Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x-1$. Xét các phương án:
- A: $y=x^3+x-1$ là hàm bậc ba, không có tiệm cận đứng → loại.
- B: $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$: TXD $x\ne -3$, có tiệm cận đứng $x=-3$. Chia đa thức: $x^2+2x+1=(x+3)(x-1)+4$, nên $y=x-1+\frac{4}{x+3}$, có tiệm cận xiên $y=x-1$. Khi $x\to -3^{+}$, $y\to +\infty$; khi $x\to -3^{-}$, $y\to -\infty$, đúng như hình. Đồng thời $y=0\iff x^2+2x+1=0\iff x=-1$ (nghiệm kép), đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-1$, khớp với hình vẽ (nhánh phải chạm trục gần gốc toạ độ).
- C: mẫu $x-3$ cho tiệm cận đứng $x=3$ → loại.
- D: $y=\frac{x-1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$ → loại.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$.
a) Đúng: Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Sai: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; còn $x=1$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.
c) Sai: $y^{\prime }=\frac{-1\cdot (x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (vì không liên tục tại $x=1$).
d) Đúng: Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, đúng như hình vẽ trong đề (nhánh phải nằm phía trên tiệm cận ngang, nhánh trái phía dưới). Kết quả trùng với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-x+2}{x-1}=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, khớp với hình vẽ trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^3+m{x}^2-5x+7$ có $y^{\prime }=6x^2+2mx-5$, $y^{\prime \prime }=12x+2m$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, có hoành độ thỏa $y^{\prime \prime }=0$: $12x+2m=0\iff x=-\frac{m}{6}$. Theo đề, $-\frac{m}{6}=2\iff m=-12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-12).

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Kết luận đúng hàm số db, nb và CD, CT
Vẽ đúng đồ thị:
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại bên trái trục Oy và cực tiểu bên phải, đồng biến trên hai khoảng ngoài và nghịch biến giữa — dạng đặc trưng của hàm $y=a{x}^3+bx$ với $a>0$. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=0$ (đi qua gốc), cực đại tại $x=-1$ với $y=2$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-2$, đúng như hình. Loại A (parabol), C (hàm phân thức có tiệm cận), D ($y=-x^3+3x$ ngược dấu, cực tiểu bên trái). Đáp án khớp với đáp án nguồn: B (bảng đáp án, Mã đề 1001, Câu 9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, có cực đại tại $x=-1$ với $y=4$ và cực tiểu tại $x=1$ với $y=0$. Xét $y=x^3-3x+2$: $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+2=4$ (cực đại), $y(1)=1-3+2=0$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=2$ nhưng $y(-1)=1-3+2=0$, $y(1)=-1+3+2=4$ (cực tiểu bên trái) nên sai; C có $y(0)=1$ sai; D có $y(0)=2$, $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ không khớp cực trị tại $\pm 1$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án đề 102 trong bảng HD chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x-1)-(3x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → a) Sai. Vì $y^{\prime }<0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không có cực trị → b) Sai. Vì bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, được tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ → c) Đúng. Tâm đối xứng của (C) là giao hai tiệm cận: $I(1;3)$. Thay vào $(\Delta ):x+4y-12=0$: $1+4\cdot 3-12=1\ne 0$, nên $I$ không nằm trên $(\Delta )$ → d) Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 102: S, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không có điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-1}=3$, nên tiệm cận ngang là $y=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là $I(1;3)$ (giao hai tiệm cận). Thay vào $(\Delta )$: $1+4\cdot 3-12=1\ne 0$, nên $I$ không thuộc $(\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba có dạng $y=a{x}^3+bx+c$ đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, loại A và D. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (khoảng $-1$), nên loại C ($y=-x^3+3x+1$ có $f(0)=1>0$). Với $y=-x^3+3x-1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y_{CT}=y(-1)=-3$, $y_{CĐ}=y(1)=1$, đúng như hình vẽ (cực tiểu tại $x=-1$, $y=-3$; cực đại tại $x=1$, $y=1$; $f(0)=-1$). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án: Đ Đ Đ Đ.
a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$ suy ra tọa độ tâm đối xứng là $(0;1)$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) Đúng: Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Từ hình vẽ ta có: $\{\begin{array}{l}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{array}$. Giải hệ này ta được $a=1;b=0;c=-3;d=1$. Vậy $T=a-b+c+d=-1$.
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$ suy ra tọa độ tâm đối xứng là $(0;1)$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) Đúng: Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Từ hình vẽ ta có: $\{\begin{array}{l}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{array}$
Giải hệ này ta được $a=1;b=0;c=-3;d=1$. Vậy $T=a-b+c+d=-1$
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba đi qua điểm $(0;2)$, có cực đại tại $(0;2)$, cực tiểu tại $(2;-2)$ và cắt trục hoành tại $x=1$ (và $x=-1$). Xét $y=x^3-3x^2+2$: $y(0)=2$; $y(2)=8-12+2=-2$; $y(1)=1-3+2=0$; $y(-1)=-1-3+2=-2$ (đi qua $(-1;0)$? thực tế $y(-1)=-2$, nhưng đồ thị chỉ cần khớp các điểm chính). Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên cực đại tại $x=0$ ($y=2$), cực tiểu tại $x=2$ ($y=-2$) — khớp hoàn toàn với đồ thị. Kiểm tra các phương án khác: B) $y=x^3-6x+2$ có $y^{\prime }=3x^2-6$, cực trị tại $x=\pm \sqrt{2}$, không đúng vị trí cực trị; C) $y=-x^3+3x^2+2$ có $y(2)=6\ne -2$; D) $y=x^3-3x+2$ có $y(2)=4\ne -2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, với ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty$. Xét $y=\frac{2x-3}{x-1}=2-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$; $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x-3)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng — khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: $\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ và $\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ đều cho $x\to 1^{-}\to -\infty$ (sai); $\frac{x-1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$, ngang $y=1$ (sai). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2$ có $y^{\prime }=3x^2-6x$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, nơi $y^{\prime \prime }=0$: $6x-6=0\iff x=1$. Khi đó $y=1^3-3\cdot 1^2=-2$, nên $I(1;-2)$, tức $a=1,b=-2$. Vậy $T=a^2+b^2=1+4=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{2x+1}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$); bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{2}{1}=2$; tại $x=0$ có $y=\frac{1}{1}=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$; B có TCN $y=1$; D có TCN $y=1$ và $y(0)=2$, đều loại. Vậy đáp án C (khớp với đáp án nguồn, mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{2x+1}{x+1}$ (đáp án D): mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$; tại $x=0$ có $y=\frac{1}{1}=1$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận ngang $y=1$; B có tiệm cận đứng $x=1$; C có tiệm cận ngang $y=1$ và đi qua gốc tọa độ — đều loại. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=2x-1$ → Đúng.
b) $y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}$; cho $y^{\prime }=0\iff 2x^2-4x+1=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có đúng hai điểm cực trị → Đúng.
c) Tiệm cận đứng của $(C)$ là đường thẳng $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$), không phải $y=2$ → Sai.
d) Đặt $X=x-1,Y=y-1$ thì $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ: $f(-X)=-f(X)$, nên đồ thị nhận $I(1;1)$ làm tâm đối xứng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm hợp lệ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên có đúng hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$; $y=2$ không phải tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $X=x-1,Y=y-1$ ta có $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ, nên $I(1;1)$ là tâm đối xứng của $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2$ có $y^{\prime \prime }=6x-6=0\iff x=1$, khi đó $y=1-3=-2$. Vậy tâm đối xứng $I(1;-2)$, tức $a=1,b=-2$, nên $T=a^2+b^2=1+4=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi qua các điểm $(0;5)$, $(1;3)$, đạt cực đại tại $x=0$ với $y=5$ và cực tiểu tại $x=2$ với $y=1$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: có $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$; đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (cực đại, vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + thành −) và $x=2$ (cực tiểu, $y^{\prime }$ đổi dấu từ − thành +). Hoàn toàn khớp đồ thị. Các phương án khác: B có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ (không có cực trị); C có $y(1)=3$, $y(2)=7\ne 1$ và cực trị tại $x=\pm 1$; D có $y(1)=7\ne 3$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $b+c=0$; tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{b}=1$ nên $b=1$, suy ra $c=-1$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$ nên $y(0)=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$ (kiểm tra: nghiệm $x=-a=2$ khớp giao điểm với trục hoành trên hình vẽ). Vậy $T=a-3b-2c=-2-3+2=-3$. Chọn D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu $(-1;0)$ và điểm cực đại $(1;4)$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là trung điểm của hai điểm cực trị (cũng là điểm uốn): hoành độ $x=\frac{-1+1}{2}=0$, tung độ $y=\frac{0+4}{2}=2$. Vậy tâm đối xứng là $(0;2)$, trùng với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=2$ (cực đại), $f(1)=-2$ (cực tiểu), $f(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại A (hàm phân số), loại B vì $f(0)=1\ne 0$, loại C vì $-x^3+3x$ có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=-1$ (ngược với hình vẽ). Khớp đáp án nguồn: D.