Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^4-8x^2+16=(x^2-4{)}^2$. $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên đoạn $[-1;3]$, các điểm tới hạn là $x=0$ và $x=2$. Tính: $f(-1)=1-8+16=9$; $f(0)=16$; $f(2)=16-32+16=0$; $f(3)=81-72+16=25$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$, đạt tại $x=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên đoạn $[-1;3]$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Tính giá trị: $f(-1)=1-8+16=9$; $f(0)=16$; $f(2)=16-32+16=0$; $f(3)=81-72+16=25$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $x=2$, khớp với đáp án A (đáp án của đề 101, câu 10 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\max f=f(4)=3$ và giá trị nhỏ nhất là $\min f=f(2)=-2$. Hiệu $\max f-\min f=3-(-2)=5$. Khớp với đáp án B.

Đs: 203

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+150x^2$ trên $[0;200]$. Có $y^{\prime }=-3x^2+300x=-3x(x-100)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=100$. Trên $(0;100)$: $y^{\prime }>0$; trên $(100;200)$: $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (và giá trị lớn nhất trên đoạn) tại $x=100$ với $y(100)=-10^6+150\cdot 10^4=500000$ đồng (so sánh $y(0)=0$, $y(200)=-2000000$). Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm, đáp án B, trùng với đáp án đã gạch chân trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;2]$, hàm số tăng trên $[-1;0]$ rồi giảm trên $[0;2]$, nên tại $x=0$ hàm đạt cực đại $f(0)=5$; tại $x=2$ có $f(2)=1$. So sánh $f(0)=5$ và $f(2)=1$ ta được giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-1;3]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=2$ (điểm cao nhất của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất là $f(2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M=2$, $m=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm đồng biến trên $[-1;0]$ đạt $f(0)=5$ (cực đại), nghịch biến trên $[0;2]$ đạt $f(2)=1$ (cực tiểu), rồi đồng biến trên $[2;3]$ với $f(3)=4$. Giá trị lớn nhất của hàm số liên tục trên đoạn đóng nằm trong tập $\{f(-1),f(0),f(2),f(3)\}=\{0,5,1,4\}$, nên $\max =5$, đạt tại $x=0$. Vậy đáp án là B, khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 101: B).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^4+4x^2+6$ trên đoạn $[-1;4]$:
- Tính đúng $y^{\prime }=-4x^3+8x$ (0.125 đ)
- $y^{\prime }=0\iff -4x^3+8x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$ (0,25 đ)
- Loại nghiệm $x=-\sqrt{2}$ (0,125 đ)
- Tính đúng $y(0)=6$; $y(\sqrt{2})=10$; $y(-1)=9$; $y(4)=-186$ (0.25 đ)
- Kết luận đúng $Maxy=y(\sqrt{2})=10$; $Miny=y(4)=-186$ trên $[-1;4]$ (0,25 đ; kết luận đúng 1 ý được 0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tính giá trị tại các điểm nghiện và hai đầu đoạn: $f(-3)=-27+9+2=-16$; $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$; $f(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;3]$ là $\max \{-16;4;0;20\}=20$, đạt tại $x=3$. Kết quả trùng với đáp án B của đề (mã đề 0119, Câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x+1$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=-x^2+1$; $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, trong khoảng $(0;+\infty )$ chỉ có $x=1$. Với $0<x<1$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên khoảng vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$) tại $x=1$: $y(1)=-\frac{1}{3}+1+1=\frac{5}{3}$. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng này. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là giá nhân số lượng: $f(x)=x\cdot p(x)=x(1000-20x)=1000x-20x^2$. a) $f^{\prime }(x)=1000-40x=0\iff x=25$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)=1000-40x\ne -40x-1000$ → sai. c) Doanh thu là $f(x)=x\cdot p(x)$, không phải $x+p(x)$ → sai. d) $f(25)=1000\cdot 25-20\cdot 625=25000-12500=12500$, là GTLN (parabol bậc hai với $a=-20<0$) → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSSĐ (mã đề 1062).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1000x-20x^2$, $f^{\prime }(x)=1000-40x=0\iff x=25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1000-40x$, không phải $-40x-1000$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Doanh thu $f(x)=x\cdot p(x)=1000x-20x^2$, không phải $x+p(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(25)=12500$ là giá trị lớn nhất của hàm bậc hai $f(x)=-20x^2+1000x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên đoạn $[1;18]$.
$L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x^2-2x-80)=-3(x-10)(x+8)$.
$L^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=10$ (nhận, vì $x=-8$ loại do $1\le x\le 18$).
Trên $[1;10)$ có $L^{\prime }(x)>0$, trên $(10;18]$ có $L^{\prime }(x)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và giá trị lớn nhất) tại $x=10$.
Vậy hộ cần sản xuất và bán 10 mét vải lụa mỗi ngày để lợi nhuận tối đa, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-2;3]$: giá trị lớn nhất $M=3$ (đạt tại điểm cực đại bên trái), giá trị nhỏ nhất $m=-1$ (đạt tại điểm cực tiểu, phần đồ thị thấp nhất chạm đường $y=-1$). Do đó $2M+m=2\cdot 3+(-1)=5$. Khớp với đáp án D và bảng đáp án mã đề 1062 (câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm doanh thu là $f(x)=x\cdot p(x)=x(1000-25x)=-25x^2+1000x$. a) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-50x+1000$ — đúng. b) Doanh thu bằng giá bán nhân số lượng $f(x)=x\cdot p(x)$ — đúng. c) $f^{\prime }(x)=0\iff -50x+1000=0\iff x=20$, không phải $x=2$ — sai. d) $f(x)=-25(x-20{)}^2+10000$ đạt max tại $x=20$ với giá trị $10000$ (triệu đồng), không phải $1000$ — sai. Kết quả khớp đáp án ĐĐSS của mã đề 1061.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-25x^2+1000x\Rightarrow f^{\prime }(x)=-50x+1000$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Doanh thu $=$ giá bán mỗi sản phẩm $\times$ số sản phẩm bán ra: $f(x)=x\cdot p(x)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-50x+1000=0\iff x=20$, không phải $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-25(x-20{)}^2+10000\le 10000$, giá trị lớn nhất bằng $10000$ (tại $x=20$), không phải $1000$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=2$ (giá trị lớn nhất), $f(3)=1$, điểm thấp nhất là $f(2)=-4$ (giá trị nhỏ nhất; điểm $f(1)=-2$ chỉ là cực đại địa phương). Vậy $M=2$, $m=-4$, nên $M+m=2+(-4)=-2$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-4x^3+24x=-4x(x^2-6)$. Trên đoạn $[-1;2]$, nghiệm $x=0$ (các nghiệm $x=\pm \sqrt{6}$ nằm ngoài đoạn). Tính giá trị tại các điểm: $f(-1)=-1+12+1=12$; $f(0)=1$; $f(2)=-16+48+1=33$. Vậy giá trị lớn nhất là $\max \{12;1;33\}=33$, đạt tại $x=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có dạng hình chữ W: đạt giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $x=\pm \sqrt{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $x=0$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại gốc tọa độ). Trên đoạn $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$, ta có $f(0)=0$ là giá trị nhỏ nhất, còn $f\left(\pm \sqrt{2}\right)=4$ là giá trị lớn nhất. Vậy $\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\mathrm{Min}}f(x)=0$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 312, Câu 8: A).