Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$ → a đúng. Từ $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{1}{4}$ suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{3}{8}$, mà $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{4}$ → c sai. Khi đó ${\sin }^2\alpha =1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$, mà $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{4}$ → b sai. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha <0,\cos \alpha <0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^2\alpha =\frac{5}{8}$ nhưng $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{4}$, không phải $+\frac{\sqrt{10}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =\frac{3}{8}$ nhưng $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{4}$, không phải $+\frac{\sqrt{6}}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{-\sqrt{6}/4}{-\sqrt{10}/4}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho sin α = 3/5 và π/2 < α < π (góc phần tư thứ II).
a) Đúng: với α ∈ (π/2, π) thì cos α < 0.
b) Đúng: theo hệ thức cơ bản sin²α + cos²α = 1, cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5 (dấu âm vì α ở góc phần tư II).
c) Sai: tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4 ≠ 3/4.
d) Sai: tan(α + π/3) = (tan α + tan π/3)/(1 − tan α·tan π/3) = (−3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 − 3)/(4 + 3√3). Nhân cả tử và mẫu với (4 − 3√3): tử = (4√3 − 3)(4 − 3√3) = 16√3 − 36 − 12 + 9√3 = 25√3 − 48; mẫu = 16 − 27 = −11. Vậy tan(α + π/3) = (48 − 25√3)/11 ≠ (48 − √3)/11.
a) (AI giải đề cho tôi)
α ∈ (π/2, π) thuộc góc phần tư thứ II nên cos α < 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos α = −√(1 − sin²α) = −√(1 − 9/25) = −4/5 (dấu âm vì α ở góc phần tư II).
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(−4/5) = −3/4, không phải 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan(α + π/3) = (−3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 − 3)/(4 + 3√3) = (48 − 25√3)/11 ≠ (48 − √3)/11.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\frac{\pi }{4}<\frac{x}{2}<\frac{\pi }{2}$, do đó $\sin \frac{x}{2}>0$, $\cos \frac{x}{2}>0$.

Ta có $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ (vì $\sin x>0$ khi $x$ thuộc góc phần tư thứ hai).

Áp dụng công thức nửa cung:
$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$$
$$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$$
$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$
$$\cot \frac{x}{2}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Kiểm tra: $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ — khớp kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Cho $\sin x=\frac{1}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ (góc ở góc phần hai), nên $\cos x<0$.

Ta có:
$$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{25}}=-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$

Tính $\cos 2x$ và $\sin 2x$:
$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25},$$
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)=-\frac{4\sqrt{6}}{25}.$$

Do đó:
$$\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{23/25}{-4\sqrt{6}/25}=-\frac{23}{4\sqrt{6}}=-\frac{23\sqrt{6}}{24}.$$

Vậy $\cot 2x=-\frac{23\sqrt{6}}{24}$. Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17 (tự luận): Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$, do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta >0$, do đó $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$. Kết quả trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0$ và $\cos 3x\ne 0$.

Ta có:
$$\tan 3x-\tan x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\cos 3x\cos x}=\frac{\sin (3x-x)}{\cos 3x\cos x}=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}.$$

Do đó:
$$C=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}-\frac{2\sin x}{\cos 3x}=\frac{\sin 2x-2\sin x\cos x}{\cos 3x\cos x}.$$

Vì $\sin 2x=2\sin x\cos x$ nên tử số bằng $0$:
$$C=\frac{2\sin x\cos x-2\sin x\cos x}{\cos 3x\cos x}=0.$$

Vậy $C=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định. Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Ox có gốc tại O (vị trí pit-tông khi α = π/2), I nằm trên trục, IA = 8 cm.

a) Gọi H là hình chiếu của A lên trục Ox. Khi trục khuỷu quay một góc α thì tọa độ của H (cũng là hình chiếu của A) là x_H = IA·cos α = 8cos α (cm). Vì thanh truyền AM rất dài so với IA nên có thể xem MH gần như không đổi và bằng MA; do đó pit-tông M luôn cách H một khoảng không đổi. Tại vị trí gốc O (khi α = π/2, x_H = 0) ta có x_M = 0, nên với mọi α:
$$x_M=8\cos \alpha (\text{cm}).$$

b) Chuyển động quay của trục khuỷu là đều, góc quay tỉ lệ với thời gian. Ban đầu α = 0. Sau 1 phút, gọi góc quay là α₁, theo giả thiết:
$$x_M=8\cos {\alpha }_1=-3\Rightarrow \cos {\alpha }_1=-\frac{3}{8}.$$
Sau 2 phút góc quay bằng 2α₁, khi đó:
$$x_M=8\cos (2{\alpha }_1)=8\left(2{\cos }^2{\alpha }_1-1\right)=8\left(2\cdot \frac{9}{64}-1\right)=8\cdot \left(-\frac{46}{64}\right)=-5,75\approx -5,8\text{ cm}.$$

Vậy sau 2 phút chuyển động, x_M ≈ −5,8 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\in [0;1]$ nên $y=1-3\sqrt{{\sin }^{2}x}=1-3|\sin x|$. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $|\sin x|=1$, tức ${\sin }^{2}x=1\iff {\cos }^{2}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Khi đó $y_{\min }=1-3=-2$. Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ vì $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x$. Vậy mệnh đề a đúng. b) Với $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ thì $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$: đúng. c) $g(x)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{4}=k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ thì $x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4}\right]$, cho $x+\frac{\pi }{4}=\pi$ hoặc $2\pi$, tức $x=\frac{3\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{4}$: đúng 2 nghiệm, mệnh đề đúng. d) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $\max g(x)=\sqrt{2}\ne 2$: mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x=g(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\pi ;\frac{3\pi }{2})$ cả $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=0\iff \sin (x+\frac{\pi }{4})=0$ cho $x=\frac{3\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$ thuộc $[0;2\pi ]$: đúng 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max g(x)=\sqrt{2}$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức: $\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$. Do đó $2\sin a\sin b=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$, suy ra $\sin a\sin b=\frac{1}{24}\approx 0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\cos x=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (A sai vì dấu cộng), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (B đúng), $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (C sai), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (D sai). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồng nhất thức cơ bản ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ đúng với mọi góc $x$ tùy ý. Các khẳng định B, C, D chỉ đúng khi $\tan x$, $\cot x$ xác định (tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ hoặc $x=k\pi$), nên không đúng với góc tùy ý. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$ nên $\beta -\alpha \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Áp dụng công thức: $\tan (\beta -\alpha )=\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{7}}=\frac{\frac{25}{21}}{\frac{25}{21}}=1$. Do đó $\beta -\alpha =\frac{\pi }{4}$ (thỏa mãn khoảng xác định). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ nên sin, cos đều dương. a) $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$: đúng. b) Từ $\tan b=\frac{12}{5}$, có $\sin b=\frac{12}{13},\cos b=\frac{5}{13}$ (dương vì $b$ nhọn), nên mệnh đề $\cos b=-\frac{5}{13}$ sai. c) $\tan a=\frac{4}{3}$, $\tan (a+b)=\frac{\frac{4}{3}+\frac{12}{5}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{12}{5}}=\frac{\frac{56}{15}}{-\frac{33}{15}}=-\frac{56}{33}\ne \frac{36}{63}$: sai. d) $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{16}{65}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin a=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$ vì $a$ nhọn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos b>0$; cụ thể $\cos b=\frac{5}{13}$, không phải $-\frac{5}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (a+b)=\frac{\frac{4}{3}+\frac{12}{5}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{12}{5}}=-\frac{56}{33}\ne \frac{36}{63}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (a-b)=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{16}{65}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trụ vuông góc mặt đất nên $△ADB$ và $△ADC$ vuông tại $D$, với $AD=11$, $BD=13$, $CD=8$.

Ta có $\tan \angle BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{13}{11}$ và $\tan \angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{8}{11}$.

Vì $\alpha =\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD$, áp dụng công thức tan của hiệu hai góc:
$$\tan \alpha =\frac{\frac{13}{11}-\frac{8}{11}}{1+\frac{13}{11}\cdot \frac{8}{11}}=\frac{\frac{5}{11}}{1+\frac{104}{121}}=\frac{\frac{5}{11}}{\frac{225}{121}}=\frac{5}{11}\cdot \frac{121}{225}=\frac{55}{225}=\frac{11}{45}\approx 0,2444.$$

Vậy $\tan \alpha \approx 0,24$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }\le \theta \le 45^{\circ }$ nên $\cos \theta >0$: $\cos \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{20}{29}\right)}^2}=\frac{21}{29}$. Do đó $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{20}{29}\cdot \frac{21}{29}=\frac{840}{841}$. Thay vào công thức: $d=\frac{13^2\cdot \frac{840}{841}}{9,8}=\frac{169\cdot 840}{841\cdot 9,8}=\frac{141960}{8241,8}\approx 17,224$. Vậy $d\approx 17,2m$.