Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia $Ou$ là tia đầu, tia $Ov$ là tia cuối, góc nhọn giữa hai tia bằng $60^{\circ }$. Cung góc được vẽ theo chiều âm (quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, ở đây mũi tên chỉ chiều quay từ $Ou$ đi vòng theo chiều kim đồng hồ tới $Ov$), nên góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo bằng $-(360^{\circ }-60^{\circ })=-300^{\circ }$. Vậy đáp án là $-300^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn lượng giác, điểm M ứng với số đo $\frac{\pi }{3}$ và điểm N là điểm đối diện qua tâm O (hình vẽ cho thấy MN là đường kính). Tập hợp các điểm biểu diễn của cung có số đo $x$ gồm cả M và N: $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (điểm M) và $x=\frac{\pi }{3}+\pi +k2\pi$ (điểm N). Gộp lại: $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn định hướng gốc $A$, mỗi điểm $M$ tương ứng với số đo cung $AM$ trong khoảng $[0;2\pi )$. Ta cần đếm số giá trị của $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$, nằm trong $[0;2\pi )$. Với $k=0$: $x=\frac{\pi }{6}$; $k=1$: $x=\frac{2\pi }{3}$; $k=2$: $x=\frac{7\pi }{6}$; $k=3$: $x=\frac{5\pi }{3}$; $k=4$: $x=\frac{13\pi }{6}>2\pi$ (loại); $k$ âm cho $x<0$ (loại). Vậy có đúng $4$ điểm $M$ thỏa mãn, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong 1 phút: $s=r\cdot \phi =0,3\text{m}\times 450\pi =135\pi \approx 424,115$ m, làm tròn đến hàng đơn vị ta được $424$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $M$ trên đường tròn lượng giác ứng với góc có số đo $\frac{\pi }{3}$ (góc nhọn giữa tia $OM$ và trục $Ox$). Điểm $N$ nằm đối xứng với $M$ qua tâm $O$ (hai điểm $M,N$ nằm trên cùng một đường kính), nên $N$ biểu diễn góc có số đo $\frac{\pi }{3}+\pi$. Vậy hai điểm $M,N$ là hai điểm biểu diễn của các góc lượng giác có số đo $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (khi $k$ chẵn được $M$, khi $k$ lẻ được $N$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ xe: 50 km/h = 50000 m / 3600 s ≈ 13,8889 m/s. Chu vi bánh xe: C = πd = 0,55π ≈ 1,7279 m. Số vòng trong một giây: 13,8889 / 1,7279 ≈ 8,0382 ≈ 8,04 vòng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho tia $Ou$ là tia gốc, tia $Ov$ tạo với $Ou$ một góc $60^{\circ }$, mũi tên chỉ chiều quay ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương, dấu +). Vậy góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo dương bằng $60^{\circ }$ cộng với số nguyên vòng quay trọn vẹn $k360^{\circ }$, tức $(Ou,Ov)=60^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Do đó chọn C. (A sai vì số đo dương không phải $-60^{\circ }$; B sai vì chu kỳ của góc lượng giác là $360^{\circ }$ chứ không phải $180^{\circ }$; D sai vì thiếu họ góc cùng tia cuối.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia $Ou$ nằm ngang (bên phải) và tia $Ov$ thẳng đứng hướng lên. Mũi tên chỉ chiều quay từ $Ou$ đến $Ov$ đi theo chiều kim đồng hồ, quét qua góc lớn $270°$ (đi xuống dưới, qua trái rồi lên trên). Vì quay theo chiều kim đồng hồ nên số đo góc lượng giác âm: $(Ou,Ov)=-270°$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $D$ nằm ở giao điểm của đường tròn lượng giác với tia âm của trục $Oy$, tức là điểm có tọa độ $(0;-1)$. Điểm này biểu diễn góc lượng giác $-\frac{\pi }{2}$ (cũng là $\frac{3\pi }{2}$). Các góc có cùng điểm biểu diễn là $-\frac{\pi }{2}+k.2\pi (k\in \mathbb{Z})$. Lưu ý $-\frac{\pi }{2}+k.\pi$ (phương án D) còn bao gồm cả điểm $B$ trên tia dương trục $Oy$ nên không đúng. Đáp án khớp với mã đề 1102, câu 9: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm B nằm trên trục tung dương, tức là giao điểm của đường tròn lượng giác với tia Oy dương. Điểm này biểu diễn các góc có số đo $\frac{\pi }{2}+k.2\pi (k\in \mathbb{Z})$. Chú ý: phương án D $\frac{\pi }{2}+k.\pi$ còn bao gồm cả điểm D (trên trục tung âm), nên không đúng. Đáp án khớp với mã đề 1101, câu 4: C.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung: $l=R\cdot \alpha =10\cdot \frac{\pi }{101}=\frac{10\pi }{101}\approx 0,3110$ cm. Làm tròn đến hàng phần chục: $l\approx 0,3$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia $OM$ nằm trong góc phần tư thứ hai và góc quay từ tia $OA$ (trục $Ox$ dương) đến tia $OM$ theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) có số đo $150^{\circ }$. Vậy số đo của góc lượng giác $(OA,OM)$ là $150^{\circ }+k360^{\circ },k\in \mathbb{Z}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tia $OA$ là tia $Ox$ (điểm $A(1;0)$), tia $O{B}^{\prime }$ là tia hướng xuống dưới (điểm $B^{\prime }(0;-1)$). Số đo của góc lượng giác $(OA,O{B}^{\prime })$ có dạng $-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được $-\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{3\pi }{2}$. Trong các đáp án, chỉ $\frac{3\pi }{2}$ thuộc dạng này (các đáp án $-\frac{3\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$ không có dạng $-\frac{\pi }{2}+k2\pi$). Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 122, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn lượng giác, tia $OA$ trùng với tia $Ox$ (điểm $A(1;0)$) và tia $OB$ trùng với tia $Oy$ (điểm $B(0;1)$). Góc lượng giác $(OA,OB)$ có đỉnh tại $O$, cạnh đầu $OA$, cạnh cuối $OB$, chiều dương ngược chiều kim đồng hồ (như mũi tên $+$ trên hình). Góc quay từ $OA$ đến $OB$ theo chiều dương bằng một phần tư vòng tròn, tức là số đo $\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Trong các đáp án, chỉ có $\frac{\pi }{2}$ (đáp án B) thuộc họ số đo này. Các đáp án khác: $\frac{3\pi }{4}$ không đưa tia $OB$ về vị trí $(0;1)$; $\frac{3\pi }{2}$ và $-\frac{\pi }{2}$ đưa tia cuối về $B^{\prime }(0;-1)$. Đáp án khớp với mã đề 121: B.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe chia thành 90 phần bằng nhau nên mỗi phần rộng $360^{\circ }:90=4^{\circ }$. Đi từ một nan hoa đến nan hoa thứ 15 kể từ đó nghĩa là đi qua 14 khoảng (vì nan hoa ban đầu tính là nan hoa thứ 1). Vậy góc quay là $14\times 4^{\circ }=56^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Kim phút $OP$ chỉ số 12 (trục thẳng đứng hướng lên). Kim giờ $OG$ chỉ số 4, mỗi số chiếm $30^{\circ }$, nên $OG$ lệch khỏi $OP$ một góc $4\times 30^{\circ }=120^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ. Góc lượng giác $(OG,OP)$ đo từ tia $OG$ đến tia $OP$ theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), nên số đo là $120^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=30cm$. Cung nhỏ $AB$ ứng với góc ở tâm nhỏ hơn: từ số $2$ đến số $9$ theo chiều kim đồng hồ là $7$ giờ $=210^{\circ }$, nên cung nhỏ là $360^{\circ }-210^{\circ }=150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$ rad. Độ dài cung nhỏ $AB=R\cdot \frac{5\pi }{6}=30\cdot \frac{5\pi }{6}=25\pi \approx 78,5cm$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $78,5$.

Lời giải (Mã đề 201;202;203;204):

Chu vi bánh xe: $C=\pi .d=3,14.0,68(m)$ [0,25]

Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng: $\frac{15}{5}=3$ [0,25]

Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút là: $60.3=180$ (vòng)

Vậy quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút là:

$S=3,14.0,68.180\approx 384(m)$ [0,25]

Lời giải (Mã đề 101;102;103;104):

Chu vi bánh xe: $C=\pi .d=3,14.0,68(m)$ (0,25 điểm)

Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng: $\frac{10}{5}=2$ (0,25 điểm)

Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút là: $60.2=120$ (vòng) (0,25 điểm)

Vậy quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút là:
$S=3,14.0,68.120\approx 256(m)$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x_0;y_0)$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị, với $\alpha$ góc ở vị trí hình vẽ ($M$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $x_0<0$, $y_0>0$). Theo định nghĩa lượng giác trên đường tròn đơn vị: $\cos \alpha =x_0$, $\sin \alpha =y_0$. Do đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x_0}{y_0}$ (với $\sin \alpha =y_0\ne 0$). Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án của đề (Mã đề 102, câu 12: B).