Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-4=0$ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ABC$. Biết $AB=3,BC=4,CA=5$; tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến $(ABC)$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí $I(3;4;2)$. Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính $R=10\text{ m}$. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí $K(x-7;7;1)$. Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí $H(x+11;7;1)$. Tìm giá trị nguyên của $x$ sao cho cả hai vị trí $K$ và $H$ đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;0)$ và có đường kính bằng $8$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;2)$, $B(-3;0;2)$, mặt phẳng $(P):x-y+z-4=0$ và các đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$, ${\Delta }_3:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_4:\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=2-t\\ z=-3\end{array}$.

Một nghệ sĩ điêu khắc đang tạo ra một tác phẩm nghệ thuật bằng cách cắt các đĩa tròn từ một khối đá cẩm thạch lớn. Khối đá cẩm thạch này có hình dạng một khối cầu với phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4z-7=0$. Để tạo ra các đường cắt chính xác, nghệ sĩ sử dụng một máy cắt phẳng được điều khiển bằng một hệ thống đường ray có phương trình $(d):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$. Mỗi lần điều chỉnh độ nghiêng của máy cắt sẽ tạo ra các đĩa tròn có bán kính $r$ khác nhau. Biết rằng bán kính của các đĩa thay đổi từ $r_2$ (nhỏ nhất) đến $r_1$ (lớn nhất). Hỏi tỉ lệ $\frac{r_1}{r_2}$ giữa bán kính lớn nhất và nhỏ nhất của các đĩa kim loại là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt cầu: $(S):(x-6{)}^2+(y+7{)}^2+(z-8{)}^2=9^2$. Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Lấy $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $K=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-3;1;-4),B(1;-5;2)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình:

Tại buổi lễ Tri ân và Trưởng thành cho học sinh khối 12 của một trường THPT CVP. Kết thúc buổi lễ một học sinh đại diện cho các bạn khối 12 thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ m, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3$m, $4$m, $5$m và tạo thành tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ và có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị của $T=a+b+c$ là bao nhiêu?

Người ta cắt hai hình cầu có bán kính lần lượt là $R=13$ cm và $r=\sqrt{41}$ cm để làm hồ lô đựng rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính $r^{\prime }=5$ cm và nút đựng rượu là một hình trụ có bán kính đáy bằng $5$ cm, chiều cao bằng $4$ cm. Giả sử độ dày vỏ hồ lô không đáng kể. Hỏi hồ lô đựng được bao nhiêu lít rượu? (kết quả làm tròn đến phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4}$?

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là $17$ cm, $18$ cm, $21$ cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ $23$ cm đến $24,5$ cm? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3$ là

Một tòa nhà 6 tầng có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước chiều dài $35\text{ m}$, chiều rộng $15\text{ m}$, chiều cao $30\text{ m}$. Tất cả các tầng đều cao $5\text{ m}$ (đã tính độ dày sàn nhà của các tầng). Người ta định vị các vị trí trong tòa nhà dựa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới (mỗi đơn vị trên hệ trục tọa độ dài $1\text{ m}$). Tòa nhà có hai cột phát wifi: vị trí $A(0;7;15)$, vị trí $B(35;7;15)$. Mỗi wifi có thể phát sóng bán kính phạm vi $25\text{ m}$. Cho biết các nhân viên: chị Hương ở tầng 1 tọa độ $(17;0;1)$, chị Lan ở tầng 6 tọa độ $(0;15;26)$, anh Ninh ở tầng 6 tọa độ $(17;15;26)$. Mỗi nhân viên đều sử dụng thiết bị kết nối với wifi.

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D như hình vẽ bên. Cho biết phương trình bề mặt của lều là $(S):(x-5{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=36$, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là $(P):x=2$ và phương trình mặt phẳng chứa sàn lều là $(Q):z=0$. Gọi $r_1$ là bán kính của đường tròn cửa lều và $r_2$ là bán kính của đường tròn sàn lều. Tính giá trị biểu thức $r_1^2+r_2^2$ (kết quả được ghi dưới dạng số nguyên).

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt tại gốc toạ độ $O$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu không quá $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra-đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi điểm $E(a;b;c)$ là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b-c$.