Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3.1: a) Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$. b) Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=100+48=148$, nên $BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$. Nửa chu vi $p=\frac{6+8+2\sqrt{37}}{2}=7+\sqrt{37}$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}$. Nhân cả tử và mẫu với liên hợp $\sqrt{37}-7$ (chú ý $\sqrt{37}<7$ nên $\sqrt{37}-7<0$): $r=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{(7+\sqrt{37})(\sqrt{37}-7)}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})\approx \sqrt{3}\cdot 0,917\approx 1,59$. Kết luận: $S=12\sqrt{3}$, $BC=2\sqrt{37}$, $r=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})\approx 1,59$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3.2: Cho tam giác ABC với a=8, b=10, c=13.

a) Áp dụng định lí côsin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+100-169}{2\cdot 8\cdot 10}=\frac{-5}{160}=-\frac{1}{32}<0$. Vậy góc $C$ là góc tù, tức tam giác ABC có một góc tù.

b) Từ $\cos C=-\frac{1}{32}$ ta có $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{1024}}=\frac{\sqrt{1023}}{32}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}}=\frac{208}{\sqrt{1023}}=\frac{208\sqrt{1023}}{1023}\approx 6,50$.

c) Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}=\frac{5\sqrt{1023}}{8}\approx 19,97$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<A<\pi$ và $\cos A=\frac{3}{5}$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.

Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14.$$

Theo định lí cosin:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}.$$

Đường cao $h_a$: vì $S=\frac{1}{2}a{h}_a$ nên
$$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}.$$

Kết luận: $h_a=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ và $S=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $C=180^{\circ }-40^{\circ }-60^{\circ }=80^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $BC=\frac{5\cdot \sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,9848}\approx 3,2639\approx 3,26$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi: $p=\frac{6+7+5}{2}=9$ cm. Theo công thức Heron: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9\cdot 3\cdot 2\cdot 4}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\approx 14,70{\text{cm}}^2.$$ Vậy diện tích tam giác ABC là $S=6\sqrt{6}\approx 14,70{\text{cm}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A đúng vì công thức đường trung tuyến $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$. B sai vì định lí côsin đúng là $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (dấu trừ, không phải dấu cộng). C đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$. D đúng vì định lí sin $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=100-48=52$. Suy ra $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=9$, $BC=8$, $\hat{B}=60^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=9^2+8^2-2\cdot 9\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=81+64-144\cdot \frac{1}{2}=145-72=73.$$
Vậy $AC=\sqrt{73}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đường trung tuyến: $A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}=\frac{2\cdot 9^2+2\cdot 12^2-15^2}{4}=\frac{162+288-225}{4}=\frac{225}{4}$, nên $AM=7,5$ cm. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=400+144-240=304\Rightarrow BC=4\sqrt{19}$. a) Sai: công thức đúng cho $\cos \hat{C}=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}$; biểu thức đã cho $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$ chính là $\cos \hat{A}$. b) Đúng: $BC=\sqrt{304}=4\sqrt{19}$. c) Đúng: $\cos \hat{C}=\frac{144+304-400}{2\cdot 12\cdot 4\sqrt{19}}=\frac{1}{2\sqrt{19}}\approx 0,1147\Rightarrow \hat{C}\approx 83,4^{\circ }$. d) Sai: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{19}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{\frac{19}{3}}\approx 10,05\ne 4\sqrt{57}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức đã cho là công thức của $\cos \hat{A}$; công thức đúng cho góc C là $\cos \hat{C}=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=400+144-2\cdot 20\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=304\Rightarrow BC=4\sqrt{19}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \hat{C}=\frac{144+304-400}{96\sqrt{19}}=\frac{1}{2\sqrt{19}}\approx 0,1147\Rightarrow \hat{C}\approx 83,4^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{\frac{19}{3}}\approx 10,05$, không bằng $4\sqrt{57}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=64+25-40\sqrt{3}=89-40\sqrt{3}$. Vậy $BC=\sqrt{89-40\sqrt{3}}\approx 4,44$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+49-81}{56}=\frac{-16}{56}=-\frac{2}{7}$. Suy ra $\sin B=\sqrt{1-\frac{4}{49}}=\frac{\sqrt{45}}{7}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}=6\sqrt{5}\approx 13,416\approx 13,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=8,5^2+11,5^2-2\cdot 8,5\cdot 11,5\cdot \cos 141^{\circ }\approx 72,25+132,25+151,93=356,43$, nên $BC\approx 18,88m$. Theo định lí sin: $R=\frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}=\frac{18,88}{2\sin 141^{\circ }}\approx \frac{18,88}{2\cdot 0,6293}\approx 15,0m$. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ xấp xỉ $15m$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$, nên $BC=7$. Độ dài trung tuyến: $AM=\frac{1}{2}\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{50+128-49}=\frac{\sqrt{129}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $AC=30\cdot 3=90km$, tàu thứ hai đi được $AB=40\cdot 3=120km$, và $\hat{A}=60^{\circ }$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=120^2+90^2-2\cdot 120\cdot 90\cdot \frac{1}{2}=14400+8100-10800=11700$. Suy ra $BC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}\approx 108,2km$. Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau $30\sqrt{13}km\approx 108,2km$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC với AC = 5 km, CB = 4 km, góc ACB = 60°: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=41-20=21$. Suy ra $AB=\sqrt{21}\approx 4,58\approx 4,6$ km. Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm A, B theo đường chim bay khoảng 4,6 km.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với AB = 15 m, BC = 18 m, góc ABC = 120°. Cần tính AC (độ dài dây điện từ nhà đến cột điện). Áp dụng định lí côsin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=15^2+18^2-2\cdot 15\cdot 18\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=225+324+270=819$. Suy ra $AC=\sqrt{819}\approx 28,\mathrm{618...}\approx 28,6$ m. Vậy độ dài dây điện cần mua khoảng $28,6$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $AB=2R\sin C\Rightarrow 6=2R\sin 30^{\circ }=2R\cdot \frac{1}{2}=R$. Vậy $R=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos C = 64 + 25 − 2·8·5·(1/2) = 49 ⇒ AB = 7. a) Sai vì AC = 5 (cạnh bằng 7 là AB). b) S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10 ⇒ Sai. c) R = AB/(2 sin C) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3 ⇒ Đúng. d) AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2 ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC = 5 (đề cho); cạnh tính được bằng định lí cosin là AB = 7, không phải AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AC·sin60° = ½·8·5·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = 7, R = AB/(2 sin C) = 7/(2·(√3/2)) = 7√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AH ⇒ AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2.