Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh — khớp đồ thị. Với $y=\frac{x-3}{x-1}=1-\frac{2}{x-1}$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến), không khớp. Hàm bậc ba (A) và hàm có tiệm cận xiên (B) loại. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 2345: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đồng biến vô hạn khi x→+∞), có cực đại tại (-1;3) và cực tiểu tại (1;-1), cắt trục Oy tại điểm (0;1). Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án A, D có hệ số $a<0$ (đồ thị đi xuống), phương án C cho $y(0)=-1$ không khớp. Đáp án khớp với mã đề 121: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$). Ta có $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Ngoài ra $y(0)=\frac{1}{-1}=-1<0$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$. Đồ thị phù hợp là hình ở phương án A: hai nhánh nghịch biến, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Kết quả trùng đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 121: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+1$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0$ được $x=1$, khi đó $y=1-3+1-1=-2$. Vì $y^{\prime \prime }=6(x-1)$ đổi dấu khi qua $x=1$, điểm $(1;-2)$ là tâm đối xứng của đồ thị. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã 0101, Câu 12 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$. Với $x>1$: $y>0$ và nghịch biến; với $x<1$: $y<0$ và đồng biến. Đồ thị là hyperbol có hai nhánh: nhánh phải nằm phía trên tiệm cận ngang $y=-1$, nhánh trái nằm phía dưới, đúng như hình ở phương án A. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên ý d đúng.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-4}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ $\Rightarrow$ đúng.

b) $f(x)=6\iff x^2+x+4=6x+6\iff x^2-5x-2=0$, phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt (vì $\Delta =25+8=33>0$), không phải 4 nghiệm $\Rightarrow$ sai.

c) $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. $f(-3)=\frac{9-3+4}{-2}=-5$ (cực đại trên nhánh $x<-1$), $f(1)=\frac{6}{2}=3$ (cực tiểu trên nhánh $x>-1$). Trên $(-\infty ;-1)$: đồng biến rồi nghịch biến, giới hạn tại $-\infty$ và $-1^{-}$ đều là $-\infty$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, giới hạn tại $-1^{+}$ là $+\infty$. Bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn $\Rightarrow$ đúng.

d) Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ $\Rightarrow$ đúng.
a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$.
b) $f(x)=6\iff x^2-5x-2=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt ($\Delta =33>0$), không phải 4 nghiệm.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=-3$ (cực đại $y=-5$) và $x=1$ (cực tiểu $y=3$); các giới hạn và chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho.
d) Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=3$, hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh. Loại A (TCĐ $x=3$), loại C (TCĐ $x=-2$), loại B (hàm bậc hai trên bậc nhất, không phải hyperbol như hình). Với $y=\frac{3x-1}{x-2}$: TCĐ $x=2$, TCN $y=3$, $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh; $y(0)=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}>0$ khớp giao điểm với trục tung trên hình. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{1-2x}{x+1}=\frac{-2(x+1)+3}{x+1}=-2+\frac{3}{x+1}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, nên tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận: $I(-1;-2)$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án, mã đề 1102, câu 11: C).

TXĐ: $D=R\setminus \{-2\}$ — 0,125 điểm.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x+5}{(x+2{)}^2}$ — 0,25 điểm.
$y^{\prime }=\frac{-x^2-4x+5}{(x+2{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-5\end{array}\right]$ — 0,125 điểm.
Lập bảng biến thiên, xét dấu đúng — 0,25 điểm.
Kết luận đúng khoảng đơn điệu, cực đại, cực tiểu — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{1-x}$. Viết lại: $y=\frac{-3(1-x)+5}{1-x}=-3+\frac{5}{1-x}$. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=a+\frac{b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-3$. Vậy tâm đối xứng là điểm $P(1;-3)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: B).

TXĐ: $D=R\setminus \{2\}$ — 0,125 điểm.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$ — 0,25 điểm.
$y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$ — 0,125 điểm.
Lập bảng biến thiên, xét dấu đúng — 0,25 điểm.
Kết luận đúng khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 8): hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$. Nhánh phải ($x>-2$): hàm giảm từ $+\infty$ xuống giá trị nhỏ nhất $f(-1)=2$ rồi tăng dần lên $+\infty$. Nhánh trái ($x<-2$): hàm tăng lên giá trị lớn nhất $-2$ (đạt tại điểm có hoành độ khoảng $-3$, ứng với đường nét đứt $y=-2$) rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to (-2{)}^{-}$.
a) $\underset{(-2;+\infty )}{\min }f(x)=2$, $\underset{(-\infty ;-2)}{\max }f(x)=-2$, nên $2-(-2)=4$: ĐÚNG.
b) Trên $(-2;-1)$ nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về $2$, nên hàm nghịch biến: ĐÚNG.
c) Giá trị lớn nhất trên $(-\infty ;-2)$ bằng $-2$, không phải $2$: SAI.
d) Hàm số có cực tiểu tại $x=-1$ (nhánh phải) và cực đại tại $x\approx -3$ (nhánh trái), nên khẳng định 'không có cực trị' là SAI.
So sánh với bảng đáp án nguồn (mã đề 2025): 3a = D, 3b = D, 3c = S, 3d = S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) min trên (-2;+∞) bằng 2 (tại x=-1), max trên (-∞;-2) bằng -2, hiệu bằng 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên (-2;-1) đồ thị đi xuống từ +∞ về 2 nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giá trị lớn nhất trên (-∞;-2) bằng -2, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số có cực đại (x≈-3) và cực tiểu (x=-1) nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận xiên $y=x+2$; nhánh trái đạt điểm cao nhất $(-3;-2)$, nhánh phải đạt điểm thấp nhất $(-1;2)$. a) Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, GTLN của hàm số là $f(-3)=-2$, không phải $2$ → Sai. b) Trên khoảng $(-2;-1)$, đồ thị đi xuống từ $+\infty$ (khi $x\to -2^{+}$) đến $f(-1)=2$, hàm số nghịch biến → Đúng. c) ${\min }_{(-2;+\infty )}f(x)=f(-1)=2$, ${\max }_{(-\infty ;-2)}f(x)=f(-3)=-2$, hiệu bằng $2-(-2)=4$ → Đúng. d) Hàm số có cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=-1$ nên có cực trị, khẳng định 'không có cực trị' → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1025: 3a S, 3b D, 3c D, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, GTLN của hàm số là $f(-3)=-2$, không phải $2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;-1)$ đồ thị đi xuống từ $+\infty$ đến $f(-1)=2$, hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{(-2;+\infty )}f(x)=2$, ${\max }_{(-\infty ;-2)}f(x)=-2$, hiệu bằng $2-(-2)=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=-1$, nên có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ (hoành độ gốc $x=0$, tung độ $y=d>0$), nên $d>0$. Vậy $a<0,d>0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (đề 1025, câu 6 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+2}$, $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ với $x\ne -2$. a) Tại $x=0$: $y=\frac{2}{2}=1\ne 2$, nên $(C)$ không đi qua $A(0;2)$ → Sai. b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (gián đoạn tại $x=-2$) → Sai. c) $y^{\prime }>0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị → Đúng. d) Tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$), giao điểm là $I(-2;3)$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 209: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$, $y=\frac{2}{2}=1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $A(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$, chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$, giao điểm là $I(-2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$), tiệm cận ngang $y=1$; nhánh trái (khi $x\to -1^{-}$) tiến lên $+\infty$ và nằm phía trên $y=1$; nhánh phải tiến từ $-\infty$ khi $x\to -1^{+}$, đi qua điểm $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: TXĐ $x\ne -1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCN $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên có TCĐ $x=-1$; $y=0\iff x=1$; $y(0)=-1$. Khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại B (hàm bậc ba không có tiệm cận), C (TCĐ $x=-3$), D (TCN $y=-1$, không khớp). Đáp án A, trùng với đáp án mã đề 209 trong hướng dẫn chấm (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
a) Với $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0+2}{0+2}=1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $A(0;2)$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$, nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$ nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ → Sai.
c) $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không đổi chiều biến thiên nên không có cực trị → Đúng.
d) Tiệm cận đứng $x=-2$; tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$); giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;3)$ → Đúng.
Kết quả S,S,Đ,Đ khớp đáp án mã đề 132 (SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0+2}{0+2}=1\ne 2$, nên $(C)$ không đi qua $A(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng xác định, nhưng hàm số gián đoạn tại $x=-2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ trên tập xác định, hàm số không đổi chiều biến thiên nên không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$; tiệm cận ngang $y=3$; giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ (trang 2) là hypebol có hai nhánh đồng biến, tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$; $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại B: tiệm cận đứng $x=-3$ và có tiệm cận xiên; loại C: hàm bậc ba không có tiệm cận; loại D: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$) và hàm nghịch biến. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 6: A).