Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

a) Có $\{\begin{array}{l}AB\perp BC\\ AB\perp SB\end{array}\Rightarrow AB\perp (SBC)$ [thang điểm: 0,25 + 0,25]

b) Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow OM\perp AB$.
Có: $OM\perp SB\Rightarrow OM\perp (SAB)\Rightarrow OM\perp AN$ [0,25]
Có: $AN\perp SM\Rightarrow AN\perp (SOM)\Rightarrow AN\perp SO$ [0,25 + 0,25]

c) + Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh $BH\perp (SCD)$.
Gọi I là trung điểm của DH $\Rightarrow OI\parallel BH\Rightarrow OI\perp (SCD)$.
Góc giữa SO và (SCD) là góc $\phi =\widehat{OSI}$. [0,25]
+ Tính được:
$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=2a\Rightarrow OB=a$
$SB=\sqrt{S{D}^2-B{D}^2}=3a$, $BH=\frac{3a}{2}\Rightarrow OI=\frac{3a}{4}$
$SO=\sqrt{S{B}^2+O{B}^2}=a\sqrt{10}$
$\sin \phi =\sin \widehat{OSI}=\frac{3\sqrt{10}}{40}$ [0,25]

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Do đó $AB$ (nằm trong $(ABC)$) là hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABC)$. Theo định nghĩa, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó, tức là góc giữa $SB$ và $AB$ (cũng chính là góc $\widehat{SBA}$ trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường bay trong 1 phút: $s=240\cdot \frac{1}{60}=4$ km. Góc cất cánh $\alpha$ thỏa $\sin \alpha =\frac{1,035}{4}=0,25875$, suy ra $\alpha =\arcsin (0,25875)\approx 15,0^{\circ }$. Vậy góc cất cánh làm tròn đến hàng đơn vị là $15^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SO ⊥ (ABCD). Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc giữa SA và hình chiếu của SA lên (ABCD). Hình chiếu của S lên đáy là O, nên hình chiếu của SA là OA, nằm trên đường chéo AC. Vậy góc giữa SA và (ABCD) là góc SAC. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 163: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=4a$ nên đường trung bình $AM=\frac{BC}{2}=2a$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AM$ là hình chiếu của $SM$ lên $(ABC)$, góc giữa $SM$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}$. Trong tam giác vuông $SAM$ (vuông tại $A$): $\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{2a}{2a}=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=2$, $AB=2$ (cạnh tam giác đều), nên $\tan (SBA)=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{2}=1$, suy ra góc $SBA=45^0$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $A{C}^{\prime }$ cắt $(ABCD)$ tại $A$, hình chiếu của nó trên $(ABCD)$ là $AC$. Do đó góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $AC$, tức là $\angle C^{\prime }AC$. (Chú ý: $\angle C^{\prime }CA$ là góc giữa $A{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)$. Hình chiếu của $AC$ trên $(OBC)$ là $OC$, góc giữa $AC$ và $(OBC)$ là $\angle ACO$. Tam giác $AOC$ vuông tại $O$ có $OA=5$, $OC=4$, nên $\tan \angle ACO=\frac{OA}{OC}=\frac{5}{4}$. (Kiểm tra: $AC=\sqrt{41}$, $\sin \angle ACO=5/\sqrt{41}$, $\cos =4/\sqrt{41}$, tan $=5/4$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Hình chiếu của $C$ trên $(ABCD)$ là chính nó, do đó hình chiếu của $SC$ là $BC$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ (cũng là góc $SCD$ nhưng chỉ có $SCB$ trong các đáp án). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, do đó $AC$ (với $C\in (ABCD)$) là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy. Vậy góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc giữa $SC$ và $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Đường thẳng $SC$ cắt mặt đáy tại $C$, hình chiếu của $SC$ trên mặt đáy là $AC$. Do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc giữa $SC$ và $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD).
a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên AB là hình chiếu của SB lên mặt đáy, do đó góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và AB, tức là góc SBA. Đúng.
b) ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD; lại SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. Từ đó BD ⊥ (SAC). Mà BD nằm trong (SBD), nên (SAC) ⊥ (SBD). Đúng.
c) Vì SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SA và mặt đáy là góc vuông (90°), không phải góc nhọn. Sai.
d) SA ⊥ (ABCD) tại A nên khoảng cách từ S đến mặt đáy là SA. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB là hình chiếu của SB trên mặt đáy (vì SA ⊥ (ABCD)), nên góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD (hình vuông) và SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC), suy ra (SAC) ⊥ (SBD).
c) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SA và mặt đáy bằng 90°, là góc vuông chứ không nhọn.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA vuông góc với mặt đáy tại A nên d(S,(ABCD)) = SA.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và $AB$, tức là $\widehat{SBA}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Khi đó $B$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$, nên góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc giữa $SC$ và $SB$, tức là $\widehat{BSC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

a) Ta có:
$$\{\begin{array}{l}(A^{\prime }AB)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AC)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AB)\cap (A^{\prime }AC)=A{A}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp (ABC)$$

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

b) $A{A}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow \left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=\left(A^{\prime }B,AB\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$
Tam giác $A{A}^{\prime }B$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{AB{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$
Vậy $\left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông với $SA$ và $AB$). Do đó $BS$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $(SAB)$, nên góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{BSC}$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB\perp SA$; trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AB\perp AD$. Suy ra $AB\perp (SAD)$, góc giữa $AB$ và $(SAD)$ bằng $90^{\circ }$. ĐÚNG.
b) $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD\perp AC$; $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vậy $BD\perp (SAC)$. ĐÚNG.
c) $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, giao tuyến của $(SCD)$ và $(ACD)$ là $CD$, góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $SD$ và $AD$: $\tan \phi =\frac{SA}{AD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}\Rightarrow \cot \phi =3\ne \frac{1}{3}$. SAI.
d) Hình chiếu của $B$ lên $(SAD)$ là $A$ (vì $AB\perp (SAD)$), góc giữa $SB$ và $(SAD)$ là góc $\widehat{BSA}$ với $\tan \widehat{BSA}=\frac{AB}{SA}=1\Rightarrow \widehat{BSA}=45^{\circ }$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) và $AB\perp AD$ (hình chữ nhật) nên $AB\perp (SAD)$, góc bằng $90^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (hình chữ nhật) và $BD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp (SAD)$ nên góc giữa $(SCD)$ và $(ACD)$ là góc giữa $SD$ và $AD$: $\tan \phi =\frac{SA}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \cot \phi =3\ne \frac{1}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên $(SAD)$ là $A$, góc là $\widehat{BSA}$ với $\tan \widehat{BSA}=\frac{AB}{SA}=1\Rightarrow 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó hình chiếu của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là $BC$. Vậy góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(ABC)$ là góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $BC$, tức là góc $C^{\prime }BC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB=a\sqrt{3}$, $AC=a$ nên:
$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a.$$

Tam giác $C^{\prime }CB$ vuông tại $C$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $C{C}^{\prime }\perp BC$) với $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=a$, do đó:
$$\tan \left(\widehat{C^{\prime }BC}\right)=\frac{C{C}^{\prime }}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$$

Vậy góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(ABC)$ bằng $\arctan \frac{1}{2}\approx 26^{\circ }34^{\prime }\approx 26,57^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABCD)$, góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Trong $(ABCD)$: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $AD=BC=1$, $SA=\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^0$. (Kiểm tra: $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=2$.) Đáp án B.