Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(-4;5;2)$ và đường kính bằng $10$ có phương trình là:

Tại một công ty xăng dầu, người kĩ sư xây dựng cần thiết kế một bồn chứa xăng hình cầu (như hình vẽ). Trên bản thiết kế, trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, bồn chứa hình cầu $(S)$ có tâm $I(10;16;12)$, bán kính $R=\sqrt{101}$. Mặt đất chính là mặt phẳng $(Oxy)$. Từ điểm $A(5;0;0)$ người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ nhất đi thẳng lên đến mặt cầu tại điểm $B$ thuộc mặt cầu, sao cho cầu thang $AB$ là đường thẳng tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại điểm $B$ (hoành độ điểm $B$ thỏa $x_B>10$). Biết rằng đường thẳng $AB$ tạo với mặt đất $(Oxy)$ một góc nhọn $\alpha$ có $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Sau đó người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ hai có dạng cung tròn đi dọc theo mặt cầu, đi từ điểm $B$ lên tới đỉnh cao nhất của mặt cầu so với mặt đất. Gọi $T$ là tổng độ dài của cả hai cầu thang được thiết kế. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $T$ (không tính kích thước của nguyên vật liệu được sử dụng để làm hai đoạn cầu thang nói trên). *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một đài kiểm soát không lưu được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ có bán kính quét tối đa của ra đa là $300\text{ km}$. Khi một máy bay bay vào vùng phủ sóng của ra đa thì tín hiệu của nó sẽ được thu nhận và vị trí của máy bay sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay dân dụng sau khi cất cánh và đạt được độ cao phù hợp thì tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động cho máy bay theo hướng từ điểm $A(100;-200;10)$ đến điểm $B(300;200;10)$ với vận tốc không đổi là $600\text{ km/h}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm $I(-1;2;4)$ và bán kính $R$ được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $\text{m}$). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của $2$ con kiến luôn cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$ (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc $2$ con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng $\frac{57}{10}\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ bên). Bán kính $R$ của khối cầu có độ dài bao nhiêu $\text{cm}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đã cho là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ là

Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$ trục $Oz$ hướng lên vuông góc với mặt biển, một ngọn hải đăng có đỉnh ở vị trí $I(21;35;50)$ và có bán kính phủ sáng là $4\text{ km}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Đường kính của $(S)$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng Wifi được đặt ở vị trí $I(-1;0;3)$ với bán kính phủ sóng là $R=34$m.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai trạm phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí $X$ và $Y$ (đơn vị: km). Vùng phủ sóng của trạm $X$ là một hình cầu có tâm $I(1;-1;3)$, bán kính $R=2$; còn vùng phủ sóng của trạm $Y$ là một hình cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-6z+7=0$. Hai vùng phủ sóng này giao nhau tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$. Hai thiết bị giám sát $M$ và $N$ hoạt động trong khu vực giao nhau này và luôn duy trì khoảng cách giữa chúng là 1 km. Có hai thiết bị thu phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí $A(0;-2;0)$ và $B(3;4;5)$. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ trạm phát sóng $A$ đến thiết bị $M$ và từ trạm phát sóng $B$ đến thiết bị $N$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+z^2=9$. Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt của Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ (1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{N},{\beta }^{\circ }\text{E}$ ($0<\alpha <90,0<\beta <180$) có tọa độ là $P(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm $P,Q$. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $21^{\circ }02^{\prime }\text{N},105^{\circ }51^{\prime }\text{E}$ và đảo Trường Sa ở vị trí $8^{\circ }39^{\prime }\text{N},111^{\circ }56^{\prime }\text{E}$ (đơn vị: km; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x-5{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=3$ có bán kính bằng:

Một trạm X có chức năng thu – phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là 2 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}$. Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu kílômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2+6x-2y+4z-2=0$. Tọa độ tâm mặt cầu là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;0)$ và $B(2;-1;2)$. Phương trình của mặt cầu có đường kính $AB$ là

Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (tham khảo hình vẽ 1.1). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất).

Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (tham khảo hình 1.2). Trong không gian $Oxyz$, giả sử bề mặt Trái Đất $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ và người quan sát ở vị trí $B(1;1;-1)$; $A$ là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí $B$ sao cho $\widehat{BAO}=90^{\circ }$ (tham khảo hình 1.3).

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ $(0;-3;-1)$, cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là $10$ mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí $N(7;10;-4)$ đến vị trí $M(5;0;2)$ để nhận nguồn âm.

Khi bạn học sinh đó di chuyển từ $N$ đến $M$ thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là $A(x_0;y_0;z_0)$. Tính tổng $x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và đường kính bằng $10$. Khi đó phương trình của mặt cầu $(S)$ là