Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Câu 4. Công ty A ký hợp đồng cung cấp một lô thiết bị cho đối tác B. Hai bên thỏa thuận chính sách giá như sau:
- Nếu số lượng thiết bị đặt hàng không vượt quá $40$ chiếc, giá bán mỗi chiếc được cố định là $40$ triệu đồng.
- Nếu số lượng đặt hàng lớn hơn $40$ chiếc, thì kể từ chiếc thứ $41$ trở đi, cứ mỗi một chiếc đặt thêm sẽ làm giảm giá bán của toàn bộ thiết bị đi $100$ nghìn đồng.

Biết rằng bộ phận kế toán của công ty A ước tính chi phí sản xuất cho $x$ thiết bị được cho bởi hàm số $C(x)=\frac{1}{300}{x}^3-0,2x^2+20x$ (triệu đồng). Năng lực sản xuất tối đa của công ty A cho đơn hàng này giới hạn ở mức $90$ thiết bị. Gọi $x$ (chiếc) là tổng số thiết bị đối tác B đặt hàng, biết rằng $x>40$ và giả sử $x$ có thể nhận các giá trị thực liên tục để thuận tiện cho việc khảo sát. Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:

Câu 2. Trong hội thao mùa hè, một học sinh trường THPT Nguyễn Trung Trực tham gia cuộc thi thể thao phối hợp (Chèo thuyền - Chạy bộ). Học sinh này đang ở trên thuyền Kayak tại vị trí $A$ trên mặt hồ, cách bờ hồ thẳng (tại điểm $B$) một khoảng $4\text{ km}$. Đích đến là vị trí $C$ dọc theo bờ hồ, cách $B$ một khoảng $9\text{ km}$.



Theo chiến thuật, học sinh sẽ chèo thuyền thẳng từ $A$ đến một điểm $D$ nằm giữa $B$ và $C$ trên bờ, sau đó lập tức lên bờ chạy bộ từ $D$ đến đích $C$. Biết vận tốc chèo thuyền của học sinh là $6\text{ km/h}$ và vận tốc chạy bộ trên bờ là $10\text{ km/h}$.
Gọi $x\text{ (km)}$ là khoảng cách từ $B$ đến điểm cập bến $D$ (với $0<x<15$) và $t(x)$ là hàm số biểu diễn tổng thời gian hoàn thành chặng đua. Hỏi hàm số $t(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Để chuẩn bị cho lễ hội Trung thu, các bạn học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Trung Trực thiết kế những chiếc lồng đèn có dạng khối lăng trụ lục giác đều.
Các bạn sử dụng một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi bằng $72\text{ cm}$, chia tấm bìa thành $6$ phần bằng nhau rồi gấp lại để làm mặt xung quanh của chiếc lồng đèn (như hình vẽ minh họa). Phần hai mặt đáy của lồng đèn được dán bằng giấy kiếng trong suốt. Giả sử phần hao hụt do các mép gấp, dán là không đáng kể.
Gọi $x\text{ (cm)}$ là độ dài cạnh đáy của chiếc lồng đèn (với $0<x<6$) và $V(x)$ là hàm số biểu diễn thể tích không gian bên trong chiếc lồng đèn. Hỏi giá trị cực đại của hàm số $V(x)$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 1. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=(x^2+x+1)e^{-x}$ trên đoạn $[-1;0]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $90$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\frac{1}{2}(200+27x)$ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Cho hàm số $f(x)=\sin 2x-x$.

Câu 1. Trong một dự án giám sát sinh thái hồ, các chuyên gia môi trường mô hình hóa nồng độ oxygen hòa tan $DO$ (đơn vị: $\text{mg/L}$) trong nước hồ sau $t$ giờ $(t\ge 0)$ kể từ khi xảy ra sự cố xả thải hữu cơ bằng hàm số $y=f(t)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng nồng độ oxygen hòa tan được xấp xỉ bởi công thức $f(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$.



Đạo hàm $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi nồng độ oxygen trong nước hồ (đơn vị: $\text{mg/(L}\cdot \text{giờ)}$). Tốc độ phục hồi (hoặc gia tăng) nồng độ oxygen hòa tan trong hồ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t=\frac{\sqrt{a}}{b}$ giờ ($a$ và $b$ là các số nguyên tố). Tính giá trị của biểu thức $P=a-b$.

Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ ($5\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2+19x+300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $316$ nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Giám đốc của show diễn ca nhạc “ATVNCG” đang xác định mức vé vào cửa cho đêm biểu diễn dự kiến vào tháng 12/2024 tại Hà Nội. Theo kinh nghiệm nhiều năm tổ chức show diễn của mình, giám đốc đã xác định được rằng: Nếu giá vé vào cửa là 85 USD/vé thì trung bình có 15 000 khán giả đến xem. Mỗi lần tăng giá vé thêm 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ giảm đi 1 000 người. Mỗi lần giảm giá vé đi 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ tăng lên 1 000 người. Biết rằng, trung bình mỗi khán giả đến xem còn giúp show diễn có thêm 5 USD từ các dịch vụ đi kèm và mỗi khá giả vào xem phải có 1 vé vào cửa. Hỏi giám đốc chọn giá vé vào cửa cho show diễn này là bao nhiêu USD/vé để tổng số tiền thu được sau đêm diễn (gồm tổng tiền bán vé và tiền thu từ các dịch vụ đi kèm) là lớn nhất?

Câu 17. Một hợp tác xã chuyên sản xuất trà sen chất lượng cao để xuất khẩu và bán lẻ, mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ trà sen $(1\le x\le 20)$. Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ trà sen trong ngày, tính theo đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm số: $C(x)=x^3-18x^2+266x+260$. Biết rằng toàn bộ sản lượng làm ra mỗi ngày đều được tiêu thụ hết với giá bán là $350\text{ nghıˋn đoˆˋng/kg}$. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x\text{ kg}$ trà sen. Hỏi lợi nhuận tối đa mà hợp tác xã có thể thu về trong một ngày là bao nhiêu?

Câu 18. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18000$. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Câu 19. Để làm một cái hộp đựng quà tặng bạn nhân dịp sinh nhật. Từ một tấm bìa hình chữ nhật với kích thước $40\text{ cm}\times 20\text{ cm}$, bạn Mai cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là $x\text{ (cm)}$ và hai hình chữ nhật rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Biết phần không gian của hộp đựng được nhiều quà nhất. Khi đó giá trị $x\text{ (cm)}$ thuộc khoảng nào?

Câu 3. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2-x^2}$. Khi đó $M-m$ bằng

Câu 8. Một trung tâm cứu hộ động vật hoang dã chăm sóc hai cá thể động vật có khối lượng $x\text{ kg}$ và $y\text{ kg}$ ($x>0,y>0$). Khối lượng của hai cá thể thỏa mãn hệ thức $x^{\frac{3}{4}}+2\cdot y^{\frac{3}{4}}=12$. Chỉ số tương tác sinh học giữa hai cá thể được xác định bởi $S=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{4}}+2y^{\frac{3}{4}}+\frac{64}{x^{\frac{3}{4}}\cdot y^{\frac{3}{4}}}$. Chỉ số $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi tỷ số khối lượng $\frac{y}{x}$ của hai cá thể bằng

Câu 3. Một xưởng sản xuất nhận được đơn đặt hàng là $8000$ sản phẩm $Y$. Trong xưởng có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ sản phẩm $Y$ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và cần hai người giám sát. Chi phí cần trả mỗi người giám sát là $96$ nghìn đồng mỗi giờ. Gọi $x$ là số máy mà xưởng cần dùng để sản xuất, khi đó:

Câu 10. Một hợp tác xã cần vận chuyển $3600\text{ kg}$ sầu riêng trong $1$ mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở $x\text{ kg}$ ($1\le x\le 3600,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), và giả sử $x$ là ước của $3600$ để chia đều số chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm: Phí xe cố định: $50$ nghìn đồng/chuyến; Phí bảo quản lạnh tỉ lệ theo tải: $0,005x^2$ (nghìn đồng/chuyến). Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu kg để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Câu 2. Một xe điện giao hàng đi quãng đường bằng phẳng dài $120\text{ km}$ với vận tốc không đổi $v\text{ (km/h)}$. Công suất tiêu thụ điện khi xe chạy ở vận tốc này được mô hình hóa bởi hàm số $P(v)=12+\frac{v^2}{300}\text{ (kW)}$. Bỏ qua điện năng lúc khởi hành và dừng xe. Để điện năng tiêu thụ trên cả quãng đường là nhỏ nhất, xe cần chạy với vận tốc bao nhiêu kilômét trên giờ? (Biết công thức tính điện năng tiêu thụ (kWh) là: điện năng = công suất tiêu thụ điện $\times$ thời gian).

Câu 3. Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $30\text{ cm}\times 20\text{ cm}$, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4. Một cửa hàng dự kiến bán $x$ sản phẩm mỗi tháng. Giá bán mỗi sản phẩm là $p(x)=600-0,5x$ (nghìn đồng) và số sản phẩm mỗi tháng không vượt quá $800$ sản phẩm. Tổng chi phí sản xuất là $C(x)=100x+50000$ (nghìn đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 3. Một xe khách đi từ Long Khánh đến Vũng Tàu chở tối đa được là $45$ hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được $m$ hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là ${\left(300-\frac{5m}{2}\right)}^2$ đồng. Gọi $x$ là số hành khách trên mỗi chuyến xe và số tiền thu được của mỗi chuyến xe là $F(x)$ $(0<x\le 45)$.