Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến: đúng.
b) Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$: đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f(0)=4$, $f(2)=8-12+4=0$. Hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$: sai.
d) $f(x)=x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$ nên với $x\ne -1,2$: $y=\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{9}\ne \infty$ nên không phải tiệm cận đứng. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{1}{(x-2{)}^2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2(x+1)$ nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ với $x\ne -1,2$. Tại $x=-1$ giới hạn bằng $\frac{1}{9}\ne \infty$ (không phải tiệm cận đứng); tại $x=2$ giới hạn bằng $+\infty$ (tiệm cận đứng). Vậy chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên loại B (tiệm cận đứng $x=-2$). Xét C: $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$, có tiệm cận xiên $y=x+1$ (khớp đường đứt nét trên hình). $y(0)=\frac{1}{2}>0$; nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618<2$ khớp giao điểm bên trái tiệm cận đứng. $y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$: cực đại tại $x=1$ với $y=1$ (khớp đỉnh gần điểm $(1;1)$ trên hình), cực tiểu tại $x=3$ với $y=5>0$ (nhánh phải có đáy thấp rồi tăng dần, tiệm cận xiên phía trên). A cho $y=-x-1-\frac{3}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ không khớp; D cho $y=x+\frac{3}{x-2}$, $y(0)=\frac{3}{2}$, cực trị tại $x=1$ với $y=-2<0$ không khớp hình. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2+4x+7}{x+1}=x+3+\frac{4}{x+1}$ (tính chia đa thức). TXĐ: $x\ne -1$.

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Trên nhánh $x>-1$, $f$ đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1+4+7}{2}=6\ne -2$ (trên nhánh $x<-1$, $f(-3)=2$ là cực đại). Vậy giá trị cực tiểu là $6$, mệnh đề Sai.

b) Tiếp tuyến song song với $3x+y-6=0$ có hệ số góc $-3$: $1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=-3\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
- Tại $x=0$: $f(0)=7$, tiếp tuyến $y=-3x+7$; tại $x=-\frac{3}{2}$ cho $y=11.5\ne \frac{3}{2}$.
- Tại $x=-2$: $f(-2)=\frac{4-8+7}{-1}=-3$, tiếp tuyến $y=-3-3(x+2)=-3x-9$; tại $x=-\frac{3}{2}$ cho $y=-\frac{9}{2}\ne \frac{3}{2}$.
Hơn nữa $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ không thuộc đồ thị vì $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{13}{2}$. Vậy mệnh đề Sai.

c) $f^{\prime }(x)<0\iff (x+1{)}^2<4\iff -3<x<1,x\ne -1$. Vậy hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-3;-1)$ và $(-1;1)$. Mệnh đề Đúng.

d) $x=-1$ là tiệm cận đứng (sample điểm $f\to \pm \infty$); từ $f(x)=x+3+\frac{4}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$, $\frac{4}{x+1}\to 0$ nên tiệm cận xiên $y=x+3$. Mệnh đề Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu tại $x=1$ có giá trị $f(1)=6\ne -2$ (cực đại tại $x=-3$ là $f(-3)=2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến hệ số góc $-3$ tại $x=0$: $y=-3x+7$; tại $x=-2$: $y=-3x-9$; không tiếp tuyến nào đi qua $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, và $B$ không thuộc đồ thị vì $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{13}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}<0$ khi $-3<x<1$, $x\ne -1$, tức nghịch biến trên từng khoảng $(-3;-1)$ và $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$; do $f(x)=x+3+\frac{4}{x+1}$ nên TCX $y=x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Hàm số có hai cực trị, cả hai đều nằm bên phải trục tung (hoành độ dương). y' = 3ax^2+2bx+c có hai nghiệm phân biệt dương nên tổng hai nghiệm $-\frac{2b}{3a}>0$ và tích $\frac{c}{3a}>0$. Vì $a<0$: từ $\frac{c}{3a}>0$ suy ra $c<0$; từ $-\frac{2b}{3a}>0$ suy ra $\frac{b}{a}<0$ nên $b>0$. Vậy các hệ số dương là $b$ và $d$: có 2 hệ số dương, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ (loại A, C vì mẫu là $x-2$), đạt cực đại tại $x=-3$ với $f(-3)=-2$ và cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=2$. Xét $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ (đáp án D): $f(-3)=\frac{9-12+5}{-1}=-2$ ✓; $f(-1)=\frac{1-4+5}{1}=2$ ✓. Có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, nên $f^{\prime }=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$, $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$, $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<-2$ hoặc $-2<x<-1$: đúng như bảng biến thiên. Khi $x\to (-2{)}^{-}$ thì $f\to -\infty$, khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f\to +\infty$: khớp bảng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại tại $x=0$ với $f(0)=2$, cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-2$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$. Suy ra $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$ (nghiệm thứ ba $x=1$ vì tổng nghiệm bằng $3$ do tổng hai điểm cực trị bằng $2$). Với $f(0)=2$ ta được $a=\frac{2}{3}$, tức $f(x)=\frac{2}{3}(x^3-3x^2-x+3)$. Kiểm tra: $f(2)=\frac{2}{3}(8-12-2+3)=-2$ đúng.
a) Sai: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$), còn $x=2$ là điểm cực tiểu.
b) Đúng: phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên là $m\in \{-1;0;1\}$, tức 3 giá trị.
c) Sai: hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-2;2)$.
d) Sai: đặt $t=2\sin x+1\in [-1;3]$. Trên $[-1;3]$: $f(-1)=f(3)=0$, $f(0)=2$ (max), $f(2)=-2$ (min). Vậy $M=2$, $m=-2$, $M+m=0\ne 5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho cực đại tại $x=0$ với giá trị $2$; $x=2$ là điểm cực tiểu với giá trị $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên $m\in \{-1;0;1\}$: đúng 3 giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;2)$ nên không thể đồng biến trên toàn khoảng $(-2;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=2\sin x+1\in [-1;3]$, ta có $M=f(0)=2$, $m=f(2)=-2$, nên $M+m=0\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=1$ nên $mx+n=x+n=0$ tại $x=1$ ⇒ $n=-1$. $f(0)=\frac{c}{n}=1$ ⇒ $c=-1$. $f(-1)=\frac{a-b-1}{-2}=\frac{1}{2}$ ⇒ $a-b-1=-1$ ⇒ $a=b$. $f(2)=\frac{4a+2a-1}{2-1}=6a-1=5$ ⇒ $a=1$, $b=1$. Vậy $a+b-n=1+1-(-1)=3$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, ta có $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+n}$.
- Tiệm cận đứng $x=1$ suy ra $n=-1$, tức $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$.
- Cắt $Oy$ tại $A(0;1)$: $f(0)=\frac{c}{-1}=1\Rightarrow c=-1$.
- Qua $B\left(-1;\frac{1}{2}\right)$: $f(-1)=\frac{a-b-1}{-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a-b-1=-1\Rightarrow a=b$.
- Qua điểm cực trị $C(2;5)$: $f(2)=\frac{4a+2b-1}{1}=5\Rightarrow 6a-1=5\Rightarrow a=1$, suy ra $b=1$.
Kiểm tra điều kiện cực trị: với $a=b=1,c=-1$ ta có $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$ và
$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}.$$
Khi đó $f^{\prime }(2)=\frac{4-4}{1}=0$ và $f(2)=5$, nên $C(2;5)$ đúng là điểm cực trị; mọi dữ kiện đều thỏa mãn.
Vậy $a+b-n=1+1-(-1)=3$, khớp đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 4: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại (0;1), cực tiểu (2;-3) ⇒ d=1, f'(0)=c=0, f'(2)=12a+4b=0 ⇒ b=-3a; f(2)=8a+4b+d=-4a+1=-3 ⇒ a=1, b=-3. Vậy f(x)=x³-3x²+1.
a) a=1, b=-3, c=0, d=1: chỉ có 2 số dương (a, d) ⇒ sai.
b) a+b+c+d=1-3+0+1=-1 ⇒ đúng.
c) y=f(f(x)-2): y'=f'(f(x)-2)·f'(x)=0 khi x=0, x=2 (khi đó f'(f(x)-2)≠0 vì f(0)-2=-1, f(2)-2=-5 đều khác 0; 2) hoặc f(x)-2∈{0;2} tức f(x)=2 hoặc f(x)=4. Vì max f=1<2 nên mỗi phương trình có đúng 1 nghiệm đơn ⇒ tổng 4 điểm cực trị, không phải 5 ⇒ sai.
d) TCĐ khi f²(x)-f(x)=0 (f(x)=0 hoặc f(x)=1), tử khác 0, trong miền x≤2. f(x)=0: x³-3x²+1=0 có 3 nghiệm ≈ -0,53; 0,65; 2,88, hai nghiệm đầu thuộc miền x<2. f(x)=1: x²(x-3)=0 ⇒ x=0 (nghiệm kép, tử √2≠0 nên vẫn là TCĐ) và x=3>2 loại. Tổng 3 TCĐ: x≈-0,53; x≈0,65; x=0 ⇒ đúng. Tại x=2 mẫu bằng f²(2)-f(2)=9+3=12≠0 nên không phát sinh TCĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-3, c=0, d=1 nên chỉ có 2 số dương (a, d).
b) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c+d=1+(-3)+0+1=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại x=0, x=2 và tại nghiệm đơn của f(x)=2, f(x)=4 (mỗi phương trình có 1 nghiệm vì max f=1<2): tổng 4 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong miền x≤2: f(x)=0 có 2 nghiệm (x≈-0,53; 0,65) và f(x)=1 có nghiệm x=0 (nghiệm kép vẫn cho TCĐ vì tử √2≠0), tổng 3 TCĐ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{5\}$.

a) Điểm cách đều hai trục có tọa độ $(x;y)$ với $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow 2x^2-5x+9=x^2-5x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 2x^2-5x+9=-x^2+5x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =100-108=-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không có điểm nào cách đều hai trục → SAI.

b) $y^{\prime }=\frac{(4x-5)(x-5)-(2x^2-5x+9)}{(x-5{)}^2}=\frac{4x^2-25x+25-2x^2+5x-9}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x^2-10x+8=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88$ và $x\approx 9,12$, đều ngoài khoảng $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Nhưng khoảng $(1;9)$ không nằm hoàn toàn trong tập xác định (chứa $x=5$), nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.

c) Vì ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=5$, không phải $y=5$ → SAI.

d) $f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.

Khớp với đáp án nguồn (mã 202, câu 15: S S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điểm cách đều hai trục: $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không tồn tại điểm nào cách đều hai trục → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88;9,12$, đều ngoài $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Tuy nhiên $(1;9)$ chứa $x=5$ không thuộc tập xác định, nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=5$ (do ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$), không phải $y=5$ → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.

a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.

b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.



c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M$ cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff x_0^2+9=0$ (vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.

d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.
a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.
b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x^2-5x+9{)}^{\prime }(x-5)-(2x^2-5x+9)(x-5{)}^{\prime }}{(x-5{)}^2}=\frac{(4x-5)(x-5)-\left(2x^2-5x+9\right)}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $f^{\prime }(x)=0\iff 2x^2-20x+16=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.
c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=x_0^2-5x_0\iff x_0^2+9=0$ (phương trình vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=-x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=-x_0^2+5x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (phương trình vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ với $x>0$ (mỗi đơn vị trục là $100m$).

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{12}{x^2}=0\Rightarrow x=2\sqrt{3}$, $f(2\sqrt{3})=10-4\sqrt{3}\approx 3,0718$. Đỉnh cao nhất là $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$. Khoảng cách $IC=\sqrt{(2\sqrt{3}-2{)}^2+(2-4\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4(\sqrt{3}-1{)}^2+4(1-2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{26,43}\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.

b) Với $x\ne 0$: $f(x)+f(-x)=\left(-x+10-\frac{12}{x}\right)+\left(x+10+\frac{12}{x}\right)=20$, nên đồ thị nhận điểm $M(0;10)$ làm tâm đối xứng. Đúng.

c) Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến điểm $(x;f(x))$ trên đường biên: $d^2(x)=(x-2{)}^2+{\left(2-x-\frac{12}{x}\right)}^2$. Khảo sát (đạo hàm, thử nghiệm) cho giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 3,13$ với $d\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.

d) Dây phao $AB\parallel Ox$ tại $y=t$: phương trình $-x+10-\frac{12}{x}=t\iff x^2-(10-t)x+12=0$ có hai nghiệm $x_B<x_A$, tích bằng 12, tổng $10-t$. Chiều dài $AB=x_A-x_B=\sqrt{(10-t{)}^2-48}$. Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến đường thẳng $y=t$ là $8-t$ (với $t<8$). Điều kiện $8-t=AB$: đặt $L=8-t$ thì $10-t=L+2$, nên $(L+2{)}^2-48=L^2\Rightarrow 4L-44=0\Rightarrow L=11$. Vậy $AB=11$, diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị diện tích $=605000m^2$. Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn (mã đề 611, Câu 2: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$, $IC\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)+f(-x)=20$ với mọi $x\ne 0$, tâm đối xứng $M(0;10)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến đường biên $\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $8-t=AB$ cho $L=11$, $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị $=605000m^2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{cx+b}$ có tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+b=0$ tại $x=2$, tức $2c+b=0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$ nên $\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$. Suy ra $2c-2=0\Rightarrow c=1$. Vậy $b=-2,c=1$, khớp với đáp án D (đúng như bảng đáp án mã đề 124).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định:

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=1$ hay $x=-\frac{d}{c}=1\iff c=-d$.

Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=-1$ hay $y=\frac{a}{c}=-1\iff c=-a$.

Giao điểm với trục hoành $(Ox)$: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$.

Thay $y=0$ vào ta có $ax+b=0\iff x=-\frac{b}{a}\iff -\frac{b}{a}=2\iff b=-2a$.

Giao điểm với trục tung $(Oy)$: Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$.

Thay $x=0$ vào phương trình ta có $y=\frac{b}{d}\iff \frac{b}{d}=-2\Rightarrow b=-2d$.

Từ đó ta suy ra $a,d$ cùng dấu và $b,c$ cùng dấu. Bên cạnh đó $a,d$ trái dấu $b,c$.

Từ đó suy ra trong bốn số $a,b,c,d$ luôn có hai số dương và hai số âm.

Ta có $y=f(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}$.

Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.

$f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-1\end{array}$

Bảng biến thiên



Từ bảng biến thiên suy ra:
a) SAI,
b) ĐÚNG,
c) ĐÚNG,
d) ĐÚNG.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(2;5)$ có pt là $y=f^{\prime }(2)(x-2)+5=-3x+11$.

Đường tiệm cận đứng $x=1$ cắt tiếp tuyến tại $A(1;8)$.

Đường tiệm cận xiên $y=x-1$ cắt tiếp tuyến tại $B(3;2)$.

Giao của hai đường tiệm cận $I(1;0)$.

$\overrightarrow{IA}=(0;8);\overrightarrow{IB}=(2;2)$.

Diện tích tam giác $IAB$ là $S_{IAB}=\frac{1}{2}\left|0.2-2.8\right|=8$.
a) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;3)$, nên khẳng định a) SAI.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x_1=3,x_2=-1$. Khi đó $x_1^2+x_2^2=9+1=10$. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Khẳng định c) ĐÚNG.
d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(2;5)$ có pt là $y=f^{\prime }(2)(x-2)+5=-3x+11$. Đường tiệm cận đứng $x=1$ cắt tiếp tuyến tại $A(1;8)$. Đường tiệm cận xiên $y=x-1$ cắt tiếp tuyến tại $B(3;2)$. Giao của hai đường tiệm cận $I(1;0)$. $\overrightarrow{IA}=(0;8);\overrightarrow{IB}=(2;2)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S_{IAB}=\frac{1}{2}\left|0.2-2.8\right|=8$. Khẳng định d) ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng x=2 nên d=-2. f(0)=2 nên c/(0-2)=2 => c=-4. f(4)=-6 nên (16a+4b-4)/(4-2)=-6 => 4a+b=-2. f'(x) có tử số (2ax+b)(x-2)-(ax^2+bx-4)=ax^2-4ax+(4-2b), có nghiệm x=0, x=4 nên 4-2b=0 => b=2, suy ra 4a=-4 => a=-1. Vậy f(x)=(-x^2+2x-4)/(x-2). a) Hai điểm cực trị (0;2) và (4;-6), đường thẳng qua chúng có hệ số góc (-6-2)/(4-0)=-2, phương trình y=-2x+2 tức 2x+y-2=0: ĐÚNG. b) Hàm chỉ có hai điểm cực trị x=0 (cực tiểu) và x=4 (cực đại); x=2 là tiệm cận đứng, không phải điểm cực trị: SAI. c) a+b+c+d=-1+2-4-2=-5: ĐÚNG. d) Hàm đồng biến trên (0;2) và (2;4) nhưng không liên tục tại x=2 (tiệm cận đứng), nên không đồng biến trên (1;3): SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (4;-6) nằm trên đường thẳng 2x+y-2=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị (x=0 và x=4); x=2 là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được a=-1, b=2, c=-4, d=-2 nên a+b+c+d=-5.
d) (AI giải đề cho tôi)
f' > 0 trên (0;2) và (2;4) nhưng f không liên tục tại x=2 nên không đồng biến trên (1;3).

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}=x-4+\frac{9}{x+1}$.
a) Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$ → Sai.
b) Tại $x=-1$ mẫu bằng 0 và tử khác 0, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng → Đúng.
c) $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-4$. $y(2)=1$, $y(-4)=-11$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $\frac{1-(-11)}{2-(-4)}=2$, phương trình $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$ → Sai.
d) $y^{\prime }<0$ khi $(x+1{)}^2<9$, tức $-4<x<-1$ hoặc $-1<x<2$ (loại $x=-1$) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$ và tử số khác 0 tại đó, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=-4$ và $x=2$ với $y(-4)=-11$, $y(2)=1$; đường thẳng qua hai điểm là $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}<0\iff -4<x<-1$ hoặc $-1<x<2$, nên hàm số nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;10)$, $B(10;0)$ (tiếp xúc trục $Ox$), $C(15;1)$. Với $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$:
- $f(0)=10\Rightarrow \frac{c}{d}=10\Rightarrow c=10d$.
- $f(10)=0\Rightarrow 100a+10b+c=0$.
- Tiếp xúc tại $B$: $f^{\prime }(10)=0$. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}$ và $f(10)=0$ nên $(20a+b)(10+d)=0\Rightarrow b=-20a$.
- Suy ra $100a-200a+c=0\Rightarrow c=100a\Rightarrow d=10a$.
- $f(15)=1$: $\frac{225a+15b+c}{15+d}=\frac{25a}{15+10a}=1\Rightarrow 25a=15+10a\Rightarrow a=1$.
Vậy $f(x)=\frac{(x-10{)}^2}{x+10}$. Khi cách vị trí ban đầu theo phương ngang 6 m: $f(6)=\frac{16}{16}=1$. Bạn Việt cách mặt đất 1 mét.