Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(x-3)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$ → Đúng. b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$ → Đúng. c) $f^{\prime }(x)=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ nhưng hàm số không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-4;2)$ → Sai. d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$; $f(-4)=-10$ là cực đại (nhánh $(-\infty ;-1)$), $f(2)=2$ là cực tiểu (nhánh $(-1;+\infty )$). Trên nhánh $(-\infty ;-1)$ hàm không có giá trị nhỏ nhất, trên nhánh $(-1;+\infty )$ giá trị nhỏ nhất bằng $2$, nên hàm số không có GTNN bằng $-10$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1203: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-3+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ nhưng hàm gián đoạn tại $x=-1$, nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-4;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(-4)=-10$ là cực đại trên nhánh $(-\infty ;-1)$; cực tiểu trên nhánh $(-1;+\infty )$ là $f(2)=2$. Hàm số không có GTNN bằng $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(x-3)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Đúng.
d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Trên khoảng $(-1;+\infty )$, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$: $f(2)=\frac{4-4+6}{3}=2$. Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, $x=-4$ là điểm cực đại với $f(-4)=\frac{16+8+6}{-3}=-10$. Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ (không phải $-10$; $-10$ là giá trị lớn nhất trên nhánh trái). Sai.
c) Trên khoảng $(-4;2)$ có điểm gián đoạn $x=-1$; hơn nữa $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, nên hàm số không nghịch biến trên $(-4;2)$. Sai.
Đối chiếu bảng đáp án mã đề 1201, Phần II câu 3: DSSD — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-3+\frac{9}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $f(2)=2$; $f(-4)=-10$ là giá trị lớn nhất trên nhánh $(-\infty ;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=-1\in (-4;2)$ và đồng biến trên $(-1;2)$ vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (-1;2)$, nên không nghịch biến trên $(-4;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.

Đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Đề 2): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(0)=1\Rightarrow d=1$; điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu nên $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Đồ thị đi qua $(-2;1)$ (dấu gạch ngang chỉ trên hình) và đi qua điểm $(-1;2)$ (hai đường đứt nét chỉ tới điểm có hoành độ $-1$, tung độ $2$ trên đường cong — đây là điểm thuộc đồ thị, không phải điểm cực đại). Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+1$: $f(-2)=1\Rightarrow -8a+4b=0\Rightarrow b=2a$; $f(-1)=2\Rightarrow -a+b=1\Rightarrow a=1,b=2$. Vậy $f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=3x(x+\frac{4}{3})$, nên điểm cực đại thực sự của hàm số là $x=-\frac{4}{3}$ (giá trị $\approx 2,19$), điểm cực tiểu $x=0$. a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ (không phải $x=1$) → Sai. b) $f(0)=1$ nên đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$ → Đúng. c) Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-\frac{4}{3})$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-\frac{4}{3};0)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$ → Sai. d) $2a+3b+c=2+6+0=8\ne 9$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu của đồ thị là $(0;1)$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$ nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x+\frac{4}{3})$ đổi dấu tại $x=-\frac{4}{3}$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$ ta có $2a+3b+c=8\ne 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=2$, hai điểm này đều là điểm cực trị (đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có 2 cực trị) → Đúng. b) $y^{\prime }<0\iff (x+1{)}^2<9\iff -4<x<2$, nên hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ → Đúng. c) Vì $y=x-2+\frac{9}{x+1}$ với $\frac{9}{x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x-2$ → Đúng. d) Trên $(-\infty ;-1)$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;-4)$, nghịch biến trên $(-4;-1)$, nên GTLN đạt tại $x=-4$: $y(-4)=\frac{16+4+7}{3}=9$. GTLN bằng 9, không phải 3 → Sai. Kết quả ĐĐĐS khớp đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Phần II Câu 2, ĐỀ 2: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\iff x=\pm 2$, hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$, do đó nghịch biến trên $(-4;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $y(-4)=9$, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $d=1$. Phép chia đa thức cho $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$: $y=ax+(b-a)+\frac{c-b+a}{x+1}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-a)$. Đồ thị có cực tiểu tại $(-2;4)$: $y^{\prime }=a-\frac{c-b+a}{(x+1{)}^2}=0$ tại $x=-2$ cho $c-b+a=a$, tức $b=c$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $c=0$, suy ra $b=0$. Khi đó $y(-2)=\frac{4a}{-1}=-4a=4\Rightarrow a=-1$. Vậy $a=-1,b=0,c=0,d=1$, do đó $a+b+c+d=0$. Kiểm tra: tiệm cận xiên $y=-x+1$, hàm số $y=\frac{-x^2}{x+1}$ có cực tiểu $(-2;4)$ và đi qua $O$, khớp hình vẽ; kết quả trùng đáp án nguồn là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, nhánh phải đạt cực tiểu bằng 2 tại $x=0$. Xét phương án A: $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; tại $x=0$ hàm đạt cực tiểu $y=2$, tại $x=-2$ hàm đạt cực đại $y=-3$, khớp với đồ thị. Các phương án B, C, D có tiệm cận đứng hoặc tiệm cận xiên khác ($x=2$ cho C, D) nên loại. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1020, câu 7: A).

a) Đúng: đồ thị đi qua $(0;1)$ nên $d=1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$.
b) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
c) Sai: trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến.
d) Đúng: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$; cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$; đồ thị qua $(0;1)$ nên $d=1$; đồ thị qua $(-1;2),(-2;1)$ nên $-a+b+1=2$ và $-8a+4b+1=1$, suy ra $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}$. Vậy $a=1,b=2,c=0,d=1$: có ba số dương.
a) Đúng. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ nên $d=1$, tức đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại điểm có tọa độ $(0;1)$.
b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
c) Sai. Trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến.
d) Đúng. Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ nên $d=1$. Đồ thị đi qua các điểm $(-1;2),(-2;1)$ nên $-a+b+1=2$ và $-8a+4b+1=1$. Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}-a+b=1\\ -8a+4b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}$. Vậy $a=1,b=2,c=0,d=1$. Trong 4 số $a,b,c,d$ có ba số dương.

Đáp án: 0. Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận đứng $x=-1$ suy ra $d=1$. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ suy ra $c=0$. Hàm số có dạng $y=\frac{a{x}^2+bx}{x+1}$ có đồ thị đi qua điểm $(-2;4)$ suy ra $4a-2b=-4$ (1). $$y^{\prime }=\frac{(2ax+b)(x+1)-\left(a{x}^2+bx\right)}{(x+1{)}^2}=\frac{a{x}^2+2ax+b}{(x+1{)}^2}$$ đồ thị hàm số có điểm cực đại $O(0;0)$. Suy ra phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm $x=0$ suy ra $b=0$ (2). Thay (2) vào (1) ta được $a=-1$. Hàm số $y=\frac{-x^2}{x+1}$. Do đó $a+b+c+d=-1+0+0+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số cắt Ox tại ba điểm $x=-1,x=1,x=3$, có $f(0)=-2$ và điểm cao nhất (cực đại) tại $x=2$ với $f(2)=2$. Vậy $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$. Với $f(0)=-2$: $a(1)(-1)(-3)=3a=-2\Rightarrow a=-\frac{2}{3}$. Suy ra $f(x)=-\frac{2}{3}(x^3-3x^2-x+3)=-\frac{2}{3}{x}^3+2x^2+\frac{2}{3}x-2$, tức $a=-\frac{2}{3},b=2,c=\frac{2}{3},d=-2$.

a) $f^{\prime }(x)=-2x^2+4x+\frac{2}{3}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vì $a<0$, hàm đạt cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15\ne 1$ (trên đồ thị điểm cực đại rõ ràng ở $x=2$). → Sai.

b) Đồ thị cắt Ox tại $x=1$ (thay $x=1$: $f(1)=0$), tọa độ $(1;0)$. → Đúng.

c) Hàm đồng biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, không đồng biến trên toàn $(0;3)$ (trên $(2,15;3)$ hàm nghịch biến). → Sai.

d) $3a+2b+d=3\left(-\frac{2}{3}\right)+2(2)+(-2)=-2+4-2=0\ne 7$. → Sai.

Kết quả S-Đ-S-S khớp với đáp án chính thức mã 201 (SDSS). Lưu ý: nhận xét trong dữ liệu lỗi (dùng các điểm $f(1)=-2,f(3)=0$) là sai vì theo đồ thị $f(1)=0$ (đồ thị cắt Ox tại $x=1$) và $f(3)=0$ là nghiệm thứ ba, không phải điểm với tung độ tự do; khi giải đúng hệ từ ba nghiệm $-1,1,3$ và $f(0)=-2$, không có mâu thuẫn với đáp án.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15$ (điểm cao nhất trên đồ thị ở $x=2$), không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt Ox tại $x=-1,x=1,x=3$; trong đó có điểm $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, nên không đồng biến trên toàn $(0;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-\frac{2}{3},b=2,d=-2$ thì $3a+2b+d=-2+4-2=0\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Điểm cực tiểu tại gốc $O(0;0)$ nên $d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Điểm cực đại tại $(-4;1)$ nên $f^{\prime }(-4)=0$: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx=3ax(x+4)\Rightarrow b=6a$. Kết hợp $f(-4)=1$: $a(-64)+6a(16)=32a=1\Rightarrow a=\frac{1}{32}$. Vậy $y=\frac{1}{32}(x^3+6x^2)$. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang $2,6$ dặm thì $x=-2,6$: $y=\frac{1}{32}\left((-2,6{)}^3+6\cdot (2,6{)}^2\right)=\frac{-17,576+40,56}{32}=\frac{22,984}{32}\approx 0,71825\approx 0,72$ dặm. Kết quả khớp đáp án nguồn 0,72.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Vì máy bay tiếp đất tại gốc tọa độ $O(0;0)$ là điểm cực tiểu nên $f(0)=0\Rightarrow d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$.
Điểm cực đại $(-4;1)$: $f(-4)=-64a+16b=1$ và $f^{\prime }(-4)=48a-8b=0\Rightarrow b=6a$. Suy ra $-64a+96a=32a=1\Rightarrow a=\frac{1}{32},b=\frac{3}{16}$.
Vậy $f(x)=\frac{x^3}{32}+\frac{3x^2}{16}$ với $x\in [-4;0]$.
Trong bài, "vị trí hạ cánh" là nơi máy bay tiếp đất, tức gốc tọa độ $O(0;0)$ (điểm cực tiểu). Máy bay đang hạ cánh di chuyển từ $x=-4$ về $x=0$, nên khi cách vị trí hạ cánh (gốc tọa độ) theo phương ngang $1,6$ dặm thì hoành độ của máy bay là $x=-1,6$.
Khi đó độ cao (khoảng cách tới mặt đất) là:
$f(-1,6)=\frac{(-1,6{)}^3}{32}+\frac{3\cdot (-1,6{)}^2}{16}=\frac{-4,096}{32}+\frac{3\cdot 2,56}{16}=-0,128+0,48=0,352$.
Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $0,35$ dặm, khớp với đáp án nguồn $0,35$ (bảng đáp án, Mã đề 101, Phần III, Câu 3).

Đáp án bảng mã đề 2101, câu 15: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (DDSD). Lưu ý: chữ "Đ." in sẵn sau mệnh đề b) trong bản gốc đề, có thể là đáp án bị in lẫn vào đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình 2: với $x>-1$ đồ thị trùng nhánh phải của $y=\frac{x+1}{x+2}$ (tiệm cận ngang $y=1$, tiệm cận đứng $x=-2$); với $x<-1$ đồ thị nằm dưới trục hoành, có tiệm cận ngang $y=-1$ và khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$. Kiểm tra $y=\frac{|x+1|}{x+2}$: khi $x\ge -1$ thì $y=\frac{x+1}{x+2}$ (giống hình 1); khi $x<-1$ thì $y=-\frac{x+1}{x+2}$, có tiệm cận ngang $y=-1$ và $x\to -2^{-}$ cho $y\to -\infty$, đúng như hình 2. Các phương án khác: A cho $y\ge 0$ mọi nơi (loại); C là hàm chẵn, đối xứng qua trục $Oy$ (loại); D với $x<-2$ thì $y=-\frac{x+1}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=-1$ nhưng khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to +\infty$, không khớp hình 2 (loại). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=\frac{2x^2+3x+10}{x+2}=2x-1+\frac{12}{x+2}$ (kiểm tra: $(x+2)(2x-1)+12=2x^2+3x+10$). Để $y$ nguyên với $x$ nguyên, $x\ne -2$, cần $(x+2)\mid 12$. Các ước của 12 là $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$, tức có 12 giá trị của $x+2$, ứng với 12 giá trị nguyên của $x$ (loại $x+2=0$ không là ước). Vậy có 12 điểm có tọa độ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$. Mệnh đề đưa ra $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ là sai.

b) Trên tập xác định, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng. Mệnh đề nói hàm tăng là sai.

c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$: đúng. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: đúng. Mệnh đề đúng.

d) Với $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên tập xác định, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên, nên loại A (TCĐ $x=-2$ nhưng là tiệm cận ngang $y=-2$, không có TCX), loại B (TCĐ $x=2$), loại C (TCĐ $x=-3$, tiệm cận ngang $y=1$). Xét D: $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}$, có TCĐ $x=-2$, TCX $y=2x+1$; $y^{\prime }=2-\frac{2}{(x+2{)}^2}=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; $y(-3)=-7$ (cực tiểu nhánh trái), $y(-1)=1$ (cực tiểu nhánh phải) — khớp hoàn toàn với đồ thị (các giá trị $1,-3,-7$ và đường tiệm cận xiên trên hình). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ có điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, do đó a) Sai. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, b) Đúng. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$; trên $(-1;3)$ (loại $x=1$) ta có $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm không liên tục tại $x=1$, nên không thể nói nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$, c) Sai. Tâm đối xứng của $(C)$ là giao của hai tiệm cận $x=1$ và $y=x-1$, tức $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$, d) Sai. Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) S, khớp đáp án mã đề 1201 (SDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có mẫu $x-1$ nên yêu cầu $x\ne 1$; tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(-1;3)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm số không xác định tại $x=1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của $(C)$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$, tức là $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: nhánh trái đi xuống và nhánh phải đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d>0$. Hàm số có cực đại tại $x_1<0$ và cực tiểu tại $x_2>0$, do đó $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, vì $a>0$ nên $c<0$. Tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (vì $a>0$) nên $b<0$. Vậy chỉ có $a$ và $d$ dương, tức có 2 số dương trong các số $a,b,c,d$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. a) $y^{\prime }=0$ khi $x=-4$ hoặc $x=2$; đổi dấu của $y^{\prime }$: dương khi $x<-4$, âm khi $-4<x<-1$, âm khi $-1<x<2$, dương khi $x>2$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-4$ → Đúng. b) Hàm có hai cực trị: cực đại $y_{CD}=y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11$, cực tiểu $y_{CT}=y(2)=\frac{4-6+5}{3}=1$. Vì $-11<1$ nên $y_{CD}<y_{CT}$ → Đúng. c) $x=-1$ làm mẫu bằng 0 và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ (tử tại $x=-1$ bằng $9\ne 0$), nên tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. d) Xét các điểm nguyên: $x=0\Rightarrow y=5$; $x=-4\Rightarrow y=-11$; $x=2\Rightarrow y=1$; $x=-2\Rightarrow y=\frac{4+6+5}{-1}=-15$; $x=-3\Rightarrow y=-\frac{23}{2}$; $x=1\Rightarrow \frac{3}{2}$; $x=3\Rightarrow \frac{5}{4}$; $x=-5\Rightarrow -\frac{45}{4}$; với $|x|\ge 6$ thì $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}=x-4+\frac{9}{x+1}$ không nguyên vì $0<|9/(x+1)|<1$ không nguyên. Vậy có 4 điểm nguyên: $(0;5),(-4;-11),(2;1),(-2;-15)$, không phải 3 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$ đổi dấu từ + sang − khi qua $x=-4$, nên hàm đạt cực đại tại $x=-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai cực trị: $y_{CD}=y(-4)=-11$, $y_{CT}=y(2)=1$, nên $y_{CD}<y_{CT}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tử số tại $x=-1$ bằng 9 khác 0 và mẫu triệt tiêu, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm nguyên trên đồ thị: $(0;5),(-4;-11),(2;1),(-2;-15)$ — có 4 điểm chứ không phải 3.