Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc), ta có $(SAC)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SCD)$, $(SBC)$, $(SBD)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$ nên không kết luận được vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong hình lập phương, $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$; lại có $AO\perp BD$ (do $O$ là tâm hình vuông $ABCD$). Suy ra $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, mà $A^{\prime }O\subset (AO{A}^{\prime })$ nên $A^{\prime }O\perp BD$. Đúng.
b) Nếu $A^{\prime }O\perp (ABCD)$ thì $A^{\prime }O\parallel A{A}^{\prime }$ (cùng vuông góc với $(ABCD)$), tức $A^{\prime },O,A$ thẳng hàng — vô lý vì $O$ là tâm hình vuông, không nằm trên đường chéo... thực tế $O$ nằm trên $AC$ nhưng $A^{\prime }O$ không song song $A{A}^{\prime }$. Cụ thể: hình chiếu của $A^{\prime }$ xuống $(ABCD)$ là $A$, mà $O\ne A$, nên $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$. Sai.
c) Từ a) có $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, mà $BD\subset (A^{\prime }BD)$, nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$. Đúng.
d) Giao tuyến của $(A^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $BD$. Vì $BD\perp (AO{A}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }BD)\cap (AO{A}^{\prime })=A^{\prime }O$, $(ABCD)\cap (AO{A}^{\prime })=AO$, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc $\widehat{A^{\prime }OA}$. Tam giác $A^{\prime }BD$ có $A^{\prime }B=A^{\prime }D=BD=a\sqrt{2}$ nên đều. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AO$: $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }OA}\approx 54,7356^{\circ }\approx 54,7^{\circ }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{A}^{\prime }\perp BD$ và $AO\perp BD$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }O\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $A\ne O$, nên $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AO{A}^{\prime })$ và $BD\subset (A^{\prime }BD)$ nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A^{\prime }OA}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{2}$, cho $\approx 54,7^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $BD\perp AC$ tức $BD\perp AO$.
a) Đúng: $BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp A^{\prime }O$, tức $A^{\prime }O\perp BD$.
b) Sai: $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$; góc giữa $A^{\prime }O$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }OA}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, nên góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) Đúng: như ý a), $BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$, mà $BD$ nằm trong $(A^{\prime }BD)$, giao tuyến của $(A^{\prime }BD)$ và $(AO{A}^{\prime })$ là $A^{\prime }O$... thực chất $BD\perp (AO{A}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) Sai: góc giữa $(A^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }O$ và $AO$ (hai đường vuông góc với giao tuyến $BD$), $\tan \alpha =\sqrt{2}\Rightarrow \alpha \approx 54,7^{\circ }\ne 57,4^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AO$ (tính chất đường chéo hình vuông) và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, suy ra $A^{\prime }O\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{2}$ nên góc giữa $A^{\prime }O$ và $(ABCD)$ bằng $\arctan \sqrt{2}\approx 54,7^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AO$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, do đó $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A^{\prime }OA}$, $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, $\alpha \approx 54,7^{\circ }\ne 57,4^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc), ta có $(SAC)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SBD)$, $(SCD)$, $(SBC)$ không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABCD)$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật, các cạnh $SB,SC,SD$ không vuông góc với đáy). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AC$, $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$), suy ra $(SBC)\perp (SAB)$: phương án D đúng. Vì $SA\subset (SAB)$ và $SA\perp (ABC)$ nên $(SAB)\perp (ABC)$: phương án B đúng. Vì $SA\subset (SAC)$ và $SA\perp (ABC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$: phương án C đúng. Xét phương án A: hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ cắt nhau theo giao tuyến $SC$; không có cơ sở khẳng định chúng vuông góc (điều kiện cần như $BC\perp (SAC)$ hay $AC\perp (SBC)$ đều không thỏa mãn nói chung). Vậy kết luận sai là A.

a) Xét mặt phẳng $(P)$: Đại diện cho nền nhà, mặt phẳng $(Q)$: Đại diện cho bức tường và đường thẳng $d$: Đại diện cho sợi dây dọi.
Dây dọi vuông góc với nền nhà: $d\perp (P)$.
Dây dọi nằm trên mặt phẳng bức tường: $d\subset (Q)$.
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Do đó, bức tường $(Q)$ vuông góc với nền nhà $(P)$.

b) Vận tốc chuyển động của chất điểm là
$$v(t)=s^{\prime }(t)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+10t+1\right)}^{\prime }=t^2-4t+10$$
Ta có $v(t)=t^2-4t+10=(t-2{)}^2+6\ge 6$.
Vận tốc chuyển động của vật nhỏ nhất bằng 6 khi $t=2$ (thỏa mãn).
Vậy trong khoảng thời gian 7 giây đầu tiên, tại thời điểm 2 giây, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất.

Khẳng định A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì chúng có thể cắt nhau (ví dụ: hai mặt phẳng tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt sàn).

Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow (SAC)\perp (ABCD)$ (B đúng); $BD\perp AC$ và $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp (SAC)\Rightarrow (SAC)\perp (SBD)$ (A đúng); $BC\perp AB$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$ (C đúng). Khẳng định sai là $(SBC)\perp (SCD)$. Chọn D.

Hình bát diện đều có đúng 9 mặt phẳng đối xứng (gồm 3 mặt phẳng đối xứng đi qua 4 đỉnh tạo thành hình vuông và 6 mặt phẳng đối xứng đi qua 2 đỉnh đối diện và trung điểm 2 cạnh đối diện). Chọn B.

Trong hình chóp đều $S.ABC$, hai mặt bên $(SAB)$ và $(SBC)$ không vuông góc với nhau nên mệnh đề $(SAB)\perp (SBC)$ là sai. Chọn A.

Do $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$ nên $AD\perp (SAB)$. Mà $BC\parallel AD$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $(SBC)\perp (SAB)$.

- Vì $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)\Rightarrow (SBD)\perp (SAC)$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$.
- Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$.
Vậy khẳng định sai là $(SBC)\perp (SCD)$.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Khi đó $d$ cũng vuông góc với $(Q)$ vì $(P)\parallel (Q)$.
Mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng $d$ đều vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Vì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Chọn đáp án B.

Đáy $ABCD$ là hình thoi có các cạnh bằng $a$. Do $SA=SB=SC=SD=a$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm $O$ của đáy, suy ra $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp SO⟹BD\perp (SAC)$.
Vì mặt phẳng $(MBD)$ chứa đường thẳng $BD$ mà $BD\perp (SAC)$ nên $(MBD)\perp (SAC)$.
Chọn đáp án B.

Mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều. Vì tứ diện đều có $6$ cạnh nên có $6$ mặt phẳng đối xứng.

Ta có: $CD\perp AD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật).
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$.
$SA\cap AD=A\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
Mà $CD\subset (SCD)$ nên $(SCD)\perp (SAD)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì tam giác $ACD$ và $BCD$ đều cân tại $A$ và $B$ nên $AM\perp CD$ và $BM\perp CD$.
Do $(ACD)\perp (BCD)$ và giao tuyến là $CD$ nên $AM\perp (BCD)\Rightarrow AM\perp BM$.
Ta có $A{M}^2=A{C}^2-M{C}^2=9-\frac{a^2}{4}$ và $B{M}^2=B{C}^2-M{C}^2=9-\frac{a^2}{4}$.
Suy ra $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2=18-\frac{a^2}{2}$ (1).
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Do $CA=CB$ và $DA=DB$ nên tam giác $CAB$ và $DAB$ cân tại $C$ và $D$, suy ra $CN\perp AB$ và $DN\perp AB$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ là $\widehat{CND}$.
Để $(ABC)\perp (ABD)$ thì $\widehat{CND}=90^{\circ }\iff C{D}^2=N{C}^2+N{D}^2=2N{C}^2$ (do $NC=ND$).
Trong tam giác vuông $ANC$: $N{C}^2=A{C}^2-A{N}^2=9-\frac{A{B}^2}{4}$.
Do đó $a^2=2\left(9-\frac{A{B}^2}{4}\right)=18-\frac{A{B}^2}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $a^2=18-\frac{18-\frac{a^2}{2}}{2}=9+\frac{a^2}{4}\Rightarrow \frac{3a^2}{4}=9\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=\sqrt{12}\approx 3,46\text{ dm}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 chọn đáp án A.

Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$).
- $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp AC$.
Suy ra $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Mà $AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp AB$. Lại có $AB\perp BC$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) nên $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Do $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Chọn C.

Vì $CD\perp AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$. Mà $CD\subset (SCD)$ nên $(SCD)\perp (SAD)$. Chọn C.