Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(1;2;2). Bán kính R = AB/2 = √(4+16+16)/2 = 6/2 = 3. Phương trình mặt cầu: (x-1)²+(y-2)²+(z-2)²=9. Khớp đáp án B (khớp bảng đáp án cột mã đề 1204, câu 10 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-c}$. Từ $-2ax=-2x\Rightarrow a=1$; $-2by=4y\Rightarrow b=-2$; $-2cz=-6z\Rightarrow c=3$. Vậy tâm $I(1;-2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9+2}=\sqrt{16}=4$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=AB=\sqrt{(0-2{)}^2+(1-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}$. Mặt cầu tâm $A(2;1;0)$: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=8$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z+3=0$ có tâm $I(1;1;-2)$ và $R^2=1^2+1^2+(-2{)}^2-3=1+1+4-3=3$, nên $R=\sqrt{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0$, ta có tâm $I(-1;2;-3)$ và $R^2=(-1{)}^2+2^2+(-3{)}^2-(-2)=1+4+9+2=16$, nên $R=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu thuộc trục $Ox$ nên có dạng $I(a;0;0)$. Vì cầu đi qua $A(3;1;0)$ và $B(5;5;0)$ nên $I{A}^2=I{B}^2$: $(3-a{)}^2+1^2=(5-a{)}^2+5^2\Rightarrow 9-6a+1=25-10a+25\Rightarrow 4a=40\Rightarrow a=10$. Bán kính bình phương $R^2=I{A}^2=(3-10{)}^2+1=50$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-10{)}^2+y^2+z^2=50$, tương ứng đáp án B. Kiểm tra: với $A$: $49+1=50$ đúng; với $B$: $25+25=50$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+5}{2}\right)=I(2;1;4)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(3-1{)}^2+(0-2{)}^2+(5-3{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+4+4}=\sqrt{3}$. Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2=3$, tức $x^2+y^2+z^2-4x-2y-8z+18=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu thuộc trục $Ox$ nên có dạng $I(a;0;0)$. Vì mặt cầu đi qua $A(3;1;0)$ và $B(5;5;0)$ nên $I{A}^2=I{B}^2$: $(3-a{)}^2+1^2=(5-a{)}^2+5^2$. Suy ra $9-6a+a^2+1=25-10a+a^2+25$, tức $10-6a=50-10a\Rightarrow 4a=40\Rightarrow a=10$. Bán kính $R^2=I{A}^2=(3-10{)}^2+1^2=49+1=50$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-10{)}^2+y^2+z^2=50$. Kiểm tra: $B(5;5;0)$: $(5-10{)}^2+25=50$ ✓. Các phương án khác sai: A có tâm không thuộc $Ox$; C có $R^2=5\sqrt{2}$ không phải bình phương bán kính; D có tâm $(4;3;0)$ không thuộc $Ox$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4z-4=0$. Hoàn thành bình phương: $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ và $z^2-4z=(z-2{)}^2-4$. Do đó $(S)$ trở thành $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2-1-4-4=0$, tức $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=9$. Vậy tâm $I(1;0;2)$ và bán kính $R=3$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình:
- A: $x^2+y^2+z^2-6x+2y+4z+14=0$ có $R^2=(-3{)}^2+1^2+2^2-14=14-14=0$, suy ra tập hợp điểm là một điểm (không phải mặt cầu).
- B: $(x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2+9=0$ vô nghiệm vì vế trái luôn $\ge 9>0$.
- C: $x^2+y^2+z^2-2x+8y-2z+20=0$ có $R^2=(-1{)}^2+4^2+(-1{)}^2-20=18-20=-2<0$, vô nghiệm.
- D: $x^2+y^2+z^2-10=0\iff x^2+y^2+z^2=10$ là mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=\sqrt{10}$.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+8z+m=0$ có dạng mặt cầu với tâm $I(-1;2;-4)$ và $R^2=(-1{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2-m=1+4+16-m=21-m$. Phương trình là mặt cầu khi và chỉ khi $R^2>0\iff 21-m>0\iff m<21$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung tâm mặt cầu là trung điểm MN: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{-1+1}{2};\frac{2+4}{2}\right)=I(2;0;3)$. Bán kính $R=\frac{MN}{2}$ với $MN=\sqrt{(3-1{)}^2+(1+1{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, nên $R=\sqrt{3}$, $R^2=3$. Phương trình mặt cầu: $(x-2{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=3$. Phương án C sai tâm, D sai bán kính ($12$ thay vì $3$). A và B trùng nội dung (lỗi trùng lặp trong tài liệu gốc), chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Người dùng không sử dụng được dịch vụ khi khoảng cách từ điểm đó đến $I(-6;-1;4)$ lớn hơn bán kính phủ sóng $2$ km. Tính khoảng cách: $IA=\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}<2$; $IB=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}<2$; $IC=\sqrt{0^2+3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}>2$; $ID=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}<2$. Vậy chỉ có điểm $C$ nằm ngoài vùng phủ sóng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu dạng x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 với điều kiện a²+b²+c²−d>0 (hệ số của x², y², z² bằng nhau và khác 0).
- A: x²+y²−z²−4x+2y+2z−3=0 có hệ số của z² là −1, khác hệ số của x², y², nên không phải mặt cầu.
- B: x²+2y²−z²−4x+2y+2z−10=0 có hệ số của y² là 2, không phải mặt cầu.
- C: x²+y²+z²−4x+2y+2z+3=0 có tâm I(2;−1;−1), R²=(−2)²+1²+1²−3=4+1+1−3=3>0, nên là mặt cầu bán kính R=√3.
- D: x²+y²+z²−4x+2y+2z+8=0 có R²=4+1+1−8=−2<0, không xác định mặt cầu.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 44: Cho A(1;1;2), B(3;1;0), mặt cầu đường kính AB. Tâm I là trung điểm AB: I(2;1;1). Bán kính R = ½·AB = ½·√((3−1)²+(1−1)²+(0−2)²) = ½·√8 = √2, nên R² = 2. Phương trình mặt cầu: (x−2)² + (y−1)² + (z−1)² = 2. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;0;−1) và A(2;2;−3). Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A. Bán kính R = IA = √((2−1)² + (2−0)² + (−3+1)²) = √(1+4+4) = 3. Phương trình mặt cầu: (x−1)² + y² + (z+1)² = 9. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$, ta có tâm $I(1;2;-1)$ và $R^2=1^2+2^2+(-1{)}^2+2=8$, suy ra $R=2\sqrt{2}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với điều kiện hệ số của $x^2,y^2,z^2$ bằng nhau và $R^2=a^2+b^2+c^2-d>0$. A, B có hệ số bậc hai không bằng nhau nên loại. Xét C: $x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z+3=0$ có tâm $I(2;-1;-1)$, $R^2=4+1+1-3=3>0$ nên là mặt cầu. Xét D: $R^2=4+1+1-8=-2<0$ nên không phải mặt cầu. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(2;1;1). Bán kính R = AB/2, với AB = √((3-1)²+0²+(0-2)²) = √8 = 2√2, nên R = √2, R² = 2. Phương trình mặt cầu: (x-2)² + (y-1)² + (z-1)² = 2. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(0;0;-3)$ tiếp xúc mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $R=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 0-(-3)+12|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{15}{3}=5$. Vậy $(S):x^2+y^2+(z+3{)}^2=25$. Chọn A.