Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Vệ tinh quay hết một vòng ($2\pi$ rad) trong $2h$ theo chiều kim đồng hồ. Vì chiều kim đồng hồ là chiều quay ngược chiều dương (chiều âm của góc lượng giác), nên sau $3h$ vệ tinh quay được $\frac{3}{2}$ vòng, góc lượng giác quét được là $-\frac{3}{2}\cdot 2\pi =-3\pi$ (rad). Kim phút của đồng hồ cũng quay theo chiều kim đồng hồ, quay hết một vòng ($2\pi$ rad) trong $1h$, nên trong $3h$ kim phút quay được $3$ vòng, tức góc lượng giác $-3\cdot 2\pi =-6\pi$ (rad). Kết luận: góc quét của vệ tinh là $-3\pi$ rad; kim phút đi được góc $-6\pi$ rad (về độ lớn quỹ đạo góc là $3\pi$ rad và $6\pi$ rad tương ứng, nhưng theo chiều kim đồng hồ nên mang dấu âm).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\frac{\pi }{9}$ rad $=\frac{\pi }{9}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=\frac{180^{\circ }}{9}=20^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $108^{\circ }$ sang radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước đổi đơn vị đo góc, một góc có số đo $\pi$ rad tương ứng với $180^{\circ }$. Do đó mệnh đề đúng là $\pi rad=180^{\circ }$. Các phương án B, C sai vì $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}rad$, $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}rad$; phương án A sai vì $\pi rad\ne \frac{180}{\pi }$ (đây là số đo độ của $\pi$ rad phải là $180^{\circ }$, còn $\frac{180}{\pi }$ không phải số đo hợp lệ của góc $\pi$ rad).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $135^{\circ }$ sang radian: $135^{\circ }\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $O$, trục $Ox$ đi qua $A$ (như hình vẽ), khi đó $A(4;0)$. Mặt nước tiếp xúc với đường tròn $(O;4)$ nên mặt nước nằm tại đường thẳng $y=-4$ (tiếp tuyến dưới của đường tròn). Điểm $M$ ở vị trí cao nhất so với mặt nước khi $M$ ở điểm cao nhất của đường tròn, tức $M(0;4)$, tương ứng góc $\alpha =(OA,OM)=\frac{\pi }{2}$ (khi đó độ cao của $M$ so với mặt nước là $4-(-4)=8$ m, lớn nhất). Guồng quay đều một vòng ($2\pi$ rad) sau 40 giây nên vận tốc góc $\omega =\frac{2\pi }{40}=\frac{\pi }{20}$ (rad/s). Vì quay theo chiều dương và $t=0$ khi $M$ trùng $A$, ta có $\alpha (t)=\frac{\pi }{20}t$. Giải $\frac{\pi }{20}t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=10$ (giây). Vậy trong vòng quay đầu tiên, điểm $M$ ở vị trí cao nhất so với mặt nước tại thời điểm $t=10$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi rad sang độ: $\frac{5\pi }{3}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=5\cdot 60^{\circ }=300^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $-\frac{3\pi }{16}=-\frac{3\pi }{16}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=-\frac{3\cdot 180^{\circ }}{16}=-33,75^{\circ }$. Phần lẻ $0,75^{\circ }=0,75\times 60^{\prime }=45^{\prime }$. Vậy góc có số đo $-33^{\circ }45^{\prime }$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $\frac{5\pi }{12}$ rad sang độ: $\frac{5\pi }{12}\times \frac{180^{\circ }}{\pi }=\frac{5\times 180^{\circ }}{12}=75^{\circ }$. Vậy số đo của góc là $75^{\circ }$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 72° sang radian: $72^{\circ }=72\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{72\pi }{180}=\frac{2\pi }{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ tia $Ou$ (nằm ngang) đến tia $Ov$ (hướng lên), mũi tên trên hình vẽ chỉ chiều quay ngược chiều kim đồng hồ đi đường dài (quay qua phía dưới), tức là quay một góc $270°$. Vậy số đo góc lượng giác $(Ou,Ov)$ bằng $270°$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$ rad. Độ dài cung $l=R\alpha =20\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{40\pi }{3}$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm M nằm trong góc phần tư thứ III (x₀<0, y₀<0), góc α có số đo α ∈ (π; 3π/2).
a) Sai. Theo công thức lượng giác, cot(α + kπ) = cot α với mọi k ∈ ℤ (chu kì của cot là π), không phải −cot α.
b) Đúng. Điểm đối xứng với M(x₀; y₀) qua trục Ox là M'(x₀; −y₀). Điểm biểu diễn góc −α có tọa độ (cos(−α); sin(−α)) = (cos α; −sin α) = (x₀; −y₀), đúng bằng M'.
c) Đúng. Vì α ∈ (π; 3π/2) nên sin α < 0 và cos α < 0, do đó tan α = sin α / cos α > 0.
d) Sai. Ta có sin(2025π/14 − α) = cos(π/2 − 2025π/14 + α) = cos(α − 2018π/14) = cos(α − 1009π/7). VT = cos(2024π/7 − α) = cos(α − 2024π/7). Hai góc α − 2024π/7 và α − 1009π/7 khác nhau đúng 1015π/7 = 145π (bội lẻ của π), nên cos của chúng đối dấu: cos(2024π/7 − α) = −sin(2025π/14 − α). Vậy đẳng thức đề cho sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cot(α + kπ) = cot α với mọi k ∈ ℤ vì chu kì của cot là π, nên mệnh đề cot(α + kπ) = −cot α là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua Ox: M'(x₀; −y₀) = (cos α; −sin α) = (cos(−α); sin(−α)), nên M' biểu diễn góc −α. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình, M thuộc góc phần tư thứ III nên sin α < 0, cos α < 0, suy ra tan α > 0. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin(2025π/14 − α) = cos(α − 1009π/7), còn cos(2024π/7 − α) = cos(α − 2024π/7). Hai góc khác nhau 145π (bội lẻ của π) nên hai vế đối dấu, đẳng thức sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 3 giờ, kim giờ quay được một vòng tròn 12 giờ tương ứng $360^{\circ }$, nên mỗi giờ kim giờ quay $360^{\circ }/12=30^{\circ }$. Vậy trong 3 giờ kim giờ quét được góc lượng giác có số đo $3\times 30^{\circ }=90^{\circ }$. Do đó $a=90$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha >0$. Xét từng khẳng định: A: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha <0$ (đúng). B: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha <0$ (đúng). C: $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha >0$ (đúng). D: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha >0$, nên khẳng định $<0$ là sai. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(Oy,Ot)=(Ox,Ot)-(Ox,Oy)=150^0-(-270^0)=420^0=60^0+k360^0$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, góc $\alpha$ ở góc phần tư thứ II. Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy khẳng định đúng là $\sin \alpha >0$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc tù: $90^0<\alpha <180^0$ nên $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Mệnh đề sai là C vì $\tan \alpha <0$, không phải $>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính guồng $R=5$ m, tâm quay cao $6,5$ m nên điểm thấp nhất của ống buông ở độ cao $6,5-5=1,5$ m, điểm cao nhất ở $11,5$ m. Máng nước cao $11$ m, ống buông đến vị trí máng khi $6,5+5\sin \theta =11\Rightarrow \sin \theta =0,9\Rightarrow \theta \approx 64,16^{\circ }$ (góc so với phương ngang). Xuất phát từ vị trí thấp nhất tương ứng góc $-90^{\circ }$, nên góc quay được là $64,16^{\circ }+90^{\circ }=154,16^{\circ }$. Một vòng ($360^{\circ }$) mất 3 phút $=180$ giây, nên thời gian cần là $\frac{154,16^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 180\approx 77,1$ giây $\approx 1,28$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\alpha$ tù ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$) thì $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, nên $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$. Vậy khẳng định đúng là $\cot \alpha <0$.