Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\frac{2\pi }{5}=\frac{2\cdot 180^{\circ }}{5}=72^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $(Ox,Oy)=22^{\circ }30^{\prime }+k360^{\circ }=1822^{\circ }30^{\prime }$. Suy ra $k360^{\circ }=1822^{\circ }30^{\prime }-22^{\circ }30^{\prime }=1800^{\circ }$, nên $k=1800^{\circ }/360^{\circ }=5$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $10\pi <\alpha <11\pi$ với $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Suy ra $10\pi <\frac{\pi }{2}+2k\pi <11\pi$, tức $\frac{19\pi }{2}<2k\pi <\frac{21\pi }{2}$, chia cho $2\pi$: $\frac{19}{4}<k<\frac{21}{4}$, tức $4,75<k<5,25$. Vì $k$ nguyên nên $k=5$. Kiểm tra: $\alpha =\frac{\pi }{2}+10\pi =\frac{21\pi }{2}=10,5\pi$, thỏa $10\pi <10,5\pi <11\pi$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu của $\sin$ và $\cos$ theo góc phần tư của điểm $M$ (với bán kính đơn vị, $\sin \alpha =y_M$, $\cos \alpha =x_M$):
- Góc phần tư $I$: $x>0$, $y>0$ nên $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$ → cùng dấu.
- Góc phần tư $II$: $x<0$, $y>0$ nên $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$ → trái dấu.
- Góc phần tư $III$: $x<0$, $y<0$ nên $\sin \alpha <0$ và $\cos \alpha <0$ → cùng dấu.
- Góc phần tư $IV$: $x>0$, $y<0$ nên $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha >0$ → trái dấu.
Vậy $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ cùng dấu khi $M$ thuộc góc phần tư $I$ và $III$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc tù thỏa $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư thứ II). Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, nên $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Do đó A, B, D sai; khẳng định đúng là $\tan \alpha <0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $19<\frac{\pi }{3}+k2\pi <27$. Trừ $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$: $17,953<k2\pi <25,953$. Chia $2\pi \approx 6,283$: $2,86<k<4,13$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=3$ hoặc $k=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai góc có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi và chỉ khi hiệu của chúng là bội của 360° (hay $2\pi$).
a) $1127^{\circ }-(-313^{\circ })=1440^{\circ }=4\cdot 360^{\circ }$ → cùng điểm, Đúng.
b) $1127^{\circ }-(-674^{\circ })=1801^{\circ }$, mà $1801=5\cdot 360^{\circ }+1$, không là bội của $360^{\circ }$ → Sai.
c) $\frac{61\pi }{5}-\left(-\frac{19\pi }{5}\right)=\frac{80\pi }{5}=16\pi =8\cdot 2\pi$ → cùng điểm, Đúng.
d) $\frac{61\pi }{5}-\left(-\frac{23\pi }{4}\right)=\frac{244\pi +115\pi }{20}=\frac{359\pi }{20}$, không là bội của $2\pi$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $1127^{\circ }-(-313^{\circ })=1440^{\circ }=4\cdot 360^{\circ }$ là bội của $360^{\circ }$, nên hai góc cùng điểm biểu diễn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $1127^{\circ }-(-674^{\circ })=1801^{\circ }=5\cdot 360^{\circ }+1^{\circ }$ không là bội của $360^{\circ }$, nên hai góc không cùng điểm biểu diễn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $\frac{61\pi }{5}+\frac{19\pi }{5}=16\pi =8\cdot 2\pi$ là bội của $2\pi$, nên hai góc cùng điểm biểu diễn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu $\frac{61\pi }{5}+\frac{23\pi }{4}=\frac{359\pi }{20}$ không là bội của $2\pi$, nên hai góc không cùng điểm biểu diễn.

(AI giải đề cho tôi)
Các góc cùng tia đầu, tia cuối với góc có số đo $\frac{\pi }{5}$ có dạng $\frac{\pi }{5}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: $\frac{6\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\pi$ (loại); $-\frac{11\pi }{5}=\frac{\pi }{5}-\frac{12\pi }{5}$, không có dạng $\frac{\pi }{5}+2k\pi$ vì $-\frac{12\pi }{5}\ne 2k\pi$ (loại); $\frac{9\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\frac{8\pi }{5}$ (loại); $\frac{31\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\frac{30\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+6\pi =\frac{\pi }{5}+3\cdot 2\pi$ (thỏa, $k=3$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\frac{5\pi }{4}\text{rad}=\frac{5\pi }{4}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=5\cdot 45^{\circ }=225^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $40^{\circ }$ sang radian: $40^{\circ }=40\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{9}$ rad. Độ dài cung $l=R\alpha =10\cdot \frac{2\pi }{9}=\frac{20\pi }{9}\approx 6,98\approx 7cm$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung $l=R\phi$ với $R=9$ cm, $l=3\pi$ cm. Suy ra $\phi =\frac{l}{R}=\frac{3\pi }{9}=\frac{\pi }{3}$ (rad). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung $60^0=\frac{\pi }{3}$ rad trên đường tròn bán kính $R=12cm$ là $l=R\cdot \alpha =12\cdot \frac{\pi }{3}=4\pi \approx 12,56cm$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) 218° nằm giữa 180° và 270° nên điểm M thuộc góc phần tư thứ III, cung AOM (chiều dương) bằng 218°. Đúng.
b) -405° = -405° + 360° = -45°, góc -45° quay ngược chiều kim đồng hồ... thực chất quay theo chiều âm 45° nên điểm N thuộc góc phần tư thứ IV và AON = -45°. Đúng.
c) 25π/4 = 6π + π/4 = 3·2π + π/4, nên điểm biểu diễn trùng với điểm của góc π/4, thuộc góc phần tư thứ I, AOP = π/4. Đúng.
d) 15π/2 = 7π/2 + 4π = 7π/2 + 2·2π, nên góc đồng kết với 7π/2 = 2π + 3π/2, tức tương đương -π/2. Điểm biểu diễn là Q(0;-1) và AOQ = -π/2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
218° ∈ (180°;270°) nên M thuộc góc phần tư thứ III và AOM = 218° (cung chiều dương).
b) (AI giải đề cho tôi)
-405° + 360° = -45°, điểm N thuộc góc phần tư thứ IV với AON = -45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
25π/4 = 3·2π + π/4 nên P trùng điểm của góc π/4, thuộc góc phần tư thứ I, AOP = π/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
15π/2 = 2·2π + 7π/2 đồng kết với -π/2, điểm biểu diễn Q(0;-1), AOQ = -π/2.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh lái có 8 nan chia đều đường tròn lượng giác, mỗi nan cách nhau một góc $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$. Theo hình vẽ, tia $OA$ trùng với trục $Ox$ dương (số đo $0^{\circ }$), tia $OB$ là nan kế tiếp theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) nên có số đo $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$. Do đó góc lượng giác $(OB,OA)$ có số đo âm (quay từ $OB$ về $OA$ theo chiều dương là quay ngược): $-45^{\circ }=-\frac{\pi }{4}$. Công thức tổng quát: $\widehat{(OB,OA)}=-\frac{\pi }{4}+k\cdot 2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (tức $-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Quạt quay 45 vòng/phút = 45 vòng trong 60 giây, tức trong 1 giây quay được 45/60 = 3/4 vòng. Trong 3 giây, quạt quay được 3 · (3/4) = 9/4 vòng. Vì chọn chiều quay của quạt là chiều thuận, góc quay mang dấu dương. Mỗi vòng tương ứng $2\pi$ radian, nên số đo góc là $$\frac{9}{4}\cdot 2\pi =\frac{9\pi }{2}\text{ (radian)}.$$ Vậy sau 3 giây quạt quay được một góc có số đo $\frac{9\pi }{2}$ radian.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 15 phút, kim phút quay được một góc $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$ rad. Độ dài cung tròn mà mũi kim phút vạch nên là $l=R\phi =1,75\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{8}\approx 2,75m$.

Trong 15 phút, kim giờ quay được một góc bằng $\frac{1}{4}$ của khoảng cách giữa hai vạch giờ liên tiếp, tức $\frac{30^{\circ }}{4}=7,5^{\circ }=\frac{\pi }{24}$ rad. Độ dài cung tròn mà mũi kim giờ vạch nên là $l=1,26\cdot \frac{\pi }{24}=\frac{21\pi }{400}\approx 0,165m$.

Vậy trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn dài khoảng $2,75m$ và mũi kim giờ vạch nên cung tròn dài khoảng $0,165m$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai huyện cùng nằm trên một kinh tuyến nên cung kinh tuyến nối chúng là cung tròn tâm tại tâm Trái Đất, bán kính $R=6278km$, góc ở tâm bằng hiệu vĩ độ: $\Delta \phi =23^{\circ }-9^{\circ }=14^{\circ }$. Đổi sang radian: $14^{\circ }=14\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{90}rad$. Độ dài cung: $l=R\cdot \Delta \phi =6278\cdot \frac{7\pi }{90}\approx 6278\cdot 0,24435\approx 1534km$. Vậy độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lí khoảng $1534km$.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe có 72 răng nên mỗi răng ứng với một góc ở tâm bằng $\frac{360^{\circ }}{72}=5^{\circ }$. Khi bánh xe di chuyển 10 răng, góc quay được là $10\cdot 5^{\circ }=50^{\circ }$. Đổi sang radian: $50^{\circ }=50\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{18}$ radian. Vậy số đo góc bánh xe đã quay là $50^{\circ }$ (tương đương $\frac{5\pi }{18}$ radian).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $108^{\circ }$ sang radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{108\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồng hồ có đường kính 60 cm nên bán kính R = 30 cm. Trên mặt đồng hồ, mỗi giờ tương ứng với cung tâm $\frac{360^{\circ }}{12}=30^{\circ }$ (tức $\frac{\pi }{6}$ rad).

- Điểm A ứng với số 2, điểm B ứng với số 9. Đi theo chiều kim đồng hồ từ 2 đến 9 là 7 giờ (góc $210^{\circ }$), nên cung nhỏ AB ứng với $12-7=5$ giờ, tức số đo cung nhỏ $\widehat{AB}=5\cdot 30^{\circ }=150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$ rad.
Độ dài cung nhỏ AB: $s_{AB}=R\cdot \frac{5\pi }{6}=30\cdot \frac{5\pi }{6}=25\pi \approx 78,54$ cm.

- Điểm C ứng với số 4. Cung nhỏ AC đi từ số 2 đến số 4 là 2 giờ, số đo cung $\widehat{AC}=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ rad.
Độ dài cung nhỏ AC: $s_{AC}=R\cdot \frac{\pi }{3}=30\cdot \frac{\pi }{3}=10\pi \approx 31,42$ cm.

Vậy độ dài cung nhỏ AB ≈ 78,54 cm và cung nhỏ AC ≈ 31,42 cm.