Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M\left(\frac{11}{61};-\frac{60}{61}\right)$ nằm trên đường tròn lượng giác vì ${\left(\frac{11}{61}\right)}^2+{\left(-\frac{60}{61}\right)}^2=\frac{121+3600}{3721}=1$. Với điểm $M(x_0;y_0)$ trên đường tròn lượng giác xác định góc $\alpha$, ta có $\sin \alpha =y_0=-\frac{60}{61}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II: $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy khẳng định đúng là $\tan \alpha <0$, tức đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha =\frac{\pi }{6}$ trên đường tròn lượng giác. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ nên $N$ là điểm biểu diễn của góc $\alpha +\pi =\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$ (các góc có số đo $\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 112, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha =\frac{\pi }{6}$ có tọa độ $M\left(\cos \frac{\pi }{6};\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ nên $N\left(-\cos \frac{\pi }{6};-\sin \frac{\pi }{6}\right)=\left(\cos \left(\frac{\pi }{6}+\pi \right);\sin \left(\frac{\pi }{6}+\pi \right)\right)$. Vậy $N$ là điểm biểu diễn của góc $\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<a<180^{\circ }$, góc $a$ thuộc góc phần tư thứ II. Trên đường tròn lượng giác, với góc phần tư thứ II ta có $\sin a>0$ (tung điểm của điểm biểu diễn dương) và $\cos a<0$ (hoành độ của điểm biểu diễn âm). Ví dụ với $a=120^{\circ }$: $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}<0$. Vậy mệnh đề đúng là $\sin a>0$, $\cos a<0$, khớp với đáp án nguồn C.

a) Chiều cao từ điểm $B$ đến mặt đất là $KH=13+10\sin \alpha$ trong cả hai nửa đường tròn. Vậy a) đúng.

b) Khi $\alpha =-30^{\circ }$, $KH=13+10\cdot \frac{-1}{2}=8$. Vậy b) đúng.

c) $13+10\sin \alpha =23\iff \alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) đúng.

d) Khi $B$ cách mặt đất $4m$ thì điểm $C$ cách mặt đất $\approx 8,64m$, không phải $14m$. Vậy d) sai.
a) Chiều cao từ điểm $B$ đến mặt đất bằng $KH$: Nếu điểm $B$ nằm ở nửa đường tròn trên thì $\sin \alpha >0$ và $OK=10\sin \alpha$. Ta có: $KH=OH+OK=13+10\sin \alpha$. Nếu điểm $B$ nằm ở nửa đường tròn dưới thì $\sin \alpha <0$ và $OK=10\cdot (-\sin \alpha )$. Ta có: $KH=OH-OK=13-10\cdot (-\sin \alpha )=13+10\sin \alpha$. Vậy a) đúng.
b) Khi $\alpha =-30^{\circ }$, $KH=13+10\cdot \frac{-1}{2}=8$. Vậy b) đúng.
c) Ta có $13+10\sin \alpha =23\iff \sin \alpha =1\iff \alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) đúng.
d) Gọi $(OA,OC)=\beta$. Ta có: $\beta =\alpha -90^{\circ }\Rightarrow \sin \beta =\sin (\alpha -90^{\circ })=-\cos \alpha$. Khi $KH=4\iff \sin \alpha =-\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \beta =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{-9}{10}\right)}^2}=\frac{-\sqrt{19}}{10}$. Điểm $C$ cách mặt đất là: $13+10\sin \beta \approx 8,64$. Vậy d) sai.

Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng là $\frac{30}{8}$ nên bánh xe quay được một góc là $\frac{30}{8}.2\pi =\frac{15\pi }{2}$.

Suy ra quãng đường người đó đi được là $\frac{15\pi }{2}.340=2550\pi$ mm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, kim phút chỉ đúng 12 (hướng thẳng đứng lên trên) và kim giờ chỉ số 4, tức là lúc 4 giờ đúng. Đặt hệ trục với gốc $O$ tại tâm đồng hồ: tia $Ov$ (kim phút) ứng với vị trí số 12, tia $Ou$ (kim giờ) ứng với vị trí số 4. Mỗi số trên đồng hồ cách nhau $30^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ, nên vị trí số 4 lệch khỏi số 12 một góc $4\times 30^{\circ }=120^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ, tức tia $Ou$ nằm ở phía dưới bên phải, tạo với tia $Ov$ một góc $120^{\circ }$. Số đo góc lượng giác $(Ou,Ov)$ là góc quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia $Ou$ đến tia $Ov$, bằng $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$. Vậy số đo tổng quát là $\alpha =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi đường tròn bán kính 2 cm là $2\pi R=4\pi$ cm. Tốc độ 2 vòng/giây nên mỗi giây chất điểm đi được $2\cdot 4\pi =8\pi$ cm. Trong 6,125 giây quãng đường là $6,125\cdot 8\pi =49\pi$ cm (tức khoảng 153,94 cm).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 108° sang radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{108\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe có 72 răng nên mỗi răng tương ứng với góc quay $\frac{360^{\circ }}{72}=5^{\circ }$. Khi di chuyển 10 răng, bánh xe quay được góc $10\times 5^{\circ }=50^{\circ }$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 20 giây bánh xe quay 60 vòng, tức 3 vòng/giây. Trong 3 phút = 180 giây, bánh xe quay được $180\times 3=540$ vòng. Mỗi vòng xe đi được một chu vi bánh xe: $C=2\pi r=2\cdot 3,1416\cdot 6,5=40,8408$ cm. Quãng đường đi được: $s=540\times 40,8408=22054,032\approx 22054$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ thức Chasles về số đo góc định hướng phát biểu: với ba tia $Ou,Ox,Ov$ bất kỳ, ta có $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ou,Ox)+sđ(Ox,Ov)+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Trong hệ thức này, tia chung $Ox$ phải xuất hiện ở vị trí 'đích' của số đo thứ nhất và 'nguồn' của số đo thứ hai, theo đúng thứ tự $Ou\to Ox\to Ov$. Xét từng hệ thức: (I) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ou,Ox)+sđ(Ox,Ov)+k2\pi$ đúng dạng Chasles. (II) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ox,Ov)+sđ(Ox,Ou)+k2\pi$ sai vì cả hai số đo đều bắt đầu từ $Ox$, không có tia nối giữa chúng. (III) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ov,Ox)+sđ(Ox,Ou)+k2\pi$ sai vì thứ tự các tia bị đảo ngược ($Ov\to Ox\to Ou$ thay vì $Ou\to Ox\to Ov$). Vậy chỉ có hệ thức (I) là hệ thức Chasles, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\frac{63\pi }{2}=-32\pi +\frac{\pi }{2}$. Vì $-32\pi$ là số vòng tròn nguyên nên góc này đồng đoán với $\frac{\pi }{2}$, tức hai tia $Ox$ và $Oz$ vuông góc với nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số đo cung $AM=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{3}$ với $k\in \mathbb{Z}$. Hai điểm $M$ trùng nhau khi hai số đo cung khác nhau một bội của $2\pi$. Xét $k=0,1,2,3,4,5$ ta được các cung: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},2\pi$ — cho 6 điểm phân biệt trên đường tròn. Với $k=6$ cung bằng $\frac{7\pi }{3}\equiv \frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$ nên điểm lặp lại. Vậy có đúng 6 điểm $M$ thoả mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc lượng giác $\frac{\pi }{4}$ có số đo dương và $0<\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$, nên điểm biểu diễn $M$ trên đường tròn định hướng nằm trong góc phần tư thứ nhất (giữa tia $Ox$ và tia $Oy$). Vậy $M$ thuộc góc phần tư I, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$, góc $a$ thuộc góc phần tư thứ II. Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn có hoành độ âm và tung độ dương, nên $\sin a>0$ và $\cos a<0$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2\pi <a<\frac{5\pi }{2}$, góc $a$ tương đương góc $a-2\pi$ với $0<a-2\pi <\frac{\pi }{2}$, tức điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ I. Trong góc phần tư thứ I, $\sin a>0$ và $\cos a>0$, do đó $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}>0$ và $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}>0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Một số đo của góc là $\frac{3\pi }{2}+2001\pi =\frac{3\pi }{2}+\pi +2000\pi =\frac{5\pi }{2}+2000\pi =\frac{\pi }{2}+2\pi +2000\pi =\frac{\pi }{2}+1001\cdot 2\pi$. Vậy giá trị tổng quát của góc $(Ox,Oy)$ là $\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Chọn đáp án D.