Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc bù: $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$ đúng với mọi $\alpha$. Các kết luận còn lại sai vì $\cos (180^0-\alpha )=-\cos \alpha$, $\sin (180^0+\alpha )=-\sin \alpha$, $\cos (180^0+\alpha )=-\cos \alpha$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$; $\cos (13\pi +\alpha )=\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$; $\sin (\alpha -5\pi )=\sin (\alpha -\pi )=-\sin \alpha$ nên $-3\sin (\alpha -5\pi )=3\sin \alpha$. Vậy $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.

a) Đúng: $D=3\sin \alpha$.

b) Với $\tan \alpha =2$, $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ thì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Khi đó $D=3\sin \alpha =-\frac{6\sqrt{5}}{5}\ne \frac{6\sqrt{5}}{5}$ → Sai.

c) $D=3\cos \alpha$ (đề viết $3\cos x$) khi $3\sin \alpha =3\cos \alpha \iff \tan \alpha =1\iff \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$. Giá trị âm lớn nhất là $\alpha =-\frac{3\pi }{4}$ → Đúng.

d) $D=1\Rightarrow \sin \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{8}{9}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =\frac{1}{8}$. Đặt $t=\tan \alpha$, $M=\frac{t-3t^{-3}}{5t^3-2t^{-3}}=\frac{t^4-3}{5t^6-2}$. Với $t^2=\frac{1}{8}$: $t^4=\frac{1}{64}$, $t^6=\frac{1}{512}$, nên $M=\frac{\frac{1}{64}-3}{\frac{5}{512}-2}=\frac{-191/64}{-1019/512}=\frac{1528}{1019}\approx 1,5\ne \frac{7}{32}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn được $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư III nên $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, do đó $D=-\frac{6\sqrt{5}}{5}$, âm chứ không dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\sin \alpha =3\cos \alpha \iff \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$; giá trị âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =\frac{1}{8}$; thay vào $M$ được $M=\frac{1528}{1019}\ne \frac{7}{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=\pi$ nên $\cos C=-\cos (A+B)=-(\cos A\cos B-\sin A\sin B)$. Với $\cos A=\frac{4}{5}$ thì $\sin A=\frac{3}{5}$ (vì $0<A<\pi$ và $\cos A>0$); với $\cos B=\frac{5}{13}$ thì $\sin B=\frac{12}{13}$. Do đó $\cos C=-\left(\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}\right)=-\left(\frac{20}{65}-\frac{36}{65}\right)=\frac{16}{65}$. Phân số tối giản với $m=16,n=65$, nên $2n-m=130-16=114$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tích thành hiệu: $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^{2}a-{\sin }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^{2}a-\frac{1}{2}$. Mặt khác ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$. Suy ra $K=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$. Vậy $K=-\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) Ta có $\sin (3\pi -\alpha )=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (do $\sin (k\pi +\beta )=\pm \sin \beta$ với $k$ nguyên, cụ thể $\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha$). Tương tự $\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$. Do đó:
$$A={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

b) Áp dụng công thức cung liên kết:
- $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$
- $\sin (\pi -x)=\sin x$
- $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$
- $\cos (\pi -x)=-\cos x$

Suy ra:
$$B=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$, suy ra $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{8}{15}$.

$\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{\pi }{6}+\cos a\sin \frac{\pi }{6}=\frac{8}{17}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ nên $\cos b<0$: $\cos b=-\frac{12}{13}$, $\sin b=\frac{5}{13}$ (kiểm tra $\tan b=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$... thực tế đề cho $\tan b=\frac{5}{12}>0$ mâu thuẫn với $b$ ở góc phần tư thứ II; nếu theo đúng dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$ thì $b$ phải ở góc phần tư thứ III, khi đó $\sin b=-\frac{5}{13}$, $\cos b=-\frac{12}{13}$). Tính theo dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$:
$$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{-\frac{8}{15}+\frac{5}{12}}{1-\left(-\frac{8}{15}\right)\cdot \frac{5}{12}}=\frac{-\frac{7}{60}}{1+\frac{2}{9}}=\frac{-\frac{7}{60}}{\frac{11}{9}}=-\frac{21}{220}.$$

Kết luận: $\tan a=-\frac{8}{15}$; $\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$; $\tan (a+b)=-\frac{21}{220}$. Lưu ý: điều kiện $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ không tương thích với $\tan b=\frac{5}{12}>0$ (dữ kiện đề có sai lệch nhỏ), nhưng kết quả $\tan (a+b)$ chỉ phụ thuộc $\tan b$ nên vẫn xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. Thật vậy, $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ với $x=a$, $y=b$. Các phương án A, B sai vì dùng $\cos (a+b)\cos (a-b)$ thay vì cos của nửa tổng và nửa hiệu; phương án C sai vì hệ số $\frac{1}{2}$ thay vì $2$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức biến đổi tổng - hiệu: A đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D đúng vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. B sai vì công thức đúng là $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, không phải $\sin a\sin b-\cos a\cos b$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{1}{16}}=-\frac{\sqrt{15}}{4}$. Suy ra $\tan a=\frac{1/4}{-\sqrt{15}/4}=-\frac{1}{\sqrt{15}}$. Áp dụng công thức $\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}=\frac{-\frac{2}{\sqrt{15}}}{1-\frac{1}{15}}=\frac{-\frac{2}{\sqrt{15}}}{\frac{14}{15}}=-\frac{30}{14\sqrt{15}}=-\frac{15}{7\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{7}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với góc $B$ trong tam giác $ABC$ ta có các công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-B)=\sin B$, $\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$, $\tan (180^{\circ }-B)=-\tan B$, $\cot (180^{\circ }-B)=-\cot B$. So sánh: A sai (phải là $-\cot B$), B sai (phải là $\sin B$), C sai (phải là $-\cos B$), D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\alpha \in (90^0;180^0)$ (góc ở góc phần tư thứ II), ta có $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha <0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy mệnh đề đúng là $\sin \alpha >0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với góc $C$ trong tam giác, ta có các công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$ (nên A sai), $\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$ (B đúng), $\tan (180^{\circ }-C)=-\tan C$ (nên C sai), $\cot (180^{\circ }-C)=-\cot C$ (nên D sai). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, khi đó $y=t^2-4t-5$. Hàm $f(t)=t^2-4t-5$ có đỉnh $t=2\notin [-1;1]$ và $f^{\prime }(t)=2t-4<0$ trên $[-1;1]$ nên $f$ nghịch biến, giá trị nhỏ nhất đạt tại $t=1$: $y_{\min }=1-4-5=-8$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x$, khi đó $y={\cos }^{2}t-\sin t+2026$. Đặt $u=\sin t\in [-1;1]$, ta có $y=1-u^2-u+2026=2027-u^2-u$. Xét $g(u)=-u^2-u$ trên $[-1;1]$: hàm parabol có đỉnh $u=-\frac{1}{2}$ (điểm lớn nhất cục bộ), nên giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút: $g(-1)=0$, $g(1)=-2$. Vậy $\min y=2027-2=2025$, đạt khi $\sin 2x=1$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d=10\sqrt{5}$ (m) là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường. Vì tường thẳng đứng, mục tiêu cao $25$ m góc ngắm $\alpha$ nên $\tan \alpha =\frac{25}{10\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Khi giảm góc ngắm đi một nửa, mục tiêu cao $10$ m nên $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Kiểm tra: $\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, thỏa mãn. Do đó ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}$. Vậy $P=3{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $\frac{A+C}{2}=\frac{180^{\circ }-B}{2}=90^{\circ }-\frac{B}{2}$. Do đó $\cos \frac{A+C}{2}=\cos \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\sin \frac{B}{2}$ và $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$ (các mẫu đều khác 0 vì $0^{\circ }<B<180^{\circ }$).

Hai số hạng đầu:
$$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{A+C}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{A+C}{2}}=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}=1.$$

Số hạng thứ ba: $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$, nên
$$-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}\cdot \tan B=-\frac{-\cos B}{\sin B}\cdot \frac{\sin B}{\cos B}=1.$$

Vậy biểu thức bằng $1+1=2$ (điều kiện $\sin B\ne 0$, $\cos B\ne 0$ thỏa với góc trong tam giác, trừ trường hợp biên). Đẳng thức được chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan \alpha$, $c=\cot \alpha$ thì $tc=1$. Theo đề: $t-c=3$ nên $(t-c{)}^2=9\Rightarrow t^2-2tc+c^2=9\Rightarrow t^2+c^2=9+2=11$. Vậy $A={\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =11$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác, với mọi góc $\alpha$ ta có $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (hai góc bù nhau có sin bằng nhau). Ví dụ kiểm tra: $\alpha =30^{\circ }$ thì $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đẳng thức đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan (90^{\circ }-x)=\cot x=\frac{1}{\tan x}$, ta ghép các cặp: $\tan 1^{\circ }\cdot \tan 89^{\circ }=1$, $\tan 2^{\circ }\cdot \tan 88^{\circ }=1$, ..., $\tan 44^{\circ }\cdot \tan 46^{\circ }=1$, còn lại $\tan 45^{\circ }=1$. Vậy $A=1^{44}\cdot 1=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng gồm các số hạng sin²2°, sin²4°, ..., sin²88°, tức 44 số hạng (góc chẵn từ 2° đến 88°). Ghép từng cặp: sin²x + sin²(90° − x) = sin²x + cos²x = 1. Cụ thể: sin²2° + sin²88° = 1, sin²4° + sin²86° = 1, ..., sin²44° + sin²46° = 1. Vậy có 44/2 = 22 cặp, tổng bằng 22.