Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 75: SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA = 60° (vì AB nằm trong mặt đáy). Tam giác SAB vuông tại A có AB = a, góc B = 60°, nên SB = AB / cos60° = a / (1/2) = 2a. (Kiểm tra: SA = AB·tan60° = a√3, đúng với câu a chọn C.) Vậy SB = 2a, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $ABC$ đều cạnh $a$, $H$ trung điểm $BC$ nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là góc $SAH$: $\tan (SAH)=\frac{SH}{AH}=1$, suy ra góc $=45^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A^{\prime }$ có hình chiếu xuống $(ABC)$ là $A$. Góc giữa $A^{\prime }M$ và $(ABC)$ là góc $A^{\prime }MA$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, $M$ trung điểm $BC$ nên $AM=a\sqrt{3}$. Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }M$ (vuông tại $A$): $\tan (A^{\prime }MA)=\frac{A{A}^{\prime }}{AM}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra góc $A^{\prime }MA=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ với $AC=1$ nên $BC=1$, do đó $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2}$. Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan (\widehat{SBA})=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,41.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ với $AC=1$ nên $BC=1$, $AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,41.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy là $AB$, do đó $\alpha =\widehat{SBA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AC=2a$ nên $AB=BC=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$): $\tan \alpha =\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ (ABCD).
a) SA ⊥ AD (vì SA ⊥ đáy) và SA = AD = a nên tam giác SAD vuông cân tại A → Đúng.
b) SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD (CD nằm trong đáy) → Đúng.
c) Góc giữa SD và mặt đáy là góc SDA (A là hình chiếu của S trên đáy). tan(SDA) = SA/AD = a/a = 1 nên góc bằng 45°, không phải 60° → Sai.
d) Tam giác SAB, SAD vuông tại A; tam giác SBC vuông tại B (vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ SB); tam giác SCD vuông tại D (vì CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ SD). Vậy cả bốn mặt bên đều là tam giác vuông → Đúng.
Khớp đáp án mã đề 1101: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ AD và SA = AD = a nên tam giác SAD vuông cân tại A.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong đáy, kể cả CD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SD và đáy là góc SDA với tan(SDA) = SA/AD = 1, suy ra góc bằng 45° chứ không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
SAB, SAD vuông tại A; SBC vuông tại B (BC ⊥ SB); SCD vuông tại D (CD ⊥ SD).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $SO\perp (ABCD)$ với $O$ là giao hai đường chéo. Ta có $BD=4\sqrt{2}$ nên $OB=2\sqrt{2}$. Tam giác $SOB$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{9-8}=1$. Góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\phi =\widehat{SBO}$, nên $\cos \phi =\frac{OB}{SB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $\tan \phi =\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\phi \approx 19,47^{\circ }$, loại A, B, D. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy là $AC$. Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SCA}=60^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $BC$ của nó trên mặt phẳng, tức là góc $SBC$. Do đó đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }D\perp (ABCD)$? Không — chính xác là: hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của đường thẳng $D{A}^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là đường thẳng $DA$. Vậy góc giữa $D{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là góc $A^{\prime }DA$. Tam giác $DA{A}^{\prime }$ vuông tại $A$ với $DA=A{A}^{\prime }$ (cạnh lập phương), nên $△DA{A}^{\prime }$ vuông cân, do đó $\widehat{A^{\prime }DA}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, do đó hình chiếu của đường thẳng $SB$ lên $(ABCD)$ là $CB$. Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $CB$, tức là góc $\widehat{SBC}$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=60^0$. Hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ nên $AC=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan 60^0=\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=2\sqrt{3}\approx 3,464\approx 3,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3,5).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $A$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$). Góc giữa $D{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là góc giữa $D{A}^{\prime }$ và $DA$, tức là góc $AD{A}^{\prime }$. Tam giác $AD{A}^{\prime }$ vuông tại $A$ với $AD=A{A}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương), nên góc $AD{A}^{\prime }=45^{\circ }$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ (đường chéo hình vuông đáy) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là $A$. Đường thẳng $SC$ cắt $(ABC)$ tại $C$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó trên mặt phẳng, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{C^{\prime }AC}$.

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$ và $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+3a^2+2a^2}=\sqrt{6}a$.

Trong tam giác vuông $AC{C}^{\prime }$ (vuông tại $A$ vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$):
$$\cos \phi =\frac{AC}{A{C}^{\prime }}=\frac{2a}{\sqrt{6}a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,8165\approx 0,82.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,82.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a\sqrt{2}$, $BC=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{C^{\prime }AC}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$.

Đường chéo hình hộp: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2+3a^2}=a\sqrt{6}$.

Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$):
$$\cos \phi =\frac{AC}{A{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,71.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,71.