Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (một đơn vị trên mỗi trục tương ứng với một km trên thực tế), xét một vùng phòng thủ hình cầu $(S):x^2+y^2+z^2=49$ và một hành lang bay an toàn được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(P_1):x+y+z=5$ và mặt phẳng $(P_2):x+y+z=-5$. Một máy bay trinh sát bắt đầu xâm nhập khu vực từ điểm $M_0(6;0;0)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;1;1)$. Tính chiều dài đoạn đường bay của máy bay nằm hoàn toàn trong phần giao của hành lang bay an toàn và vùng phòng thủ hình cầu (đơn vị: km).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4}$. Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$.

Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=3$ là:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng $600\text{ m}$ được đặt tại vị trí $I(200;450;60)$. Vào lúc 5 giờ 00 phút sáng, bạn An đi bộ từ vị trí $A(-100;50;0)$ đến vị trí $B(-100;1250;0)$ trên một đường thẳng với vận tốc không đổi trong thời gian 15 phút.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và đi qua điểm $A(0;4;-1)$ là

Một cái bể nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật và chứa đầy nước. Bạn Nam vô tình làm rơi viên bi dạng hình cầu vào trong bể nuôi cá. Khi đó, lượng nước trong bể tràn ra ngoài. Để tính lượng nước tràn ra ngoài, bạn Nam làm như sau:
Lấy cây thước thẳng, tiến hành di chuyển viên bi vào trong góc, sao cho viên bi tiếp xúc với mặt đáy và hai thành của bể nuôi cá. Bạn Nam tiến lại vị trí đỉnh của hình hộp chữ nhật gần với viên bi nhất và tiến hành đo: Chiều cao của bể là 35 cm. Tại vị trí đứng của Nam, đo từ đỉnh cao nhất của hình hộp chữ nhật đến điểm cao nhất của viên bi so với đáy bể là 33,5 cm. Biết thể tích của viên bi không vượt quá $4{\text{ cm}}^3$.

Bạn hãy thay Nam, tính thể tích (đơn vị: xăng-ti-mét khối) của lượng nước tràn ra ngoài. (Bán kính viên bi và lượng nước tràn ra ngoài làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, biết hai điểm $M(-1;2;4),N(2;2;1)$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I$. Điểm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-4+3t\\ y=3-t\\ z=4-3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía Tây, trục $Oy$ hướng về phía Nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét). Một máy bay đang ở vị trí $A(400;300;10)$, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $D(-450;-250;10)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-1{)}^2=16$. Bán kính của $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=4$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí điểm $I(1;0;0)$ và phát ra ánh sáng trong phạm vi mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R=2\text{ km}$. Hai tàu đánh cá $A$ và $B$ di chuyển với phương trình chuyển động lần lượt là tàu $A:\{\begin{array}{l}x=15-80t\\ y=-20+60t\\ z=0\end{array}$ và tàu $B:\{\begin{array}{l}x=-10+60t\\ y=15+80t\\ z=0\end{array}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ ($t\ge 0$).

Trong không gian $Oxyz$, tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=9$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=16$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z+5=0$ và các điểm $A(0;0;4)$, $B(2;0;0)$. Mặt cầu $(S)$ có bán kính nhỏ nhất đi qua các điểm $A,B,O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có tâm là điểm $I$. Tung độ của điểm $I$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=4$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:

Vào rạng sáng ngày 1/1/2025, hệ thống phòng thủ hành tinh phát hiện một thiên thạch lớn có tên là 2025-XH3 đang di chuyển hướng từ vị trí $A(-60;-45;-10)$ đến vị trí $B(-20;-15;0)$ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (đơn vị: nghìn km). Các nhà khoa học từ Trái Đất cho rằng thiên thạch chuyển động thẳng đều và sẽ đến vị trí B vào rạng sáng ngày 19/1/2025. Giả sử bề mặt Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=6,4^2$.

Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=3$. Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ bé nhất. Tính giá trị $a+b+c$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+z^2=9$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$ là

Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất, một người đã chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị trên trục bằng với bán kính của trái đất. Biết vị trí một điểm nằm trên bề mặt của trái đất là $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Nếu xuyên từ điểm $M$ vào lòng đất, theo đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-1/2}{1}=\frac{y-\sqrt{3}/2}{-1}=\frac{z}{1}$, thì người này xác định được vị trí của điểm $N$ nằm trên mặt đất. Khi đó điểm $N$ cách điểm $A\left(\frac{1}{6};\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$ bao nhiêu nghìn km (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)? Sử dụng số đo bán kính trái đất là $64000\text{ km}$.