Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t$ (giờ) là thời gian máy bay B đã bay (với $0\le t\le 6$). Tại thời điểm đó, máy bay A đã bay được $t+\frac{1}{2}$ giờ. Vì cả hai máy bay cùng bay về phía nam nên khoảng cách theo phương bắc–nam giữa chúng là $800\left(t+\frac{1}{2}\right)-920t=400-120t$ (km) (khi $t\le \frac{10}{3}$; nếu $t>\frac{10}{3}$ thì B đã vượt lên trước A và khoảng cách bắc–nam là $120t-400$). Độ cao chênh lệch không đổi là $50$ km. Do đó bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là $$f(t)=(120t-400{)}^2+50^2.$$ Hàm $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $120t-400=0$, tức $t=\frac{400}{120}=\frac{10}{3}$ giờ $=200$ phút. Vì $\frac{10}{3}<6$ nên giá trị này nằm trong khoảng thời gian 6 giờ tính từ lúc B bay theo hướng nam. Vậy thời gian máy bay B bay để khoảng cách giữa hai máy bay ngắn nhất là $200$ phút (khi đó khoảng cách ngắn nhất bằng $50$ km).

Trả lời: 52. Xét hàm số: $$f(x)=TR-TC=-2x^2+1312x-\left(x^3-77x^2+1000x+40000\right).$$ $$f(x)=-x^3+75x^2+312x-40000.$$ TXĐ: $D=(0;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312=0\iff x=52(N)$ hoặc $x=-2(L)$. Bảng biến thiên: Hàm số đạt giá trị cực đại $y_{CD}=38416$ tại $x=52$. Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm $x=52$.

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ. Khi đó, điểm góc M có tọa độ $M\left(-2,6;m\right)$. [Hình cần kiểm tra lại: p16_f2] Tọa độ điểm B là $B\left(-a;0\right)$ khi đó $A\left(0;\sqrt{25-a^2}\right)$. Phương trình đường thẳng AB là: $$AB:\frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^2}}-1=0.$$ Do $CD\parallel AB$ nên phương trình đường thẳng CD là $CD:\frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^2}}-T=0.$ Mà khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $1,9m$ nên $$d\left(AB;CD\right)=\frac{\left|T-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{25-a^2}}\right)}^2}}=1,9\Rightarrow T=1+\frac{9,5}{a\sqrt{25-a^2}}.$$ Điều kiện để ô tô đi qua được là $M,O$ nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng $CD$. Suy ra: $\frac{-2,6}{-a}+\frac{m}{\sqrt{25-a^2}}-1-\frac{9,5}{a\sqrt{25-a^2}}\ge 0$ $$\iff m\ge \sqrt{25-a^2}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6\times \sqrt{25-a^2}}{a}\text{đuˊng với mọi}a\in \left(0;5\right].$$ Xét hàm số: $f\left(a\right)=\sqrt{25-a^2}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6.\sqrt{25-a^2}}{a}$ trên nửa khoảng $\left(0;5\right]$ ta có: $$f^{\prime }(a)=-\frac{a}{\sqrt{25-a^2}}-\frac{9,5}{a^2}+\frac{65}{a^2.\sqrt{25-a^2}}=\frac{65-9,5\sqrt{25-a^2}-a^3}{a^2.\sqrt{25-a^2}}$$ $$\Rightarrow f^{\prime }(a)=0\iff a=3\in (0;5)$$ Bảng biến thiên: Do đó $m\ge f(a),\forall a\in (0;5]\iff m\ge \underset{(0,5]}{\max }f(a)\iff m\ge \frac{37}{10}=3,7$. Vậy $x=3,7$ là giá trị cần tìm.

Trên đoạn $[-5;-1]$ ta có hàm số đã cho liên tục và có $y^{\prime }=3x^2+6x\Rightarrow 3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2\Rightarrow x=-2$; $y(-5)=-40$; $y(-2)=14$; $y(-1)=12$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-5;-1]$ bằng 14.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;3]$: điểm cao nhất của đồ thị là $f(-1)=2$ nên $M=2$; điểm thấp nhất là $f(2)=-4$ nên $m=-4$. Vậy $M+m=2+(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: bờ sông gần A là đường thẳng, H là chân vuông góc từ A xuống bờ (AH = 4), K là chân vuông góc từ B xuống bờ kia (KB = 22), cầu EF vuông góc bờ sông dài EF = 2, HE + KF = 6. Đặt HE = x (0 ≤ x ≤ 6) thì KF = 6 − x. Chi phí: C(x) = 50·2 + √(x² + 4²) + √((6−x)² + 22²) = 100 + √(16 + x²) + √(484 + (6−x)²). Đạo hàm: f'(x) = x/√(16+x²) − (6−x)/√(484+(6−x)²) = 0 ⟹ x²(484 + (6−x)²) = (6−x)²(16 + x²) ⟹ 484x² = 16(6−x)² ⟹ 22x = 4(6−x) ⟹ x = 12/13, 6−x = 66/13. Khi đó f_min = √(16 + 144/169) + √(484 + 4356/169) = (4√178 + 6√2397)/13 ≈ (53,3666 + 293,7477)/13 ≈ 26,7011. Chi phí thấp nhất ≈ 100 + 26,7011 ≈ 126,70 ≈ 127 tỷ đồng (khớp đáp án nguồn 127).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $f(x)=xP(x)-xC(x)=x(45-0,001x^2)-(100+33x)=12x-0,001x^3-100$, với $0<x\le 100$. $f^{\prime }(x)=12-0,003x^2=0\Rightarrow x=\sqrt{4000}\approx 63,25$ (thỏa miền). $f(\sqrt{4000})=12\sqrt{4000}-0,001(4000{)}^{3/2}-100=240\sqrt{10}-80\sqrt{10}-100=160\sqrt{10}-100\approx 405,97\approx 406$ triệu đồng. So với đáp án nguồn 406: khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9$ trên $[0;10]$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-48}{2\cdot (-6)}=4\in [0;10]$. Khi đó $v(4)=-6\cdot 16+48\cdot 4+9=-96+192+9=105$ (m/s). So sánh: $v(0)=9$, $v(10)=-600+480+9=-111$. Vậy vận tốc lớn nhất là 105 m/s, đạt được tại $t=4$ giây. Khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $HE=x$, $KF=6-x$ (km) với $0\le x\le 6$. Cầu $EF=2$ km nên chi phí cầu là $50\cdot 2=100$ tỷ đồng. Đường trên đất liền: $AE=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$ và $FB=\sqrt{(6-x{)}^2+22^2}=\sqrt{(6-x{)}^2+484}$, chi phí 1 tỷ/km. Tổng chi phí: $C(x)=100+\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(6-x{)}^2+484}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(6-x{)}^2+484}$.
$f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}-\frac{6-x}{\sqrt{(6-x{)}^2+484}}=0$
$\Rightarrow \frac{x^2}{x^2+16}=\frac{(6-x{)}^2}{(6-x{)}^2+484}$
$\Rightarrow 484x^2=16(6-x{)}^2\Rightarrow 11x=2(6-x)\Rightarrow x=\frac{12}{13}$ (thỏa $0\le x\le 6$).

Tại $x=\frac{12}{13}$: $AE=\sqrt{\frac{144}{169}+\frac{2704}{169}}=\frac{\sqrt{2848}}{13}\approx 4,1051$; $FB=\sqrt{\frac{4356}{169}+\frac{81796}{169}}=\frac{\sqrt{86152}}{13}\approx 22,5783$.
Vậy $f\approx 26,6834$ và chi phí thấp nhất $\approx 100+26,6834=126,6834\approx 127$ tỷ đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Kết quả khớp với đáp án nguồn: 127.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận của A khi bán $x$ tấn (với $0<x\le 100$) là: $$L(x)=x[P(x)-C(x)]=x\left(45-0,001x^2-\frac{100}{x}-33\right)=12x-0,001x^3-100.$$ Xét $L^{\prime }(x)=12-0,003x^2=0\Rightarrow x^2=4000\Rightarrow x=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}\approx 63,25$ (thỏa $0<x\le 100$). Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<20\sqrt{10}$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>20\sqrt{10}$ nên $L$ đạt max tại $x=20\sqrt{10}$: $$L(20\sqrt{10})=12\cdot 20\sqrt{10}-0,001\cdot (20\sqrt{10}{)}^3-100=240\sqrt{10}-80\sqrt{10}-100=160\sqrt{10}-100\approx 405,96\approx 406.$$ Vậy lợi nhuận cao nhất là 406 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 4: 406).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9$ trên $[0;10]$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-48}{2\cdot (-6)}=4\in [0;10]$. Khi đó $v(4)=-6\cdot 16+48\cdot 4+9=-96+192+9=105$ (m/s). So sánh: $v(0)=9$, $v(10)=-600+480+9=-111$. Vậy vận tốc lớn nhất là 105 m/s, đạt được tại $t=4$ giây. Khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất $M=2$ (tại $x=-1$), giá trị nhỏ nhất $m=-4$ (tại $x=2$). Vậy $M+m=2+(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi tháng: $P(x)=(x-40)(120-x)=-x^2+160x-4800$, với $40\le x\le 120$ (để có lãi và bán được giày). $P^{\prime }(x)=-2x+160=0\Rightarrow x=80$. Vì $P(x)$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-1<0$ nên đạt cực đại tại $x=80$, khi đó $P(80)=40\cdot 40=1600$ đô la. Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá 80 đô la để thu lãi cao nhất.

Câu 2. (1.0 đ)
Cách 1

+ Đặt $MH=x,NK=y,(x>0,y>0)$. (0,2)
Tam giác $MDN$ có $AH\parallel ND,AK\parallel MD$
$\Rightarrow \frac{MH}{HD}=\frac{MA}{AN}=\frac{DK}{KN}\Rightarrow \frac{x}{16}=\frac{2}{y}\Rightarrow y=\frac{32}{x}$.
+ Tính $M{D}^2=(x+16{)}^2=x^2+32x+256$. (0,2)
$N{D}^2={\left(2+\frac{32}{x}\right)}^2=4+\frac{128}{x}+\frac{1024}{x^2}$. (0,2)
$\Rightarrow M{N}^2=D{M}^2+D{N}^2=x^2+\frac{1024}{x^2}+32x+\frac{128}{x}+260$.
+ Xét hàm số $f(x)=x^2+\frac{1024}{x^2}+32x+\frac{128}{x}+260$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2048}{x^3}+32-\frac{128}{x^2}=\frac{1}{x^3}\left(2x^4+32x^3-128x-2048\right)$
$f^{\prime }(x)=0\iff 2x^4+32x^3-128x-2048=0\iff x=4$ (0,2)
BBT

$\Rightarrow \min MN=\sqrt{500}$ khi $x=4\Rightarrow y=8$.
Vậy $MD=4+16=20km$, $ND=2+8=10km$. (0,2)

Cách 2

+ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ $\Rightarrow A(2;16)$. (0,2)
+ Gọi
$N(n;0),M(0;m),(m>16,n>2)\Rightarrow d:\frac{x}{n}+\frac{y}{m}=1$. (0,2)
+ Vì $A\in d\Rightarrow \frac{2}{n}+\frac{16}{m}=1\Rightarrow n=\frac{2m}{m-16}$.
+ Ta có $M{N}^2=m^2+n^2=m^2+\frac{4m^2}{(m-16{)}^2}$. (0,2)
+ Hàm số
$f(m)=m^2+\frac{4m^2}{(m-16{)}^2}$ trên khoảng $(16;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(m)=2m\left[1-\frac{64}{(m-16{)}^3}\right]=0\iff m=20$. (0,2)
BBT

$\Rightarrow \min MN=\sqrt{500}$ khi $m=20\Rightarrow n=10$.
Vậy $DM=20km$, $DN=10km$. (0,2)

Câu 2. (1.0 đ)
Cách 1.
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]
+ Đặt $AH=x,BK=y,(x>0,y>0)$. (0,2)
Tam giác $ADB$ có $MH//BD,MK//AD$
$\Rightarrow \frac{AH}{HD}=\frac{AM}{MB}=\frac{DK}{KB}\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\frac{8}{x}$.
+ Tính $A{D}^2=(x+8{)}^2=x^2+16x+64$. (0,2)
$B{D}^2={\left(1+\frac{8}{x}\right)}^2=1+\frac{16}{x}+\frac{64}{x^2}$. (0,2)
$\Rightarrow A{B}^2=D{A}^2+D{B}^2=x^2+\frac{64}{x^2}+16x+\frac{16}{x}+65$
+ Xét hàm số
$f(x)=x^2+\frac{64}{x^2}+16x+\frac{16}{x}+65$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=2x-\frac{128}{x^3}+16-\frac{16}{x^2}$
$=\frac{1}{x^3}\left(2x^4+16x^3-16x-128\right)$
$f^{\prime }(x)=0\iff 2x^4+16x^3-16x-128=0$
$\iff x=2$ (0,2)
BBT

$\Rightarrow \min AB=\sqrt{125}$ khi $x=2\Rightarrow y=4$.
Vậy $AD=2+8=10km$, $BD=1+4=5km$. (0,2)

Cách 2.

+ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ $\Rightarrow M(1;8)$. (0,2)
+ Gọi $B(b;0),A(0;a),(a>8,b>1)\Rightarrow d:\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$. (0,2)
+ Vì $M\in d\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{8}{a}=1\Rightarrow b=\frac{a}{a-8}$.
+ Ta có $A{B}^2=a^2+b^2=a^2+\frac{a^2}{(a-8{)}^2}$ (0,2)
+ Hàm số $f(a)=a^2+\frac{a^2}{(a-8{)}^2}$ trên khoảng $(8;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(a)=2a\left[1-\frac{8}{(a-8{)}^3}\right]=0\iff a=10$. (0,2)
BBT

$\Rightarrow \min AB=\sqrt{125}$ khi $a=10\Rightarrow b=5$
Vậy $DA=10km$, $DB=5km$. (0,2)

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot T(x)=x(-200x+560)=-200x^2+560x$ (triệu đồng), với $x\ge 0$. Hàm bậc hai với $a=-200<0$ đạt max tại $x=-\frac{560}{2(-200)}=1,4$ (nghìn sản phẩm). Khi đó $R(1,4)=-200(1,96)+560(1,4)=-392+784=392$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (392).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 20 nghìn đồng/chiếc (x ≥ 0, nguyên hoặc thực tùy mô hình liên tục). Khi đó giá bán là $p=330+20x$ (nghìn đồng/chiếc), số áo bán mỗi ngày là $q=13500-900x$ (chiếc), với $0\le x\le 15$. Lợi nhuận trên mỗi chiếc là $p-190=140+20x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận mỗi ngày (nghìn đồng): $$L(x)=(140+20x)(13500-900x)-20000=18000(x+7)(15-x)-20000.$$ Hàm $f(x)=(x+7)(15-x)$ là tam thức bậc hai có đỉnh tại $x=\frac{-7+15}{2}=4$, giá trị lớn nhất $f(4)=11\cdot 11=121$. Vậy $L_{\max }=18000\cdot 121-20000=2178000-20000=2158000$ nghìn đồng $=2158$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 2158.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 20 nghìn đồng/chiếc ($x\ge 0$, $13500-900x\ge 0\Rightarrow 0\le x\le 15$). Khi đó giá bán là $330+20x$ nghìn đồng/chiếc, số áo bán mỗi ngày là $13500-900x$ chiếc, lợi nhuận trên mỗi chiếc là $(330+20x)-190=(140+20x)$ nghìn đồng. Lợi nhuận (nghìn đồng/ngày): $$P(x)=(140+20x)(13500-900x)-20000$$ (trừ chi phí cố định 20 triệu = 20000 nghìn đồng). Khai triển: $(140+20x)(13500-900x)=1890000+144000x-18000x^2$, là parabol với đỉnh tại $x=\frac{144000}{2\cdot 18000}=4$. Khi đó $P(4)=1890000+576000-288000-20000=2158000$ nghìn đồng $=2158$ triệu đồng. Vậy lợi nhuận tối đa là 2158 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L(x)=-x^3+24x^2+780x-5000$ trên $[0;40]$.
a) $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$: đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff -3x^2+48x+780=0\iff x^2-16x-260=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$. Trên đoạn $[0;40]$ chỉ có nghiệm $x=26$, tức chỉ 1 nghiệm → ý b) sai.
c) $L(0)=-5000\ne 0$ (nên ý c) sai dù $L(26)=-17576+16224+20280-5000=13928$ đúng và $L(40)=-64000+38400+31200-5000=600$ đúng).
d) So sánh: $L(0)=-5000$, $L(26)=13928$, $L(40)=600$. Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x\in [0;26)$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (26;40]$, hàm số đạt maximum tại $x=26$ với $L(26)=13928$ nghìn đồng. Vậy để lợi nhuận cao nhất xưởng nên sản xuất 26 kg/ngày → ý d) đúng.
Tóm tắt:
a) Đạo hàm $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$; trên $[0;40]$ chỉ có 1 nghiệm là $x=26$.
c) $L(0)=-5000\ne 0$; mặc dù $L(26)=13928$ và $L(40)=600$ đúng, cả mệnh đề sai vì $L(0)$ sai.
d) $L$ tăng trên $[0;26]$, giảm trên $[26;40]$; $L(26)=13928$ lớn nhất, nên sản xuất 26 kg/ngày cho lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), E(40;0), B(0;20), D(40;20), H(30;0), K(0;10), C(30;10). Đường cong là đồ thị hàm bậc ba y=f(x) đi qua B, D và có cực tiểu tại C(30;10): f(0)=20, f(30)=10, f'(30)=0, f(40)=20. Giải hệ được f(x)=x³/450 − 11x²/90 + 4x/3 + 20. Khoảng cách bơi vuông góc với AE bằng f(x) trên [0;40]. f'(x)=3x²/450 − 11x/45 + 4/3 = 0 ⇔ 3x²−110x+600=0 ⇔ x=30 hoặc x=20/3. f(30)=10 (giá trị nhỏ nhất), f(20/3)=4420/243≈18,19, f(0)=f(40)=20 (giá trị lớn nhất). Đường bơi ngắn nhất dài 10 m mất 5 giây nên vận tốc 2 m/s. Đường bơi dài nhất dài 20 m nên thời gian là 20/2 = 10 giây.