (SAC)$). Mặt khác theo giả thiết $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SO$ nên $AH\perp SO$. Vậy $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$, tức $AH\perp (SBD)$. Vì $SB\subset (SBD)$ nên $AH\perp SB$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Các phương án A, B, D chỉ vuông góc với một hoặc hai đường thẳng nên chưa đủ điều kiện (hai đường thẳng phải cắt nhau). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√2), M trung điểm SC nên M(a/2,a/2,a√2/2), O(a/2,a/2,0).
a) MO là đoạn thẳng đứng (O và M cùng phương thẳng đứng), MO ∥ SA nên góc giữa MO và SA bằng 0°, không phải 180° → sai.
b) MO vuông góc với mặt phẳng đáy nên MO ⊥ BC (BC nằm trong đáy) → đúng.
c) AC ⊥ BD (hai đường chéo hình vuông) và AC ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên AC ⊥ (SBD) → đúng.
d) (SBC) ∩ (ABCD) = BC. Ta có AB ⊥ BC và SB ⊥ BC (vì SA ⊥ BC) nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SBA. tan(SBA) = SA/AB = √2, suy ra cos(SBA) = 1/√3 = √3/3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O(a/2,a/2,0) và M(a/2,a/2,a√2/2) nên MO song song SA; góc giữa hai đường thẳng song song là 0°, không phải 180°.
b) (AI giải đề cho tôi)
MO ⊥ (ABCD) nên MO ⊥ BC với BC nằm trong mặt đáy.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SA nên AC ⊥ (SBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SBA (do AB ⊥ BC, SB ⊥ BC). tan(SBA)=√2 nên cos(SBA)=√3/3.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh hình học quen thuộc với hình chóp có $SA\perp (ABCD)$, đáy là hình chữ nhật.

a) $CD\perp (SAD)$:
- Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$ ($CD$ nằm trong đáy).
- $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$, nên $CD\perp (SAD)$.

b) $SC\perp (AHK)$:
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; kết hợp $CD\perp AD$ (câu a) suy ra $CD\perp (SAD)$. Do đó $CD\perp AH$ ($AH$ nằm trong $(SAD)$).
- Trong tam giác $SCD$: $CD\perp (SAD)$ nên $CD\perp AD$, tức tam giác $SCD$ vuông tại $D$... xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AD$). $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$ nên $AK\perp SD$, tức $AK$ là đường cao của tam giác vuông $SAD$ đi từ $A$. Suy ra $AK\perp SD$, mà $SD\perp AK$ và $SD\perp AD$ nên $SD\perp (AKD)$... cách trực tiếp: trong tam giác vuông $SAD$, $AK\perp SD$.
- Xét tam giác $SAC$: $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$ nên $AH\perp SC$.
- $SC\perp AH$ và $SC\perp AK$ (vì $AK\perp SD$, mà $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$... chính xác hơn: $AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$) nên $AK\perp (SCD)$, do đó $AK\perp SC$).
- $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AH$ và $AK$ trong mặt phẳng $(AHK)$, nên $SC\perp (AHK)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) $BD\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BD$ ⇒ đúng.
b) $AC\perp BD$ (do $ABCD$ là hình vuông), nhưng để $AC\perp (SBD)$ cần $AC$ vuông góc với một đường thẳng thứ hai trong $(SBD)$ cắt $BD$, ví dụ $SO$. Lưu ý $SA$ không nằm trong $(SBD)$ nên không dùng được. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $SO\perp AC$ chỉ khi $SA=SC$, điều này không đúng chung vì $S{C}^2=S{A}^2+A{D}^2>S{A}^2$. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;h)$ thì $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, pháp tuyến của $(SBD)$ có dạng $(h;h;a)$, tích vô hướng $ah+ah+0\ne 0$. Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ ⇒ sai.
c) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $CD\perp (SAD)$ ⇒ đúng.
d) $BC\parallel AD$ và $SA\perp AD$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng trong $(ABCD)$, do đó $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ nhưng $SA$ không nằm trong $(SBD)$; xét $SO\subset (SBD)$: $SO\perp AC$ chỉ khi $SA=SC$, không đúng chung vì $S{C}^2=S{A}^2+A{D}^2>S{A}^2$. Kiểm tra tọa độ: pháp tuyến của $(SBD)$ là $(h;h;a)$ không vuông góc $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$. Vậy sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $CD\perp (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\parallel AD$ và $SA\perp AD$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) Trong hình vuông $ABCD$ có $BD\perp AC$; mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vậy $BD\perp SA$ — đúng.
b) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AD,SA\subset (SAD)$ cắt nhau tại $A$, nên $CD\perp (SAD)$ — đúng.
c) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, do đó $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ — sai.
d) Trong hình vuông $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$. Để $AC\perp (SBD)$ cần thêm $AC\perp SO$ với $SO\subset (SBD)$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AC$) nên $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2>S{A}^2$, tam giác không cân tại $A$; $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO$ là trung tuyến chứ không phải đường cao, tức $SO$ không vuông góc với $AC$ (nói chung, chỉ xảy ra khi $SA=AC$). Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp AC$ (hình vuông) và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, nên $CD\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp BC$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC\perp BD$ nhưng $SO$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ không cân tại $A$), nên $AC$ không vuông góc $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Vậy các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề $BC\perp SC$ sai vì tam giác $SBC$ vuông tại $B$ nên góc $SBC=90^{\circ }$, tức $BC$ không vuông với $SC$ (nếu $BC\perp SC$ thì tam giác $SBC$ có hai góc vuông, vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV). Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $O=AC\cap BD$, $SA\perp (ABCD)$.

a) Chứng minh $BC\perp SB$:
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$.
- Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$.
- Ta có $BC\perp SA$, $BC\perp AB$ với $SA,AB\subset (SAB)$, $SA\cap AB=A$, nên $BC\perp (SAB)$.
- Mà $SB\subset (SAB)$ nên $BC\perp SB$. (đpcm)

b) Chứng minh $BD\perp (SAC)$:
- Vì $ABCD$ là hình vuông, $O$ là giao điểm hai đường chéo nên $AC\perp BD$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
- Ta có $BD\perp AC$, $BD\perp SA$ với $AC,SA\subset (SAC)$, $AC\cap SA=A$, nên $BD\perp (SAC)$. (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$, mà $AB\parallel AD$ nên $BC\perp AD$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $BC\perp (SAD)$. (Tương tự $CD\perp (SAB)$, không phải $(SAD)$; $SB$, $SC$ không vuông góc $(SAD)$.) Vậy đáp án là $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ (đi qua giao điểm). A và B chỉ mô tả vị trí tương đối chung, D chỉ vuông góc với một đường thẳng là chưa đủ. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về tính duy nhất: qua một điểm chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Do đó qua điểm $O$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$, $SA\perp BC$, $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $CD\perp AD$, $BC\perp AB$, $BD\perp AC$.
- A đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
- C đúng: $BD\perp AC$, $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp (SAC)$.
- D đúng: $BC\perp AB$, $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
- B SAI: $AC\perp BD$ nhưng $AC$ không vuông góc với $SB$ (vì $AB\perp BC$ nên $SB\perp BC$, tam giác $SBC$ vuông tại $B$, $AC$ không vuông góc $SB$), do đó $AC$ không vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$. Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SO\perp$ (đáy) nên $SO\perp BD$ và $SO\perp AC$.
- A đúng: $BD\perp AC$ và $BD\perp SO\Rightarrow BD\perp (SAC)$.
- C đúng: $AC\perp BD$ và $AC\perp SO\Rightarrow AC\perp (SBD)$.
- D đúng: $BO$ là nửa đường chéo $BD$ nên $BO\perp AC$; lại $BO\perp SO$ (vì $SO\perp$ đáy). Vậy $BO\perp (SAC)$.
- B sai: để $BD\perp (SCD)$ cần $BD\perp CD$, nhưng trong hình thoi $BD$ không vuông góc với cạnh $CD$ (chỉ vuông góc với $AC$). Vậy mệnh đề SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Do đó $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Vậy A đúng.

Kiểm tra các phương án khác:
- B sai: tuy $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông) và $AC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nhưng để kết luận $AC\perp (SBD)$ thì $SA$ phải nằm trong $(SBD)$; thực tế $A$ không thuộc $(SBD)$ nên không thể áp dụng định lý. Nói cách khác, $(SBD)$ chỉ chứa $BD$ và $SB$, và $AC$ không vuông góc với $SB$ (tam giác $SBC$ vuông tại $B$, góc giữa $AC$ và $SB$ khác $90^{\circ }$), nên $AC$ không vuông góc với $(SBD)$. Lưu ý lỗi nhận định 'B cũng đúng' là sai vì $SA\notin (SBD)$.
- C sai: $BD$ không vuông với $AB$ (góc $ABD=45^{\circ }$), nên $BD$ không vuông góc với $(SAB)$.
- D sai: $BC$ không vuông với $SC$ (tam giác $SBC$ vuông tại $B$ chứ không vuông tại $C$), nên $BC$ không vuông góc với $(SCD)$.

Đáp án: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$ (hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(ABC)$) nên $SA\perp (ABC)$ → a đúng. Suy ra $SA\perp BC$ nên góc giữa $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$ → b đúng. Ta có $BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$, tức tam giác $SBC$ vuông tại $B$ → c đúng. Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp AH$; mà $AH\perp SB$ (đường cao của tam giác $SAB$) nên $AH\perp (SBC)$, suy ra $AH\perp SC$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp AB$, $SA\perp AC$ với $AB,AC$ cắt nhau trong $(ABC)$ nên $SA\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $SA\perp (ABC)$ suy ra $SA\perp BC$, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$: tam giác $SBC$ vuông tại $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp SB$ (đường cao) và $AH\perp BC$ (vì $BC\perp (SAB)$) nên $AH\perp (SBC)$, do đó $AH\perp SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình vuông cạnh a, SA = h. Tọa độ: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,h), O(a/2,a/2,0).
a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) ⇒ BD ⊥ (SAC). Đúng.
b) Vì BD ⊥ (SAC) mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC, góc giữa BD và SC bằng 90°, không phải 45°. Sai.
c) CD ⊥ AD và CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD, tức tam giác SDC vuông tại D (chứ không vuông tại C). Sai.
d) H là hình chiếu của A trên SO nên AH ⊥ SO. Vecto AH = (ta/2, ta/2, h(1−t)) với t = h²/(h² + a²/2). Khi đó AH·SB = ta/2 − h²(1−t) = 0 theo chính phương trình xác định t, nên AH ⊥ SB, tức (AH, SB) = 90°. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ SC; góc giữa BD và SC bằng 90° chứ không phải 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ AD và CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ SD, tam giác SDC vuông tại D, không vuông tại C.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0,0,0), S(0,0,h), O(a/2,a/2,0), hình chiếu H cho AH·SB = 0, nên (AH, SB) = 90°.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tam giác SBC chỉ vuông tại B (vì BC⊥(SAB) nên BC⊥SB), không có dữ kiện để ba cạnh bằng nhau nên không bắt buộc đều.
b) Đúng: CD⊥AD (hình chữ nhật) và CD⊥SA (SA⊥đáy) nên CD⊥(SAD), suy ra CD⊥SD.
c) Đúng: BC⊥(SAB) nên BC⊥AH; kết hợp AH⊥SB được AH⊥SC. Tương tự AB⊥(SAD) nên AB⊥AK; kết hợp AK⊥SD được AK⊥SC. Vậy SC⊥(AHK).
d) Đúng: do SC⊥(AHK) nên SC⊥HK, góc giữa HK và SC bằng 90°.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥(SAB) nên BC⊥SB, tam giác SBC vuông tại B; không có dữ kiện để nó đều.
b) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.
c) (AI giải đề cho tôi)
AH⊥SB và AH⊥BC (vì BC⊥(SAB)) ⇒ AH⊥SC; AK⊥SD và AK⊥AB (vì AB⊥(SAD)) ⇒ AK⊥SC. Vậy SC⊥(AHK).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì SC⊥(AHK) nên SC⊥HK, suy ra (HK,SC)=90°.