Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$; tại $x=2$ hàm số có tiệm cận đứng ($f(x)\to -\infty$ khi $x\to 2^{-}$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to 2^{+}$); $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=m$.
a) Đúng: Trên $(-5;0)\subset (-\infty ;0)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;0)$.
b) Sai: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $f(0)=5\ne 0$ (0 là hoành độ điểm cực đại, không phải giá trị cực đại).
c) Sai: Trên khoảng $(-\infty ;2)$, khi $x\to 2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$, do đó hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng này (không thể bằng 3).
d) Đúng: Đồ thị hàm số có dạng phân thức chứa căn thức bậc hai với mẫu có dạng $(x-2)\sqrt{x-2}$ (hoặc tương đương), cho phép có ba đường tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang $y=m$. Điều kiện để có ba tiệm cận đứng và tiệm cận ngang cho $m\in (0;5]$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $m\in \{1;2;3;4\}$ — đúng 4 giá trị nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-5;0)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ (vì $f^{\prime }(x)>0$ trên toàn $(-\infty ;0)$), nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại là $f(0)=5$, không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;2)$, khi $x\to 2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất bằng 3 trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có ba đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang $y=m$ khi $m\in (0;5]$; các giá trị nguyên là $m\in \{1;2;3;4\}$, tức 4 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ trong đề nên ý a) Sai.

b) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ và $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Tại $x=0$ đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=-2$). Ý b) Đúng.

c) Trên $(1;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên đạt giá trị nhỏ nhất $y=\frac{4-4+2}{1}=2$ tại $x=2$. Ý c) Đúng.

d) Bảng biến thiên: đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; cực đại $y=-2$ tại $x=0$, cực tiểu $y=2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$, khớp với bảng trong đề. Ý d) Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt giá trị nhỏ nhất $y=2$ tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bảng biến thiên với cực đại $-2$ tại $x=0$, cực tiểu $2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$ khớp với hàm số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 5: hàm bậc ba có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$. Với $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Từ $f^{\prime }(-1)=0$ và $f^{\prime }(1)=0$: $3a-2b+c=0$ và $3a+2b+c=0$ suy ra $b=0$, $c=-3a$. Từ $f(-1)=-a+3a+d=2a+d=3$ và $f(1)=a-3a+d=-2a+d=-1$, cộng hai phương trình được $2d=2\Rightarrow d=1$, suy ra $a=1$. Vậy $y=x^3-3x+1$ và $a+b+c+d=f(1)=1+0-3+1=-1$, khớp đáp án nguồn $-1$.

» Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
» $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Suy ra $y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$.
» $y^{\prime \prime }=-6x+6$. Suy ra $y^{\prime \prime }=0\iff x=1\Rightarrow y=-2$. Điểm uốn $I(1;-2)$
» Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.
Hàm số đạt giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$ tại $x_{CT}=0$
Hàm số đạt giá trị cực đại $y_{CD}=0$ tại $x_{CD}=2$
» Đồ thị đi qua điểm $A\left(-1;0\right),B\left(3;-4\right)$ và có tâm đối xứng là $I\left(1;-2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận xiên y=x+1, cực đại (-2;-2), cực tiểu (0;2). Suy ra f(x)=x+1+1/(x+1)=(x²+2x+2)/(x+1).
a) Đúng: TCX là y=x+1.
b) Sai: A(-2;-2), B(0;2), S=½|x_A y_B - x_B y_A|=½|(-2)(2)-0|=2≠8.
c) Đúng: tâm đối xứng (-1;0); hai tiệm cận có hệ số góc 1 và ∞ nên hai trục đối xứng là phân giác của góc giữa chúng, có hệ số góc tan(π/8)=√2−1 và tan(3π/8)=√2+1. Vậy d: y=(x+1)tan(3π/8) là một trục đối xứng.
d) Sai: f'(x)=1−1/(x+1)²<0 với mọi x∈(−2;0), x≠−1, nhưng đồ thị bị đứt tại x=−1 (tiệm cận đứng) nên hàm số không nghịch biến trên cả khoảng (−2;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên y=x+1 (đường thẳng đi qua (-1;0) và (0;1)).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là A(-2;-2), B(0;2). Diện tích tam giác OAB = ½|(-2)(2)-0·(-2)| = 2, không bằng 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận (-1;0). Hai trục đối xứng là phân giác góc giữa tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận xiên y=x+1, có hệ số góc tan(π/8)=√2−1 và tan(3π/8)=√2+1. Vậy y=(x+1)tan(3π/8) là một trục đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=1−1/(x+1)²<0 trên (−2;−1) và (−1;0), nhưng đồ thị có tiệm cận đứng x=−1 nên hàm số không nghịch biến trên toàn khoảng (−2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (nên mẫu là $x+2$), tiệm cận xiên là $y=x+2$, và nhánh phải có điểm cực tiểu $(-1;2)$, nhánh trái có điểm cực đại $(-3;-2)$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=-3$. Tại $x=-1$: $y=\frac{1-4+5}{1}=2$ (cực tiểu, đúng hình); tại $x=-3$: $y=\frac{9-12+5}{-1}=-2$ (cực đại, đúng hình). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 9: B).

a) Đ; b) S; c) S; d) S. a) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. d) Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=0$, do đó đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y=0$. Có tồn tại $x_1\in (-2;0)$ sao cho $f(x_1)=1$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$, suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f(x)-1}$ có 2 đường tiệm cận đứng là $x=x_1$, $x=0$. Do đó $a=2,b=1\Rightarrow a^2+b^2=5$ (khẳng định sai).
a) a) Đ. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
b) b) S.
c) c) S.
d) d) S. Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=0$. Do đó đồ thị hàm số có 1 đường TCN là $y=0$. Dựa vào bảng biến thiên là có tồn tại $x_1\in (-2;0)$ sao cho $f\left(x_1\right)=1$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$ $\Rightarrow \underset{x\to x_1^{+}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=+\infty ;\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=-\infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 đường TCD là $x=x_1,x=0$. Do đó $a=2,b=1\Rightarrow a^2+b^2=5$.

a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. b) Đúng: $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$, $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff 2x^2+12x+15=0$ có hai nghiệm phân biệt, tổng hoành độ cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$. c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang. d) Đúng: Đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$; $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Lưu ý: trang lời giải chi tiết (trang 12-13) in lại ý d) với giá trị $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và gán nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án chính thức (trang 11: Câu 2 mã 1701: d)Đ) và với đề bài (trang 4: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$). Vì khoảng cách thực tế là $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, theo phát biểu trong đề thì d) Đúng, phù hợp bảng đáp án.
a) a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.
b) b) Đúng: Ta có $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$. $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$. $$y^{\prime }=0\iff 2-\frac{3}{(x+3{)}^2}=0\iff \frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}=0\iff 2x^2+12x+15=0$$ có hai nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có hai cực trị có tổng hoành độ của cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$.
c) c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) d) Đúng: Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến $\Delta$ là $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. (Lời giải chi tiết nguồn ở trang 12-13 in lại ý d) với $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án trang 11 ghi d)Đ và với đề bài trang 4 ghi $\frac{2\sqrt{5}}{5}$; phát biểu trong đề được giữ nguyên và verdict Đúng khớp bảng đáp án.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$ (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ bằng 2; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$). Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$: có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, và $y^{\prime }=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-2$; B có $y(0)=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=-2$; C có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1114, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương nên $d>0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung (cùng dương), tức hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ cùng dương, nên tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}>0$ và tích nghiệm $=\frac{c}{3a}>0$. Vì $a<0$: từ tích nghiệm $>0$ suy ra $c<0$; từ tổng nghiệm $>0$ suy ra $-2b<0$ tức $b>0$. Vậy có đúng 2 số âm là $a$ và $c$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1114, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị có hai điểm cực trị (một điểm cực tiểu và một điểm cực đại đều nằm bên phải trục $Oy$, tức có hoành độ dương), nên phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương. Theo Vi-ét: tổng hai nghiệm $=-\frac{2b}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$; tích hai nghiệm $=\frac{c}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d=y(0)>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ có đúng 2 số dương là $b$ và $d$. Chọn D, khớp với đáp án nguồn 10.D.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x+3+\frac{4}{x-1}$, TXĐ: $x\ne 1$.
a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ (đạo hàm của $\frac{4}{x-1}$ là $-\frac{4}{(x-1{)}^2}$). Mệnh đề đúng.
b) $f(3)=3+3+\frac{4}{2}=8$. Mệnh đề đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2=4\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=1$ (không thuộc TXĐ), nên không thể nói hàm số nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$. Mệnh đề sai.
d) Trên $[-2;0]$: $f^{\prime }(x)>0$ trên $[-2;-1)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0]$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-1$: $f(-1)=-1+3+\frac{4}{-2}=2-2=0$. Mệnh đề đúng.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1010: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=3+3+\frac{4}{2}=8$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng không liên tục tại $x=1$, nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;0]$, hàm đồng biến trên $[-2;-1]$ và nghịch biến trên $[-1;0]$, GTLN $=f(-1)=-1+3-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$.
- TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+a}{bx+c}=\frac{1}{b}=1\Rightarrow b=1$.
- TCĐ: $bx+c=0\iff x=-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b=-1$.
- Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=2c=-2$. Kiểm tra: giao điểm với trục hoành $x=-a=2$ đúng như hình.
Vậy $T=a-3b-2c=-2-3(1)-2(-1)=-2-3+2=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$ (với $x\ne -2$), nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, tức $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$.

a) Trên khoảng $(-3;-1)$, $(x+1)(x+3)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$: hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đúng.

b) Tiệm xiên của $(C)$ là $y=x+2$, cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và cắt $Oy$ tại $(0;2)$, tạo tam giác vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông đều bằng $2$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Đúng.

c) Với $x$ nguyên, $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ nguyên khi $x+2=\pm 1$, tức $x=-1,y=2$ và $x=-3,y=-2$. Vậy $(C)$ chỉ có hai điểm có tọa độ nguyên: $(-1;2)$ và $(-3;-2)$. Đường thẳng cắt $(C)$ tại các điểm có tọa độ nguyên phải đi qua cả hai điểm này, cho đúng một đường thẳng $y=2x+4$ (kiểm tra: $2x+4=x+2+\frac{1}{x+2}\iff (x+2{)}^2=1\iff x=-1$ hoặc $x=-3$). Đúng.

d) Với $y=f(\sin x)$, ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x$. Vì $f^{\prime }(u)=\frac{(u+1)(u+3)}{(u+2{)}^2}\ge 0$ với $u\in [-1;1]$, $f^{\prime }(\sin x)=0$ chỉ khi $\sin x=-1$ (trường hợp $\sin x=-3$ vô nghiệm), và các điểm này đã nằm trong trường hợp $\cos x=0$. Vậy $y^{\prime }=0\iff \cos x=0$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm như vậy, và tại mỗi điểm $y^{\prime }$ đổi dấu (do $\cos x$ đổi dấu), nên hàm số có 20 điểm cực trị, không phải 10. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}<0$ trên $(-3;-1)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm xiên $y=x+2$ cắt hai trục tại $(-2;0)$ và $(0;2)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(C)$ chỉ có hai điểm nguyên $(-1;2)$ và $(-3;-2)$; đường thẳng qua cả hai điểm là $y=2x+4$, đúng 1 đường thẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x=0\iff \cos x=0$; trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm cực trị, không phải 10.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=-$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }=+$ trên $(-1;1)$, $y^{\prime }=-$ trên $(1;+\infty )$; các giá trị đặc biệt: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=142$, $f(-1)=8$, $f(1)=38$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=14$. a) Khi $x\to -\infty$, $y\to 142$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 14$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=142$ và $y=14$ → Đúng. b) Hàm giảm trên $(-\infty ;-1)$, tăng trên $(-1;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$, nên giá trị nhỏ nhất là $f(-1)=8$ → Đúng. c) Khoảng $(8;38)$ là khoảng của $y$, không phải của $x$; hàm số đồng biến trên $(-1;1)$, không thể nói đồng biến trên $(8;38)$ → Sai. d) Trên $\mathbb{R}$, hàm số không có giá trị lớn nhất vì khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142$ nhưng không đạt giá trị $142$ (và $f(1)=38<142$) → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=142$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=14$ nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang $y=142$ và $y=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$ nên GTNN là $f(-1)=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(8;38)$ là khoảng giá trị của $y$ chứ không phải của $x$; hàm số đồng biến trên $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142$ nhưng không đạt giá trị này, nên hàm số không có GTLN trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đạt cực đại $f(-1)=2$ và cực tiểu $f(1)=-2$; $y^{\prime }\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên $a>0$ (hai nhánh đi lên). Trong bốn đồ thị, chỉ đồ thị $I$ có điểm cực đại $(-1;2)$, điểm cực tiểu $(1;-2)$ và hai nhánh hướng lên. Đồ thị $II$ có cực đại $(-1;4)$, $III$ có $a<0$, $IV$ có cực đại $(1;2)$ — đều loại. Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, khớp với đáp án nguồn (11.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua các điểm $(-2;1)$, $(-1;2)$, $(0;1)$ và có điểm cực tiểu tại $x=0$ (suy ra $f^{\prime }(0)=0$).

- $f(0)=1\Rightarrow d=1$.
- $f^{\prime }(0)=c=0$.
- $f(-1)=2$: $-a+b+1=2\Rightarrow b=a+1$.
- $f(-2)=1$: $-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$.

Suy ra $a=1$, $b=2$, $c=0$, $d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f(-1)=-1+2+1=2$ ✓, $f(-2)=-8+8+1=1$ ✓, $f(0)=1$ ✓.

$f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, nên $f^{\prime }=0$ tại $x=-\frac{4}{3}$ và $x=0$. Vì $a=1>0$: hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,185$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$.

a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ là SAI (cực tiểu tại $x=0$; tại $x=-1$ hàm không đạt cực trị).

b) Trên $(-1;0)$: $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$ (vì $x<0$, $3x+4>0$), nên hàm nghịch biến → SAI.

c) Vì $1=f(0)<2<\frac{59}{27}=f\left(-\frac{4}{3}\right)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ vì $f(-1)=2$, và một nghiệm trong $(0;1)$). ĐÚNG.

d) $2a+3b+c=2(1)+3(2)+0=8$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-2)=1$, $f(-1)=2$, $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0$ (cực tiểu tại $x=0$). Giải hệ được $a=1,b=2,c=0,d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Khi đó $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=0\iff x=-\frac{4}{3}$ hoặc $x=0$; hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ và cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=-1$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3+2x^2+1$, trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$, nên hàm nghịch biến trong khoảng $(-1;0)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu $f(0)=1$, cực đại $f(-\frac{4}{3})=\frac{59}{27}\approx 2,185$. Vì $1<2<\frac{59}{27}$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt: một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ (vì $f(-1)=2$), và một nghiệm trong $(0;1)$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$: $2a+3b+c=2+6+0=8$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức trên trang 9 (bảng đáp án, Mã đề 132, câu 2a–2d) là: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
- a) Sai theo đáp án nguồn.
- b) Sai: đường thẳng qua hai điểm cực trị (0;2) và (2;-2) có hệ số góc (-2-2)/(2-0)=-2, phương trình y=-2x+2, không phải y=2x+1.
- c) Đúng theo đáp án nguồn.
- d) Sai theo đáp án nguồn.
Lưu ý: một số mệnh đề (a, c, d) khi suy luận trực tiếp từ hình vẽ (cực đại (0;2), cực tiểu (2;-2)) cho kết quả khác với bảng đáp án chính thức; đáp án nguồn được giữ nguyên theo đúng bản in.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (trang 9, bảng đáp án Mã đề 132, 2a) ghi S (Sai). Lưu ý: theo hình vẽ, cực đại tại (0;2) và cực tiểu tại (2;-2) gợi ý M+m=0, tuy nhiên đáp án nguồn ghi mệnh đề này là Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2b) ghi S (Sai). Đường thẳng qua hai điểm cực trị (0;2) và (2;-2) có phương trình y=-2x+2, không phải y=2x+1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2c) ghi D (Đúng). Lưu ý: nếu cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=2 thì hàm chỉ nghịch biến trên (0;2); đáp án nguồn xác nhận mệnh đề c là Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2d) ghi S (Sai). Lưu ý: với f(x)=x³-3x²+2 (a=1>0, b=-3<0, c=0, d=2>0) sẽ có đúng hai giá trị dương, tuy nhiên đáp án nguồn ghi mệnh đề này là Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$.

a) $y^{\prime }=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. $y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11$ (cực đại), $y(2)=\frac{4-6+5}{3}=1$ (cực tiểu). Đường thẳng qua $(-4;-11)$ và $(2;1)$: hệ số góc $\frac{1+11}{2+4}=2$, $y=2x-3$. Vậy khẳng định $y=2x+3$ là SAI.

b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$). SAI.

c) Phép chia: $x^2-3x+5=(x+1)(x-4)+9$, nên $y=x-4+\frac{9}{x+1}$. Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$. SAI.

d) $y^{\prime }<0\iff -4<x<2,x\ne -1$, tức hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $(-4;-11)$, điểm cực tiểu $(2;1)$, đường thẳng qua hai điểm là $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{9}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận ngang y=1, đồ thị đi qua (0;-1) nên a=-1. Khi đó f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1).
a) Đúng: Đồ thị y=1-2/(x+1) có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-1;1).
b) Sai: f'(x)=2/(x+1)^2>0 nên f đồng biến trên [0;3], max tại x=3: f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) Đúng: Điểm nguyên trên đồ thị: với x nguyên, y=1-2/(x+1) nguyên khi x+1∈{±1;±2}, tức x∈{0;-2;1;-3}, cho 4 điểm (0;-1),(1;0),(-2;3),(-3;2). Không có 3 điểm nào thẳng hàng (kiểm tra từng bộ ba), nên số đường thẳng qua 2 trong 4 điểm là C(4,2)=6.
d) Đúng: f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, hàm số không có cực trị. Khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với a=-1, f(x)=1-2/(x+1) có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=1, giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng I(-1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên [0;3] nên max f(x)=f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm nguyên: (0;-1),(1,0),(-2;3),(-3;2); không có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng là C(4,2)=6.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng và không có điểm cực trị.