Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ và $\beta$ bù nhau nên $\alpha +\beta =180^{\circ }$, tức $\beta =180^{\circ }-\alpha$. Khi đó: $\sin \beta =\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng); $\cos \beta =\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, suy ra $\cos \alpha =-\cos \beta$ (đúng); $\tan \beta =\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$, suy ra $\tan \alpha =-\tan \beta$ (đúng); còn $\cot \beta =\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$, nên $\cot \alpha =\cot \beta$ là sai (đúng phải là $\cot \alpha =-\cot \beta$). Vậy đẳng thức sai là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{1/2}=2$ ($\tan \alpha \ne 0$ nên $\cot \alpha$ xác định). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (cos âm vì góc ở góc phần tư thứ II).
a) Sai: với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\cos \alpha <0$, không thể có $0<\cos \alpha <1$.
b) Sai: do $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải dấu cộng.
c) Đúng: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) Sai: ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$, nên $A=\frac{1}{4/9}+\frac{4}{5}=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$, do đó khẳng định $0<\cos \alpha <1$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ và $\cos \alpha <0$ (góc ở góc phần tư II) ta được $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải $+\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$; $A=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi tổng–hiệu: cos(α−β) − cos(α+β) = 2 sinα sinβ, nên sinα sinβ = ½[cos(α−β) − cos(α+β)] → A đúng. B sai vì sinα cosβ = ½[sin(α+β) + sin(α−β)]. C sai dấu (đó là −sinα sinβ). D sai vì cosα cosβ = ½[cos(α+β) + cos(α−β)].

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0: cos α = -√(1-144/169) = -5/13 → a đúng. cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 288/169 = -119/169 → b đúng. sin(α+π/3) = sinα·(1/2) + cosα·(√3/2) = 6/13 - 5√3/26 = (12-5√3)/26 → c đúng. tan α = sinα/cosα = -12/5; tan(α+π/4) = (tanα+1)/(1-tanα) = (-7/5)/(17/5) = -7/17 ≠ 7/17 → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1-(12/13)²) = -5/13 (vì α ở góc phần II nên cos âm).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 2·144/169 = -119/169.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3) = (12/13)(1/2) + (-5/13)(√3/2) = (12-5√3)/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = -12/5, nên tan(α+π/4) = (tanα+1)/(1-tanα) = (-7/5)/(17/5) = -7/17, không bằng 7/17.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Do đó $P=\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-3/5}{4/5}=-\frac{3}{4}=-0,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất góc đối: $\cos (-\beta )=\cos \beta$ (A sai), $\sin (-\beta )=-\sin \beta$ (B sai), $\tan (-\beta )=-\tan \beta$ (C đúng), còn $\tan (-\beta )=\cot \beta$ sai (D). Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng góc: $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ (với điều kiện các tan xác định và $\tan \alpha \tan \beta \ne 1$). Các khẳng định A, C, D đều sai (ví dụ với $\alpha =\beta =\frac{\pi }{6}$: $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\ne \frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne \sqrt{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 1$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với công thức nhân đôi: A sai vì $\sin 2\gamma =2\sin \gamma \cos \gamma$ (thiếu hệ số 2). B sai vì $\cos 2\gamma =1-2{\sin }^2\gamma$, không phải $2{\sin }^2\gamma -1$. C sai vì $\tan 2\gamma =\frac{2\tan \gamma }{1-{\tan }^2\gamma }$ (cả tử và mẫu đều sai). D đúng vì $\cos 2\gamma ={\cos }^2\gamma -{\sin }^2\gamma =(1-{\sin }^2\gamma )-{\sin }^2\gamma =1-2{\sin }^2\gamma$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ nên $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{1/2}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos x=\frac{1}{2}$ ta có ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Khi đó $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A=\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $A=\frac{3\tan \alpha -2}{2\tan \alpha +1}=\frac{3\cdot 2-2}{2\cdot 2+1}=\frac{4}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ghép các cặp góc phụ nhau: $\tan k^{\circ }\cdot \tan (90^{\circ }-k^{\circ })=\tan k^{\circ }\cdot \cot k^{\circ }=1$. Cụ thể $\tan 1^{\circ }\tan 89^{\circ }=1$, $\tan 2^{\circ }\tan 88^{\circ }=1$, ..., $\tan 44^{\circ }\tan 46^{\circ }=1$, và $\tan 45^{\circ }=1$. Vậy $A=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng gồm các số hạng sin²2°, sin²4°, ..., sin²88°, tức 44 số hạng. Ghép từng cặp: sin²x + sin²(90° − x) = sin²x + cos²x = 1. Có 44/2 = 22 cặp, nên tổng bằng 22.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dương). Do đó (a) đúng, (b) sai, (c) sai. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$, nên (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (góc ở góc phần tư thứ II) nên $\sin \alpha >0$
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =+\frac{\sqrt{7}}{4}$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ là góc nhọn, mọi giá trị $\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha$ đều dương. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}>0$; $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12}{5}$; $\cot \alpha =\frac{5}{12}$. (a) Sai vì $\cos \alpha =\frac{5}{13}>0$. (b) Đúng vì $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{5}{13}$. (c) Sai vì $\tan \alpha =\frac{12}{5}$, không phải $-\frac{12}{5}$. (d) Sai vì $\cot \alpha =\frac{5}{12}$, không phải $-\frac{5}{12}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha =\frac{5}{13}>0$, do đó $\cos \alpha <0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12}{5}>0$, không phải $-\frac{12}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{5}{12}>0$, không phải $-\frac{5}{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \alpha =\frac{1}{3}\ne 0$ nên $\cos \alpha \ne 0$, ta chia cả tử và mẫu của $A$ cho $\cos \alpha$:
$$A=\frac{3\tan \alpha +4}{2\tan \alpha -5}.$$
Mặt khác $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=3$, do đó
$$A=\frac{3\cdot 3+4}{2\cdot 3-5}=\frac{9+4}{6-5}=13.$$
Vậy $A=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho ${\cos }^2\alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$):
$$P=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{{\sec }^2\alpha +2{\tan }^2\alpha }=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{1+{\tan }^2\alpha +2{\tan }^2\alpha }=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{1+3{\tan }^2\alpha }.$$
Thay $\tan \alpha =3$:
$$P=\frac{4\cdot 9-3}{1+3\cdot 9}=\frac{36-3}{1+27}=\frac{33}{28}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha =\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$, suy ra ${\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ (luôn dương nên không phụ thuộc dấu của $\sin \alpha$).

Chia tử và mẫu của $A$ cho $\tan \alpha$ (hoặc dùng $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$):
$$A=\frac{\tan \alpha -3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }={\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha .$$

Thay số:
$$A=\frac{7}{8}-3\cdot \frac{1}{8}=\frac{7-3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Vậy $A=\frac{1}{2}$.