Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=7$, nên $AC=\sqrt{7}$. Chu vi $=2+3+\sqrt{7}=5+\sqrt{7}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi $2p=12\Rightarrow p=6$. Diện tích $S=p\cdot r=6\cdot 1=6$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ là tam giác vuông tại $A$ (vì $3^2+4^2=5^2$). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$, nửa chu vi $p=\frac{3+4+5}{2}=6$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A với $AB=6\sqrt{2}$, $AC=3\sqrt{3}$. Theo định lí Pythagore: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{72+27}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$. Đường cao ứng với cạnh huyền: $AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}}{3\sqrt{11}}=\frac{18\sqrt{6}}{3\sqrt{11}}=\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{6\sqrt{66}}{11}$. Vậy đáp án D. Các phương án A–D hiển thị ở đầu trang 67 khớp với đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-36}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\frac{\sqrt{224}}{15}=\frac{4\sqrt{14}}{15}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $A=B=C=60^{\circ }$. Theo công thức diện tích $S=\frac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$. Vì tam giác đều nên $\sin A=\sin B=\sin C$, do đó $S=2R^2{\sin }^{3}A$. Kiểm tra: cạnh $a=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}$, diện tích $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$; còn $2R^2{\sin }^{3}60^{\circ }=2R^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ — khớp. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}$ với $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron, $p=\frac{a+b+c}{2}$). Vậy $r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: phương án B có mẫu $a+b+c=2p$ nên sai; C thiếu hệ số $p$ trong căn; D thừa hệ số 2.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{20+28+32}{2}=40$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-MN)(p-NP)(p-MP)}=\sqrt{40\cdot 20\cdot 12\cdot 8}=\sqrt{76800}=160\sqrt{3}\approx 277,1{\mathrm{m}}^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}=16^2+33^2-2\cdot 16\cdot 33\cdot \cos 45^{\circ }=1345-528\sqrt{2}\approx 598,28$, nên $BC\approx 24,46$ km.

a) Sai: công thức đúng có dấu trừ $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$, không phải dấu cộng.

b) Đúng: $B{C}^2\approx 598,28\Rightarrow BC\approx 24,46$ km.

c) Sai: diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \hat{A}$ (dùng sin, không phải cos).

d) Đúng: $S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 33\cdot \sin 45^{\circ }=264\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 186,68\approx 187$ km².
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$; đề viết dấu cộng nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=256+1089-1056\cos 45^{\circ }=1345-528\sqrt{2}\approx 598,28\Rightarrow BC\approx 24,46$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \hat{A}$, không phải $\cos \hat{A}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 33\cdot \sin 45^{\circ }=132\sqrt{2}\approx 186,68\approx 187$ km².

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 15·2 = 30 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 900 − 2·40·30·(1/2) = 1300. Suy ra BC = √1300 ≈ 36,06 ≈ 36 hải lí. Kết quả khớp với đáp số 36 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ nên $\hat{A}=180^{\circ }-88^{\circ }-85^{\circ }=7^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 85^{\circ }}{\sin 7^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9962}{0,1219}\approx 408,7$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $AB\approx 409$ m, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi 10 km về hướng đông rồi 10 km về hướng nam, hai đoạn vuông góc nhau. Quãng đường đi thẳng từ A tới B là độ dài đường chéo: $AB=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14,142$ km. Làm tròn đến hàng phần chục ta được 14,1 km. Kết quả trùng với đáp số nguồn: 14,1.

(AI giải đề cho tôi)
Hai tàu đi theo hai hướng vuông góc (Đông và Nam) nên tam giác TVuông tại T với hai cạnh S1, S2 và cạnh huyền 15 km. Theo định lý Pythagoras: S1² + S2² = 15² = 225. Thay vào: (2t² + 10t + 25) + (t + 5)² = 225 ⟹ 2t² + 10t + 25 + t² + 10t + 25 = 225 ⟹ 3t² + 20t − 175 = 0. Giải: Δ = 400 + 2100 = 2500, √Δ = 50, t = (−20 + 50)/6 = 5 (nhận, t > 0); nghiệm t = −35/3 loại. Vậy t = 5 giờ, khớp đáp án bảng (câu 20, mã đề 1001: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Khuôn viên là hình chữ nhật với đường chéo 25m và chu vi 70m. Gọi hai cạnh là $x$ và $y$. a) Vì $x$ là cạnh của hình chữ nhật có đường chéo 25m nên $0<x<25$: đúng. b) Theo định lý Pythagoras $x^2+y^2=25^2$ nên $y=\sqrt{25^2-x^2}$: đúng. c) Chu vi $2(x+y)=70$ nên $x+\sqrt{25^2-x^2}=35$, không phải $70$: sai. d) Với $x+y=35$ và $x^2+y^2=625$, ta có $xy=\frac{(x+y{)}^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{1225-625}{2}=300$, vậy diện tích $300m^2$: đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh $x$ của hình chữ nhật phải nhỏ hơn đường chéo 25m và dương, nên $0<x<25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Pythagoras: $x^2+y^2=25^2$, suy ra $y=\sqrt{25^2-x^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi là $2\left(x+\sqrt{25^2-x^2}\right)=70$, tức $x+\sqrt{25^2-x^2}=35$, không phải $70$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+y=35$ và $x^2+y^2=625$ suy ra $xy=\frac{1225-625}{2}=300$, vậy diện tích là $300m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 phút, quãng đường bay là $s=240\cdot \frac{1}{60}=4$ km. Góc cất cánh $\alpha$ thỏa $\sin \alpha =\frac{1,035}{4}=0,25875$, suy ra $\alpha =\arcsin (0,25875)\approx 15,0^{\circ }$. Vậy góc cất cánh là 15 độ, khớp với đáp án nguồn (15).

Áp dụng định lí sin, ta có $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}\Rightarrow BC=\frac{10\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{36+100-196}{120}=-\frac{1}{2}$, suy ra $A=120^{\circ }$ và $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$.
Đường cao từ $A$ xuống $BC$: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2\cdot 15\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{7}\approx 3,7$.
Vậy $AH\approx 3,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}BC\cdot BA\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 28\cdot \sin 48^{\circ }=112\sin 48^{\circ }\approx 112\cdot 0,74314\approx 83,23c{m}^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{36+100-196}{120}=\frac{-60}{120}=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Đường cao $AH=AB\cdot \sin A=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5,196\approx 5,2$. Vậy độ dài đường cao $AH\approx 5,2$.