Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=-x$, đi qua điểm $(0;1)$. Xét các phương án: A có $y=\frac{-x(x-1)}{x-1}=-x$ với $x\ne 1$, không có tiệm cận đứng nên loại. B: $y=\frac{x^2-x+1}{-x+1}=-\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=-x-\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận đứng $x=1$ (bên phải $x=1$ hàm số âm vô cùng, bên trái dương vô cùng) và tiệm cận xiên $y=-x$; tại $x=0$ có $y=1$ khớp với đồ thị. C và D có mẫu $x+1$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: B).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$. Đồ thị hàm số $y=a+\frac{b}{x-c}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tâm đối xứng là $P(1;2)$, trùng với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị là hyperbol có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;2)$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án được xác nhận bởi bảng đáp án chính thức (trang 9): mã đề 1102, Câu 3 = A.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên loại B (đồ thị hàm đa thức, không có tiệm cận) và loại C (tiệm cận đứng $x=1$, không khớp hình vẽ).

Xét hai phương án còn lại: đồ thị đi qua điểm $(-2;3)$ (được đánh dấu bằng đường gián đoạn trên hình) — với $y=\frac{x-1}{x+1}$ thì $f(-2)=\frac{-3}{-1}=3$, khớp đúng; đồng thời đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ (nghiệm của $x-1=0$) và đi qua $(0;-1)$ — khớp với hình vẽ. Với $y=\frac{x-2}{x+1}$ thì $f(-2)=\frac{-4}{-1}=4\ne 3$ và đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$, không khớp hình vẽ.

Vậy đồ thị là của hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 5 là hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, có điểm cực đại tại $(2;4)$ và đi qua điểm $(1;2)$. Xét $y=-x^3+3x^2$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên tại $x=2$ có $y^{\prime \prime }=-6<0$, hàm đạt cực đại $y(2)=-8+12=4$; $y(1)=-1+3=2$; $y(0)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại: $y=x^3-3x^2$ có cực tiểu tại $(2;-4)$ (sai dấu); $y=-x^3-3x^2$ có cực trị tại $x=-2$ (sai vị trí); $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ (đồ thị không có). Kết luận (do AI suy luận từ đồ thị): chọn D. Lưu ý: bảng đáp án nguồn trang 9 chỉ có các mã đề 101–108 cho Phần I, không có hàng mã đề 1102, nên không có đáp án chính thức nguồn cho câu này.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{ax+b}{x-1}=a+\frac{a+b}{x-1}$. Từ đồ thị, tiệm cận ngang là $y=1$ nên $a=1>0$. Tiệm cận đứng là $x=1$ (phù hợp). Tại $x=0$, đồ thị đi qua điểm có tung độ âm (khoảng $-2$), mà $y(0)=\frac{b}{-1}=-b<0$ suy ra $b>0$. Vậy $a>0,b>0$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $1$ và cắt trục hoành tại $x=\frac{1}{2}$. Xét $y=\frac{2x-1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$; $y(0)=\frac{-1}{-1}=1$; $y=0\iff x=\frac{1}{2}$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. (A cho $y(0)=-1$, nghiệm $x=-\frac{1}{2}$; B có TCĐ $x=-1$; C là hàm bậc ba không có tiệm cận.) Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1. Tiệm cận ngang y=a/c=-1 ⇒ a=1. Đồ thị đi qua (0;-2) ⇒ f(0)=b=-2. Kiểm tra f(2)=(2-2)/(-2+1)=0 khớp đồ thị. Vậy a=1, b=-2, c=-1.
a) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(cx+1)²<0 với mọi x≠1 ⇒ đúng.
b) f'(x)<0 trên (-∞;1) và (1;+∞) ⇒ hàm nghịch biến trên từng khoảng ⇒ đúng.
c) TCĐ là x=1, TCN là y=-1; phát biểu đảo ngược (y=1 và x=-1) ⇒ sai.
d) a+b+c=1-2-1=-2≠2 ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(cx+1)²<0 với mọi x≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì f'(x)<0 trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là x=1 và TCN là y=-1, phát biểu viết sai (nhầm y=1 và x=-1).
d) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2≠2.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua điểm (0;2), có cực đại tại (-1;4) và cực tiểu tại (1;0). Xét $y=x^3-3x+2$: $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+2=4$ (cực đại vì $y^{\prime \prime }=-6<0$), $y(1)=1-3+2=0$ (cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=6>0$). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các hàm C, D cho giá trị khác (C: $y(-1)=-2$, D: $y(0)=-2$), hàm A là hàm bậc nhất phân số có tiệm cận, không phải đồ thị đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, và hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}=-2+\frac{3}{x+1}$: có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, và vì $3>0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có tiệm cận $x=1$, $y=2$; C có $y=2+\frac{-1}{x+1}$ đồng biến; D là hàm bậc hai trên bậc nhất với tiệm cận đứng $x=-1$ nhưng tiệm cận xiên, không phải ngang $y=-2$. Đáp án khớp với mã đề 1204, câu 11: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{12x+1}{x+5}=12-\frac{59}{x+5}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức $y=a+\frac{b}{x+c}$ là giao điểm hai tiệm cận $x=-5$, $y=12$, tức $I(-5;12)$. Suy ra $OI=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực đại $(0;3)$, điểm cực tiểu $(2;-1)$.
a) Sai. Giá trị cực tiểu bằng $-1$, không phải $2$ (2 là hoành độ điểm cực tiểu).
b) Đúng. Trên $(0;+\infty )$, hàm số giảm từ $3$ xuống $-1$ tại $x=2$ rồi tăng lên, nên giá trị nhỏ nhất bằng $-1$.
c) Đúng. Trên $(0;2)$ hàm số đi từ cực đại xuống cực tiểu nên nghịch biến.
d) Sai. Phương trình $f(x)=1$: đường thẳng $y=1$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình có 3 nghiệm, không phải 2 nghiệm. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $-1$ (tại điểm cực tiểu $(2;-1)$), không phải $2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, hàm giảm từ $3$ xuống $-1$ tại $x=2$ rồi tăng, nên giá trị nhỏ nhất bằng $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đi từ điểm cực đại $(0;3)$ xuống điểm cực tiểu $(2;-1)$ nên nghịch biến trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=1$ (với $-1<1<3$) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên $f(x)-1=0$ có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, hàm nghịch biến trên từng khoảng. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}$: TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên TCĐ $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{-2}{1}=-2$; $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng, khớp đồ thị. Đáp án A có TCĐ $x=1$; C có tiệm cận xiên; D có TCN $y=2$, đều loại. Khớp đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$. Trong các đáp án, hàm $y=\frac{x-2}{x+1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$), bậc tử = bậc mẫu nên TCN $y=1$, và $y=0\iff x=2$. Kiểm tra thêm: với $x=0$, $y=-2$ khớp với đồ thị cắt trục tung tại $-2$. Vậy đồ thị là của hàm số ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-3x-5}{x-3}=x-\frac{5}{x-3}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Ta có $y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$.

a) Trên $[-2;0]$ hàm số liên tục và $y^{\prime }>0$ nên đồng biến, do đó GTLN đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}$. Đúng.

b) Vì $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng nên hàm số không có cực trị, do đó không tồn tại đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Sai.

c) Hàm số không liên tục tại $x=3$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$ (chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$). Sai.

d) $y^{\prime }=0$ vô nghiệm nên hàm số không có điểm cực trị. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;0]$, $y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến; GTLN tại $x=0$ bằng $\frac{5}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số không có điểm cực trị, không có đường thẳng qua hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=3$, chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{5}{(x-3{)}^2}>0$ vô nghiệm nên hàm số không có điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c\cdot 1+1=0\Rightarrow c=-1$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$; đồ thị đi qua $(0;-1)$ nên $\frac{b}{1}=-1\Rightarrow b=-1$. Vậy $y=\frac{2x+1}{x-1}$.
a) Tại $x=9$: $y=\frac{19}{8}\ne 2$, nên $B(9;2)$ không thuộc đồ thị → Sai.
b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;2)$, không phải $(2;1)$ → Sai.
c) $b=-1$ → Đúng.
d) TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x+1}{x-1}$, tại $x=9$ ta có $y=\frac{19}{8}\ne 2$, nên $B(9;2)$ không thuộc đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, tức là $(1;2)$, không phải $(2;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ nên $y(0)=b=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (do $c=-1$), nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực đại tại $(1;1)$ và điểm cực tiểu tại $(-1;-3)$. Xét $y=-x^3+3x-1$: có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=-1+3-1=1$ (cực đại), $y(-1)=1-3-1=-3$ (cực tiểu), khớp với đồ thị. Các phương án còn lại cho giá trị cực trị khác (ví dụ B: $y(1)=-3$, $y(-1)=1$ ngược dấu; D: $y(1)=3$; C: $y(1)=-\frac{1}{3}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{4x+3}$ xác định khi $x\ne -\frac{3}{4}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-\frac{3}{4}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy tâm đối xứng là $I\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên từ trái sang phải (hệ số $a>0$), có cực đại bên trái trục tung và cực tiểu bên phải, đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Loại A vì đó là parabol. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y(-1)=3$ là cực đại tại $x<0$, $y(1)=-1$ là cực tiểu tại $x>0$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Với C, $y=-x^3+3x+1$ có $a<0$ nên đi xuống từ trái sang phải, cực đại ở $x=1>0$ (sai vị trí). Với D, $y=x^3-3x-1$ có $y(0)=-1<0$ (sai dấu giao điểm trục tung). Vậy đáp án là B.