Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $D$, $G$, $N$ thẳng hàng, suy ra $AG\subset (ADN)$.
Hai mặt phẳng $(ADN)$ và $(BCM)$ có hai điểm chung $M$, $N$ nên $(ADN)\cap (BCM)=MN$.
Do đó giao điểm của $AG$ và $(BCM)$ là giao điểm của $AG$ và $MN$.

$S$ là điểm chung của $(SAD)$ và $(SBC)$.
Mà $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, $AD\parallel BC$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$ và $BC$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$.

Vì $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$ nên điểm $O$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Mặt khác, điểm $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Xác định giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ADM)$:

Trong mặt phẳng $(SBC)$, qua điểm $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $SB$ tại điểm $H$.

Vì điểm $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ nên đoạn thẳng $MH$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra điểm $H$ là trung điểm của cạnh $SB$.

Vì hình bình hành $ABCD$ có $BC\parallel AD$ nên $MH\parallel AD$.

Do $AD\subset (ADM)$ và $M\in (ADM)$ nên đường thẳng $MH$ nằm trong mặt phẳng $(ADM)$.

Từ đó suy ra điểm $H$ thuộc mặt phẳng $(ADM)$.

Vậy giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ADM)$ là điểm $H$ (chính là trung điểm của đoạn thẳng $SB$).

Trong tam giác $ABD$, đoạn thẳng $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel BD$. Hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(BCD)$ có điểm chung $C$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$ và $BD$, nên giao tuyến của chúng đi qua điểm $C$ và song song với đường thẳng $BD$.

Điểm $E=AD\cap BC$ nên $E\in AD\subset (SAD)$ và $E\in BC\subset (SBC)$. Điểm $S$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Do đó đường thẳng $SE$ là giao tuyến của cặp mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp có 4 mép tiếp xúc giữa đáy với 4 mặt bên và 4 mép đứng tiếp xúc giữa các mặt bên kề nhau. Tổng số mép nối cần dán keo là $4+4=8$.

a) Sai. Nếu đường thẳng $a$ chứa một điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ có thể cắt $(\alpha )$ tại điểm đó, không nhất thiết đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.

b) Đúng. Nếu đường thẳng $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.

c) Đúng. Giao điểm nếu có của hai đường thẳng $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $a\subset (\alpha )$ nên điểm đó cũng nằm trong $(\alpha )$.

d) Sai. Đường thẳng $b$ có thể cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$, do đó đường thẳng $b$ không nhất thiết nằm trong $(\alpha )$.
a) Sai. Nếu đường thẳng $a$ chứa một điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ có thể cắt $(\alpha )$ tại điểm đó, không nhất thiết đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.
b) Đúng. Nếu đường thẳng $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.
c) Đúng. Giao điểm nếu có của hai đường thẳng $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $a\subset (\alpha )$ nên điểm đó cũng nằm trong $(\alpha )$.
d) Sai. Đường thẳng $b$ có thể cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$, do đó đường thẳng $b$ không nhất thiết nằm trong $(\alpha )$.

$S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$, $DC$. Chọn D.

a) Đúng. $H\in SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $H\in (SAB)$.

b) Đúng. $H\in SA$, $K\in SB$ nên $H,K$ cùng thuộc $(SAB)$, do đó $HK\subset (SAB)$.

c) Sai. $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HK\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $HK\parallel CD$, do đó $HK$ và $CD$ không cắt nhau.

d) Đúng. $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$. Mà $HK\parallel AB$ và $HK$ không đi qua $S$ nên $d\parallel HK$.
a) Đúng. $H\in SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $H\in (SAB)$.
b) Đúng. $H\in SA$, $K\in SB$ nên $H,K$ cùng thuộc $(SAB)$, do đó $HK\subset (SAB)$.
c) Sai. $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HK\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $HK\parallel CD$, do đó $HK$ và $CD$ không cắt nhau.
d) Đúng. $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$. Mà $HK\parallel AB$ và $HK$ không đi qua $S$ nên $d\parallel HK$.

Hình hộp chữ nhật có hai kích thước bằng nhau (ở đây đáy là hình vuông cạnh 3, chiều cao bằng 4) có:
- 3 mặt phẳng đối xứng song song với các cặp mặt đối diện (đi qua trung điểm các cạnh song song).
- 2 mặt phẳng đối xứng đi qua các đường chéo của đáy vuông và song song với cạnh bên.
Tổng cộng có $3+2=5$ mặt phẳng đối xứng. Chọn C.

Hình đa diện đã cho là một hình chóp cụt tứ giác được ghép thêm một hình chóp tứ giác ở phía trên (hoặc khối đa diện gồm 2 đáy, 4 mặt bên hình thang và 4 mặt bên tam giác phía trên).
Cụ thể gồm:
- 1 mặt đáy phía dưới (hình vuông/tứ giác).
- 1 mặt ngăn ở giữa (không tính là mặt ngoài của khối đa diện).
- 4 mặt bên hình thang ở tầng dưới.
- 1 mặt đáy trên và các mặt bên, tổng số mặt bao quanh ngoài là 10 mặt (hoặc khối lăng trụ tứ giác cụt gồm 10 mặt ngoài).
Vậy khối đa diện có tất cả 10 mặt. Chọn C.

Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$ và $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ qua đỉnh chung $S$ và song song với $AB,CD$.
Vì $d\parallel AB$ mà $AB$ cắt $AD$ tại $A$ nên $d$ không thể song song với $AD$. Do đó kết luận $d\parallel AD$ là sai. Chọn B.

Trong tam giác $ABC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AB$.
Mặt phẳng $(MNP)$ chứa $MN\parallel AB\subset (ABD)$, và $P\in (MNP)\cap (ABD)$.
Do đó giao tuyến $d$ của $(MNP)$ và $(ABD)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AB$.
Vì $d\parallel AB$ mà $AB\subset (ABC)$ và $d\not\subset (ABC)$ (do $P\notin (ABC)$) nên $d\parallel (ABC)$. Chọn B.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$.
Mặt khác, $AD\subset (SAD)$ và $BC\subset (SBC)$ thỏa mãn $AD\parallel BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành).
Do đó, giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$ (và $BC$).

Xét mặt phẳng $(BCD)$ chứa tam giác $BCD$:
- $N$ là trung điểm $BC$, nên $N\in BC$.
- $P\in BD$ với $PB=2PD\ne 1$, do đó đường thẳng $NP$ không song song với $CD$.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $E$.
Vì $E\in NP$ nên $E\in (MNP)$, và $E\in CD$, do đó $E=CD\cap (MNP)$.
Từ định nghĩa giao điểm $E=NP\cap CD$, ba điểm $N,P,E$ cùng nằm trên đường thẳng $NP$, nên $N,P,E$ thẳng hàng. Chọn C.

Mặt phẳng $(MBC)$ chứa đường thẳng $BC\parallel AD$ (do $ABCD$ là hình thang).
Do đó giao tuyến của $(MBC)$ với mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ và $BC$, cắt $SD$ tại $N$.
Vì $M$ là trung điểm của $SA$ và $MN\parallel AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN=\frac{1}{2}AD$.
Mặt khác, theo giả thiết $AD=2BC⟺BC=\frac{1}{2}AD$.
Suy ra $MN=BC$.
Tứ giác $BCNM$ có $MN\parallel BC$ và $MN=BC$, do đó $BCNM$ là một hình bình hành. Thiết diện là hình bình hành. Chọn C.

Thiết diện qua trục là tam giác cân $ABC$ có chiều cao $h=2a$ và cạnh đáy $BC=d=2a$.

[IMAGE_1]

Ta có $S_{△ABC}=\frac{1}{2}h\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$.

Hình (IV) có phần lõm nên không phải là khối đa diện lồi. Chọn B.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap SO$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, nối $B^{\prime }I$ cắt $SD$ tại $D^{\prime }$. Khi đó $I$ là giao điểm của $SO,A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức ba đường thẳng đồng quy. Chọn C.

Trong mặt phẳng $(BCD)$, hai đường thẳng $NP$ và $CD$ cùng thuộc một mặt phẳng và không song song nên cắt nhau tại điểm thuộc $(MNP)$. Chọn A.