Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Chọn A
2x + 3 3
Cho y = 0 $\iff$ = 0 $\iff$ 2x + 3 = 0 $\iff$ x = -
x+2 2
2x + 3 ( 3 )
Tọa độ giao điểm của thị hàm số y = với trục hoảnh là ( - ;0 ) .
x+2 ( 2 )

Chọn D.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, đi qua điểm cực đại $(1;1)$ và điểm cực tiểu $(3;5)$. Hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$ có $y(1)=1$ và $y(3)=5$, thỏa mãn (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

a) Đúng vì ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$. b) Sai vì hàm số gián đoạn tại $x=1\in (0;2)$. c) Sai vì $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0⟺x=0$ hoặc $x=2$; giá trị cực đại là $y(0)=-2$, còn $y(2)=2$ là giá trị cực tiểu. d) Đúng vì trên $(1;4]$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$ bằng $y(2)=2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

**Chọn B**

ax  b
Đường cong (nét đậm) trong hình vẽ là đồ thị hàm số y  và nghịch biến trên từng
cx  d
khoảng xác định.
3 3 3

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 4 (Phần II) có đáp án là: a:Đ, b:S, c:S, d:Đ.

- a) Đúng. $f^{\prime }(x)=\frac{3(4)-1(1)}{(x+4{)}^2}=\frac{11}{(x+4{)}^2}$.
- b) Sai. Với $x_1<-4$, giá trị $f(x_1)>3$, còn với $x_2>-4$ gần $-4$, $f(x_2)<3$, do đó mệnh đề $f(x_1)<f(x_2)$ không luôn đúng.
- c) Sai. Tiệm cận đứng là $x=-4$, tiệm cận ngang là $y=3$. Giao điểm là $(-4;3)$, không phải $(3;-4)$.
- d) Đúng. Hàm số đồng biến trên $[0;1]$ nên giá trị nhỏ nhất là $f(0)=\frac{1}{4}$.

Hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=2$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số là $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Ta có nhánh cuối đồ thị hướng lên trên nên loại đáp án A.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;2)$, $(0;-2)$, $(1;2)$ nên hàm số $y=x^3+3x^2-2$ thỏa mãn.

**a) Sai.** Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.

**b) Đúng.** Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=-1$, nên tâm đối xứng là điểm $I(-1;2)$.

**c) Đúng.** Giao điểm của $(C)$ với trục $Oy$ là $A(0;-1)$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $A$ là $k=y^{\prime }(0)=3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=3(x-0)-1=3x-1$.

**d) Sai.** Điểm $M\left(x_0;2-\frac{3}{x_0+1}\right)\in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x_0+1\in \{1;-1;3;-3\}$, suy ra có $4$ điểm có tọa độ nguyên.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II) có đáp án là: a:Đ, b:Đ, c:S, d:Đ.

- a) Đúng. Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x$.
- b) Đúng. $y^{\prime }=0\iff -3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Trên khoảng $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$.
- c) Sai. Các điểm cực trị của $(C)$ là $A(0;4)$ và $B(2;8)$.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $2x-y+4=0$, khác với $2x+y-4=0$.
- d) Đúng. Ta có $A(0;4)$, $B(2;8)$, $O(0;0)$.
Diện tích $\Delta AOB$ là $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|0\cdot 8-2\cdot 4|=4$.

- **a) Sai:** Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(-1;0)$ đồ thị đi lên từ $-\infty$ đến $0$ nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$.
- **b) Đúng:** Đồ thị có tiệm cận đứng là $x=-1\Rightarrow -\frac{n}{m}=-1\iff m=n$.
- **c) Đúng:** Giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$ là điểm $I(-1;2)$, đó là tâm đối xứng của đồ thị.
- **d) Đúng:** Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(-2;4)$ và $O(0;0)$, nên khoảng cách giữa chúng là $OA=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

- **a) Sai:** Ta có $y=-x+1-\frac{4}{x-1}\Rightarrow y^{\prime }=-1+\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{4-(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}$. Trên khoảng $(3;+\infty )$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- **b) Sai:** Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(-1;4)$ và $B(3;-4)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(3+1{)}^2+(-4-4{)}^2}=4\sqrt{5}\ne 2\sqrt{5}$.
- **c) Đúng:** Vì $y=-x+1-\frac{4}{x-1}$ nên đường tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=-x+1$.
- **d) Đúng:** Trên đoạn $[2;2026]$, hàm số đồng biến trên $[2;3]$ và nghịch biến trên $[3;2026]$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=3$ với $y(3)=-4$.

Từ đồ thị ta thấy ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ nên hệ số $a<0$, và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ($f(0)=1>0$) nên $f(x)=-x^3+3x+1$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime \prime }=-6x=0\iff x=0\Rightarrow y(0)=-2$. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $J(0;-2)$.

a) **Đúng**. Do ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đường cong $(C)$.
b) **Sai**. Ta có $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{-x^2+2x}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$.
c) **Sai**. Bảng biến thiên:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(2;-3)$ chứ không phải $N(2;3)$.
d) **Sai**. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=-x$ (nghịch biến) và ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, không trùng với đồ thị trong hình vẽ.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba với nhánh cuối đi lên ($a>0$), cắt trục tung tại $(0;1)$ và có hai điểm cực trị tại $x=-1,x=1$. Do đó đồ thị tương ứng với hàm số $y=x^3-3x+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;2)$. Thay $x=0$ vào các hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ (phương án A và D), chỉ có hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ thỏa mãn $y(0)=2$ (và đạt cực tiểu tại $(0;2)$, cực đại tại $(-2;-2)$). (Theo lời giải trang 10, mã đề 0101).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 Phần II có đáp án: a - Đúng, b - Đúng, c - Sai, d - Đúng (ĐĐSĐ).

- Ý a: Đúng, mẫu số $x-1\ne 0\iff x\ne 1$.
- Ý b: Đúng, $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(x-1)-(x^2+4x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.
- Ý c: Sai, trên $[2;3]$, $f^{\prime }(x)\le 0$ nên hàm số nghịch biến, do đó ${\min }_{[2;3]}f(x)=f(3)=\frac{3^2+4(3)-1}{3-1}=10\ne 7$.
- Ý d: Đúng, ta có $\frac{x^2+4x-1}{x-1}=x+5+\frac{4}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21):
- a) SAI: Đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=-3x^2+6x$, không phải $-3x^3+6x$.
- b) ĐÚNG: $y^{\prime }=-3x(x-2)>0⟺0<x<2$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
- c) SAI: Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;8)$. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=2x+4⟺2x-y+4=0$, không phải $2x+y-4=0$.
- d) ĐÚNG: Diện tích tam giác $OAB$ với $O(0;0),A(0;4),B(2;8)$ là $S=\frac{1}{2}OA\cdot |x_B|=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$.

- Ý a) Sai: Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Ý b) Đúng: Đường tiệm cận xiên trên đồ thị đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $y=x+2$.
- Ý c) Sai: Quan sát đồ thị trên đoạn $[-2;1]$, hàm số đồng biến và đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ với ${\max }_{[-2;1]}y=y(1)=4\ne 5$.
- Ý d) Đúng: Tiệm cận đứng là $x=2\Rightarrow d=2$. Vì tiệm cận xiên là $y=x+2$ nên $y=x+2+\frac{k}{x-2}$. Đồ thị đi qua $(1;4)\Rightarrow 4=3+\frac{k}{-1}\iff k=-1$.
Suy ra $y=x+2-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2-5}{x-2}\Rightarrow a=1,b=0,c=-5,d=2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+25+4=30$.