Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Vẽ parabol.

a) $y=2x^2+4x-6$.
- $a=2>0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.
- Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$; tung độ đỉnh: $y=2(-1{)}^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$. Đỉnh $I(-1;-8)$.
- Trục đối xứng: $x=-1$.
- Giao điểm với trục $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-6$, điểm $(0;-6)$, và điểm đối xứng qua trục là $(-2;-6)$.
- Giao điểm với trục $Ox$: $2x^2+4x-6=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$, tức các điểm $(1;0)$ và $(-3;0)$.
- Vẽ parabol đi qua các điểm $(-3;0),(-2;-6),I(-1;-8),(0;-6),(1;0)$, bề lõm hướng lên.

b) $y=-x^2-2$.
- $a=-1<0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
- Đỉnh: $x=-\frac{0}{2(-1)}=0$, $y=-2$. Đỉnh $I(0;-2)$, trục đối xứng là trục $Oy$.
- Lấy thêm vài điểm: $x=\pm 1\Rightarrow y=-3$; $x=\pm 2\Rightarrow y=-6$.
- Parabol không cắt trục $Ox$ vì $-x^2-2=0\iff x^2=-2$ vô nghiệm.
- Vẽ parabol qua các điểm $(-2;-6),(-1;-3),I(0;-2),(1;-3),(2;-6)$, bề lõm hướng xuống, đối xứng qua trục $Oy$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$), đỉnh tại $(-1;-4)$, cắt trục tung tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=-3$ và $x=1$. Xét $y=x^2+2x-3$: có $a=1>0$, đỉnh $I(-1;-4)$, $y(0)=-3$, nghiệm $x^2+2x-3=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án B, C có $a<0$ (bề lõm hướng xuống) nên loại; phương án D có đỉnh $(1;-4)$ và cắt trục tung tại $-3$ nhưng nghiệm là $x=-1,x=3$, không khớp hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát hình vẽ ở trang 9 (Câu 11): parabol có nhánh hướng xuống nên $a<0$. Đỉnh parabol nằm bên phải trục tung, tức $x=-\frac{b}{2a}>0$; vì $a<0$ nên suy ra $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $c>0$. Vậy $a<0,b>0,c>0$, khớp với đáp án D đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Tìm parabol $y=a{x}^2+bx+3$ (a ≠ 0).

a) Đi qua A(2;15) và B(-1;0):
- Thay A(2;15): $4a+2b+3=15\Rightarrow 4a+2b=12\Rightarrow 2a+b=6$.
- Thay B(-1;0): $a-b+3=0\Rightarrow a-b=-3$.
- Cộng hai phương trình: $3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $b=4$.
- Vậy $y=x^2+4x+3$. Kiểm tra: $x=2\Rightarrow 4+8+3=15$ ✓; $x=-1\Rightarrow 1-4+3=0$ ✓.

b) Có đỉnh I(-2;19):
- Hoành độ đỉnh: $-\frac{b}{2a}=-2\Rightarrow b=4a$.
- Tung độ đỉnh: $3-\frac{b^2}{4a}=19\Rightarrow 3-\frac{16a^2}{4a}=19\Rightarrow 3-4a=19\Rightarrow a=-4$.
- Suy ra $b=4a=-16$.
- Vậy $y=-4x^2-16x+3$. Kiểm tra: đỉnh tại $x=-\frac{-16}{2(-4)}=-2$, $y(-2)=-16+32+3=19$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đỉnh $I(-1;2)$ nên $-\frac{b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a$ và $y_I=a(-1{)}^2+b(-1)+c=a-b+c=2$. Parabol đi qua $A(1;6)$ nên $a+b+c=6$. Trừ hai phương trình: $(a+b+c)-(a-b+c)=6-2\Rightarrow 2b=4\Rightarrow b=2$, suy ra $a=1$. Thay vào: $1+2+c=6\Rightarrow c=3$. Vậy parabol cần tìm là $y=x^2+2x+3$. Kiểm tra: đỉnh $x=-\frac{2}{2}=-1$, $y(-1)=1-2+3=2$ ✓; $y(1)=1+2+3=6$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+3$ là parabol bậc hai với $a=1>0$ nên đồng biến trên khoảng bên phải đỉnh. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $-2x^2+2(m-2)x+m-2=0$ với $a=-2\ne 0$, $b=2(m-2)$, $c=m-2$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
$$\Delta =b^2-4ac=[2(m-2){]}^2-4(-2)(m-2)=4(m-2{)}^2+8(m-2)$$
$$=4(m-2)[(m-2)+2]=4(m-2)\cdot m=4m(m-2)$$

Yêu cầu $\Delta >0$:
$$4m(m-2)>0⟺m(m-2)>0⟺m<0\text{ hoặc }m>2$$

Vậy $m\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra: với $m=0$: phương trình $-2x^2-4x-2=0$ có nghiệm kép $x=-1$ (loại, đúng vì $m=0$ không thuộc tập trên); với $m=3$: $-2x^2+2x+1=0$, $\Delta =4+8=12>0$, hai nghiệm phân biệt — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh parabol là $I(1;-3)$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$. Viết parabol dạng $y=a(x-1{)}^2-3$. Thay $x=0,y=-1$: $a(0-1{)}^2-3=-1\Rightarrow a=2$. Vậy $y=2(x-1{)}^2-3=2x^2-4x-1$. Kiểm tra: $y=2x^2-4x-1$ có $y(0)=-1$, đỉnh $x=\frac{4}{4}=1$, $y(1)=-3$, khớp hình vẽ. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $I(1;-4)$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$, đi qua các điểm $(-1;0)$ và $(3;0)$. Dạng chính tắc: $f(x)=a(x-1{)}^2-4$. Vì $f(0)=a-4=-3\Rightarrow a=1>0$; khi đó $f(x)=x^2-2x-3$ (kiểm tra: $f(-1)=0$, $f(3)=0$ đúng). Vậy $a=1,b=-2,c=-3$.
a) Sai: vì $a>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
b) Đúng: $a=1>0$ (parabol quay lên).
c) Sai: $c=-3<0$ (đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm).
d) Đúng: $a+b+c=f(1)=-4$ (tung độ đỉnh). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1>0$, hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ (đỉnh tại $x=1$), nên khẳng định nghịch biến trên $(1;+\infty )$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol quay bề lõm lên trên nên $a>0$; cụ thể từ đỉnh $(1;-4)$ và $f(0)=-3$ ta được $a=1>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-3)$ nên $c=f(0)=-3<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a+b+c=f(1)=-4$ vì $(1;-4)$ là đỉnh parabol.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=x^2-2mx-2m+5$ có trục đối xứng $x=\frac{2m}{2}=m$. Theo đề, trục đối xứng là $x=-5$ nên $m=-5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 4: -5).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$), cắt trục tung tại $(0;-2)$ và có đỉnh dưới trục hoành. Loại A, B vì $a=-1<0$. Xét C: $y=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$ có đỉnh $(1;1)$ và $y(0)=2>0$, không khớp. Xét D: $y=x^2-2x-2=(x-1{)}^2-3$ có $a=1>0$, đỉnh $I(1;-3)$, $y(0)=-2$, cắt trục hoành tại $x=1\pm \sqrt{3}$ (một nghiệm âm, một nghiệm dương), khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là D, trùng với bảng đáp án mã đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có bậc hai với đỉnh $I(1;-4)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$, nên $c=-3$ và $f(1)=a+b+c=-4$.
- a) $f(1)=a+b+c=-4$ (đỉnh có tung độ $-4$) → Đúng.
- b) $c=-3<0$ → Sai.
- c) Vì $a>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên khẳng định nghịch biến trên $(1;+\infty )$ là Sai.
- d) Parabol có nhánh hướng lên nên $a>0$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là $I(1;-4)$ nên $f(1)=a+b+c=-4$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-3)$ nên $c=-3<0$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$, hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ (đồng thời nghịch biến trên $(-\infty ;1)$). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có nhánh hướng lên nên $a>0$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol $y=x^2-2mx-2m+5$ có trục đối xứng là $x=\frac{2m}{2}=m$. Theo đề, trục đối xứng là $x=-5$, nên $m=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101: $-5$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên nên $a>0$, loại A, B. Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ $-2$ nên $c=-2$, loại C (vì $c=2$). Với $y=x^2-2x-2$: đỉnh $I(1;-3)$ nằm bên phải trục Oy và thấp hơn $-2$, cắt Oy tại $(0;-2)$, khớp với hình vẽ. Vậy đáp án D, trùng đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $I(-1;4)$, cắt trục hoành tại $x=-3$ và $x=1$, nên $f(x)=-(x+1{)}^2+4=-x^2-2x+3$.
a) $f(x)>0$ khi và chỉ khi đồ thị nằm trên trục hoành, tức $-3<x<1$. Đúng.
b) Trên khoảng $(-3;1)$ thì $f(x)>0$, nên khẳng định $f(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$ sai.
c) Đỉnh parabol có tung độ lớn nhất bằng 4 (parabol quay xuống), nên $f(x)\le 4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đúng.
d) Tam giác có một đỉnh là đỉnh parabol $I(-1;4)$, hai đỉnh còn lại là giao điểm với trục hoành $(-3;0)$ và $(1;0)$. Độ dài đáy $=1-(-3)=4$, chiều cao $=4$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nằm trên trục hoành chính xác trên khoảng $(-3;1)$, nên $f(x)>0\iff -3<x<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-3;1)$, đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)>0$, do đó khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $(-1;4)$ là điểm cao nhất nên $f(x)\le 4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đáy tam giác là đoạn từ $(-3;0)$ đến $(1;0)$ dài 4, đỉnh $(-1;4)$ cách trục hoành 4, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 3: parabola có bề lõm hướng xuống ($a<0$), đi qua điểm $(0;3)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$, đỉnh tại $x=1$ với tung độ 4. Xét $y=-x^2+2x+3$: có $a=-1<0$ (bề lõm xuống); $y(0)=3$; đỉnh $x=-\frac{2}{2(-1)}=1$, $y(1)=-1+2+3=4$; nghiệm $-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại B vì bề lõm hướng lên; loại C vì đỉnh tại $(0;3)$; loại D vì đỉnh tại $x=-1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung, tức $-\frac{b}{2a}<0$, mà $a>0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ (trên trục hoành) nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, khớp với đáp án A (theo bảng đáp án Mã đề 1103, Câu 15 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở trang 12: parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}<0$ (đỉnh nằm bên trái trục $Oy$), vì $a>0$ nên $-\frac{b}{2a}<0\Rightarrow b>0$ (cùng dấu với $a$). Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm phía trên gốc $O$ nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, chọn đáp án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 20: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đỉnh parabol nằm bên trái trục $Oy$, tức $-\frac{b}{2a}<0$, kết hợp $a>0$ suy ra $b>0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (phía trên gốc $O$) nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, tương ứng phương án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên $c=4$. Tung độ đỉnh là $y_{\text{đỉnh}}=c-\frac{b^2}{4a}=3$, suy ra $\frac{b^2}{4a}=4-3=1$, tức $b^2=4a$. Khi đó $T=-4a+b^2+c^2=-4a+4a+16=16$. Kết quả khớp với đáp số nguồn (Câu 2: 16).