Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Xét từng phương án: $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BC$, mà $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (chúng cắt nhau tại $B^{\prime }$). Các phương án khác: $A^{\prime }D$ chéo nhau với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc; $AC$ không vuông góc với $BC$ nên không vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$; $A{D}^{\prime }$ chéo nhau với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc. Vậy đáp án là $B{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp AB$ (vì $AB\subset (ABCD)$). Kiểm tra các phương án khác: $AC$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$ nên không vuông góc; $BD$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và cắt $AB$ tại $B$ với góc $45^{\circ }$ nên không vuông góc; $A{B}^{\prime }$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$ (tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$) nên không vuông góc. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),D^{\prime }(0,1,1)$, khi đó $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$; $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0,0,1)$ có tích vô hướng bằng $0$ nên vuông góc; còn $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1,1,1)$ đều có tích vô hướng với $\overrightarrow{AB}$ khác $0$. Vậy chỉ có $D{D}^{\prime }\perp AB$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $D{D}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $A{A}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$ (đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc thì cũng vuông góc). Kiểm tra các phương án khác: $D^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm trong mặt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và tạo với $D^{\prime }{C}^{\prime }$ góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $AC$ và $BD$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$, chéo vuông góc với $B{D}^{\prime }$ chứ không vuông góc với $D^{\prime }{C}^{\prime }$ (chiếu của $AC$ lên mặt trên là $A^{\prime }{C}^{\prime }$, mà $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không vuông góc $D^{\prime }{C}^{\prime }$). Vậy đáp án là $A{A}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Do đó $BC$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, đặc biệt $BC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$). Kiểm tra các phương án khác: $B{C}^{\prime }$ và $B{D}^{\prime }$ tạo với $BC$ góc nhọn (không vuông góc); $A{D}^{\prime }$ không vuông góc với $BC$ vì chiếu của $A{D}^{\prime }$ lên đáy là $AD$, mà $AD$ không vuông góc với $BC$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\perp CD$. Đường thẳng $AD$ cắt cả $SA$ (tại $A$) và $CD$ (tại $D$), đồng thời vuông góc với cả hai, nên $AD$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $CD$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Đường thẳng $AB$ cắt $SA$ tại $A$ và cắt $BC$ tại $B$, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Vậy đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ là $AB$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp CD$. Mặt khác $CD\perp AD$ và $CD\perp D{D}^{\prime }$ nên $CD\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $CD\perp A^{\prime }D$. Vậy $CD$ vuông góc với cả $A^{\prime }D$ lẫn $C{C}^{\prime }$, tức là đường vuông góc chung của hai đường thẳng này. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta cần tìm đường vuông góc chung của $A{A}^{\prime }$ và $C^{\prime }D$. Xét đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$: vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt khác, trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp C^{\prime }D$ (hai đường chéo của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc nhau tại tâm). Hơn nữa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt $C^{\prime }D$ tại $C^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ chéo với $A{A}^{\prime }$. Vậy $A^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông góc với cả $A{A}^{\prime }$ lẫn $C^{\prime }D$ và cắt $C^{\prime }D$, tức là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $C^{\prime }D$. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0,0,0)$, $C^{\prime }(a,a,a)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $D(0,a,0)$ thì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,a)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a,-a,a)$; ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2-a^2=0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Vậy $AB$ vuông góc với cả $SA$ và $BC$, tức $AB$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bản in đề ghi $A^{\prime }{C}^{\prime \prime }$ — đây là lỗi in, ý đúng là $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (hình lập phương chỉ có đỉnh $A,B,C,D,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$). Đáp án nguồn (mã đề 1103, Câu 8 = A) khớp với cách hiểu $A^{\prime }{C}^{\prime }$.

Giải: Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $AB\parallel DC$ và $DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$). Do đó góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$, tức là góc $D^{\prime }{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Tam giác $A^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $D^{\prime }$ với $A^{\prime }{D}^{\prime }=D^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai cạnh của hình vuông), nên là tam giác vuông cân, suy ra $\widehat{D^{\prime }{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=45^{\circ }$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng đáp án A của bảng đáp án chính thức.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ song song với mặt dưới $ABCD$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $AC$, tức là góc $\widehat{CAB}$ (góc nhọn tại đỉnh $A$ của hình chữ nhật $ABCD$). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình chữ nhật). Xét mặt đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $BD$ và $AC$ vuông góc với nhau: $BD\perp AC$. Do đó $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt trên của hình lập phương, là tam giác vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$. Do đó góc $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$, tức góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc giữa $SA$ và $CD$ bằng góc giữa $SA$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SAB}$. Hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ nên $SA=SB=AB=a$, tam giác $SAB$ đều, góc $\widehat{SAB}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SA$ và $CD$ bằng $60^{\circ }$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $C^{\prime }(a,a,a)$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$. Cosin góc giữa hai vectơ: $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, nên góc bằng $60^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Trong hình vuông $ABCD$: $AB\perp BC$, $CD\perp BC$, $AD\perp BC$. Vì $M,N$ là trung điểm $SC,SD$ nên $MN\parallel CD\perp BC$. Vậy có 5 đường thẳng vuông góc với $BC$: $SA,AB,CD,AD,MN$. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 111, Phần III câu 2 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Hai đường thẳng chéo nhau $SD$ và $BC$ có góc giữa bằng góc giữa $SD$ và $AD$ (hai đường thẳng cắt nhau tại $D$), tức góc $SDA$. Vậy đáp án là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 111, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (do $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ nên $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy khẳng định D đúng. Các phương án khác sai: $BC$ không vuông góc với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (góc giữa chúng bằng $45^{\circ }$), $AD\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $AD$ không vuông góc $B^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB$ không vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$ (góc giữa chúng bằng $45^{\circ }$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$, ta có $AB\parallel EF$ (vì $AB\parallel DC\parallel EF$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $EG$ bằng góc giữa $EF$ và $EG$. Xét mặt trên $EFGH$ là hình vuông, $EG$ là đường chéo nên tam giác $EFG$ vuông cân tại $F$, suy ra góc $\widehat{FEG}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $EG$ bằng $45^{\circ }$, chọn đáp án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 7: C).