Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nhị thức Newton cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6:

a) Số hạng tổng quát trong khai triển $(2+3x{)}^5$ là $C_5^k\cdot 2^{5-k}\cdot (3x{)}^k$. Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=4$: $C_5^4\cdot 2^1\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$. Vậy số hạng chứa $x^4$ là $810x^4$.

b) Ta có $A_n^3+2A_n^2=48$ với $n$ nguyên dương, $n\ge 3$. Biến đổi: $n(n-1)(n-2)+2n(n-1)=n(n-1)[(n-2)+2]=n^2(n-1)=48$. Thử $n=4$: $4^2\cdot 3=48$ thỏa mãn (các giá trị $n$ khác không thỏa vì $n^2(n-1)$ tăng nhanh theo $n$). Vậy $n=4$.

Số hạng tổng quát của $(1-3x{)}^4$ là $C_4^k(-3x{)}^k$. Hệ số của $x^3$ ứng với $k=3$: $C_4^3\cdot (-3{)}^3=4\cdot (-27)=-108$.

c) Tổng các hệ số của $(1-2x{)}^5$ bằng giá trị của đa thức tại $x=1$: $(1-2{)}^5=(-1{)}^5=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nhị thức Newton: $(3x-4{)}^4={\sum }_{k=0}^4{C}_4^k(3x{)}^{4-k}(-4{)}^k$.
- $k=0$: $81x^4$.
- $k=1$: $4\cdot 27x^3\cdot (-4)=-432x^3$.
- $k=2$: $6\cdot 9x^2\cdot 16=864x^2$.
- $k=3$: $4\cdot 3x\cdot (-64)=-768x$.
- $k=4$: $(-4{)}^4=256$.
Vậy $(3x-4{)}^4=81x^4-432x^3+864x^2-768x+256$, khớp phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $a^3{b}^2$ trong khai triển $(a+2b{)}^5$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)a^3(2b{)}^2=10\cdot 4\cdot a^3{b}^2=40a^3{b}^2$. Vậy hệ số là $40$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23: Cho $(2-7x{)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$.

a) Thay $x=1$: $S=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=(2-7{)}^5=(-5{)}^5=-3125$. Vậy chọn B.

b) Thay $x=-1$: $S=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=(2+7{)}^5=9^5=59049$. Vậy chọn C.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: a-B; b-C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $P=(x-\sqrt{3}{)}^5={\sum }_{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})x^{5-k}(-\sqrt{3}{)}^k$ gồm $5+1=6$ số hạng, nên a) sai. Hệ số của $x^4$ (k=1): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)(-\sqrt{3})=-5\sqrt{3}\ne 5\sqrt{3}$, nên b) sai. Hệ số của $x^2$ (k=3): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(-\sqrt{3}{)}^3=10\cdot (-3\sqrt{3})=-30\sqrt{3}$, nên c) đúng. Số hạng tự do (k=5): $(-\sqrt{3}{)}^5=-9\sqrt{3}\ne 5\sqrt{3}$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-\sqrt{3}{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^4$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)(-\sqrt{3})=-5\sqrt{3}\ne 5\sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^2$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(-\sqrt{3}{)}^3=10\cdot (-3\sqrt{3})=-30\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng tự do là $(-\sqrt{3}{)}^5=-9\sqrt{3}\ne 5\sqrt{3}$.

$(2-3x{)}^5=C_5^0{2}^5+C_5^1{2}^4(-3x)+C_5^2{2}^3(-3x{)}^2+C_5^3{2}^2(-3x{)}^3+C_5^{4}2(-3x{)}^4+C_5^5(-3x{)}^5$. Hệ số cần tìm: $C_5^2{2}^3(-3{)}^2=720$.

$(2-3x{)}^5=C_5^0{2}^5+C_5^1{2}^4(-3x)+C_5^2{2}^3(-3x{)}^2+C_5^3{2}^2(-3x{)}^3+C_5^{4}2(-3x{)}^4+C_5^5(-3x{)}^5$. Hệ số cần tìm: $C_5^3{2}^2(-3{)}^3=-1080$.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-2{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k(3x{)}^{5-k}(-2{)}^k$. Số hạng chứa $x^2$ ứng với $k=3$: $C_5^3(3x{)}^2(-2{)}^3=10\cdot 9x^2\cdot (-8)=-720x^2$, hệ số bằng $-720$ → a) Đúng. Khai triển nhị thức bậc 5 có $5+1=6$ số hạng, không phải 5 → b) Sai. Số hạng chứa $x$ ứng với $k=4$: $C_5^4(3x)(-2{)}^4=5\cdot 3x\cdot 16=240x$ → c) Đúng. Tổng các hệ số bằng giá trị khai triển tại $x=1$: $(3-2{)}^5=1\ne -2$ → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1001: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^2$ ứng với $k=3$: $C_5^3(3x{)}^2(-2{)}^3=10\cdot 9\cdot (-8)x^2=-720x^2$, hệ số bằng $-720$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-2{)}^5$ có $5+1=6$ số hạng, không phải 5. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x$ ứng với $k=4$: $C_5^4(3x)(-2{)}^4=5\cdot 3\cdot 16x=240x$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số bằng $(3-2{)}^5=1\ne -2$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^2+xy=y(y+x)$, nên $(y^2+xy{)}^6=y^6(x+y{)}^6$. Số hạng chứa $x^4$ trong $(x+y{)}^6$ là $C_6^4{x}^4{y}^2=15x^4{y}^2$. Nhân với $y^6$ ta được $15x^4{y}^8$. Vậy hệ số của $x^4{y}^8$ là $15$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x^2+xy{)}^5={\sum }_{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})(x^2{)}^{5-k}(xy{)}^k={\sum }_{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})x^{10-k}{y}^k$. Số hạng chứa $x^7{y}^3$ ứng với $k=3$: hệ số là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(1-3x{)}^5$ là $C_5^3\cdot (-3x{)}^3=10\cdot (-27)x^3=-270x^3$. Vậy hệ số cần tìm là $-270$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 2: $-270$).

Viết đúng công thức: $H=C_5^0(3x{)}^5+C_5^1(3x{)}^4(-4y)+...+C_5^5(-4y{)}^5$ (0,25 điểm).
Tính toán đúng: $H=243x^5-1620x^{4}y+4320x^3{y}^2-5760x^2{y}^3+3840x{y}^4-1024y^5$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-1{)}^4={\sum }_{k=0}^4{C}_4^k(3x{)}^{4-k}(-1{)}^k$: $C_4^0(3x{)}^4=81x^4$; $C_4^1(3x{)}^3(-1)=4\cdot 27x^3\cdot (-1)=-108x^3$; $C_4^2(3x{)}^2=6\cdot 9x^2=54x^2$; $C_4^3(3x)(-1{)}^3=4\cdot 3x\cdot (-1)=-12x$; $C_4^4(-1{)}^4=1$. Vậy $(3x-1{)}^4=81x^4-108x^3+54x^2-12x+1$, khớp với đáp án D (đúng theo bảng đáp án mã đề 1002).

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(1-3x{)}^5$ là $C_5^k(-3x{)}^k=C_5^k(-3{)}^k{x}^k$. Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=3$: $C_5^3(-3{)}^3=10\cdot (-27)=-270$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-270).

Viết đúng công thức: $H=C_5^0(2x{)}^5+C_5^1(2x{)}^4(-3y)+...+C_5^5(-3y{)}^5$ (0,25 điểm).
Tính toán đúng: $H=32x^5-240x^{4}y+720x^3{y}^2-1080x^2{y}^3+810x{y}^4-243y^5$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(3x-1{)}^4$ theo nhị thức Newton: $(3x-1{)}^4=C_4^0(3x{)}^4+C_4^1(3x{)}^3(-1)+C_4^2(3x{)}^2(-1{)}^2+C_4^3(3x)(-1{)}^3+C_4^4(-1{)}^4=81x^4-4\cdot 27x^3+6\cdot 9x^2-4\cdot 3x+1=81x^4-108x^3+54x^2-12x+1$. Kết quả trùng với đáp án C và với đáp án của đề (mã 1001, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+3{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{3}^k$. Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: hệ số $C_5^1\cdot 3=5\cdot 3=15$. Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=2$: hệ số $C_5^2\cdot 3^2=10\cdot 9=90$. Tổng các hệ số là $15+90=105$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+3{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{3}^k$. Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: hệ số là $C_5^1\cdot 3^1=5\cdot 3=15$. Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=2$: hệ số là $C_5^2\cdot 3^2=10\cdot 9=90$. Tổng các hệ số cần tính: $15+90=105$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (105).

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^2$ trong khai triển $(2x+3{)}^4$ ứng với $k=2$: $C_4^2(2x{)}^2\cdot 3^2=6\cdot 4x^2\cdot 9=216x^2$. Vậy hệ số là $216$, chọn đáp án B.