Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=13^x$ có đạo hàm theo công thức $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, nên $y^{\prime }=13^x\ln 13$. Điều này khớp với đáp án C (đáp án nguồn cho mã đề 1102, câu 5 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ là $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2+1=4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=9x^2-6x+6$ → Đúng. b) $g^{\prime }(x)=3x^2+2x$; tại hoành độ $x=-1$ thì $g^{\prime }(-1)=3-2=1\ne -5$ (và $g^{\prime }(1)=5$) → Sai. c) $f^{\prime \prime }(x)=18x-6$, nên $f^{\prime \prime }-f^{\prime }+g^{\prime }-8=18x-6-(9x^2-6x+6)+(3x^2+2x)-8=-6x^2+26x-20\ge 0\iff 3x^2-13x+10\le 0\iff (x-1)(3x-10)\le 0\iff x\in [1;\frac{10}{3}]$ → Đúng. d) $g^{\prime }(x)=3x^2+2x$ có giá trị nhỏ nhất tại $x=-\frac{1}{3}$: $g^{\prime }(-1/3)=-\frac{1}{3}$. Cần $m>\frac{1}{3}$, các số nguyên trong $(-2026;2026)$ là $1,2,\dots ,2025$: 2025 số, không phải 2026 → Sai. Khớp đáp án DSDS của mã đề 1101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=9x^2-6x+6$ đúng theo quy tắc đạo hàm đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tại điểm có hoành độ $-1$ là $g^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2+2(-1)=1$, không phải $-5$ (thêm nữa $g^{\prime }(1)=5$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=18x-6$. Bất phương trình trở thành $-6x^2+26x-20\ge 0\iff 3x^2-13x+10\le 0\iff x\in [1;\frac{10}{3}]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min g^{\prime }(x)=g^{\prime }(-1/3)=-1/3$. Cần $m>-1/3$, các số nguyên trong $(-2026;2026)$ thỏa mãn là $1$ đến $2025$: 2025 số, không phải 2026.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(2x+3)-2(x^2+4x-1)}{(2x+3{)}^2}$. Tử số: $(2x+4)(2x+3)=4x^2+6x+8x+12=4x^2+14x+12$; trừ đi $2x^2+8x-2$ ta được $2x^2+6x+14$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2x^2+6x+14}{(2x+3{)}^2}$, suy ra $a=2,b=6,c=14$. Do đó $T=b+c-a^2=6+14-4=16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 1101: 16).

Lời giải. Ta có $w^{\prime }(t)=\frac{57}{25000}{t}^2-\frac{3}{25}t+1,8$. Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là $$w^{\prime }(15)=\frac{57}{25000}\cdot 15^2-\frac{3}{25}\cdot 15+1,8=0,51\text{ (pound/thaˊng)}.$$ (Thang điểm: 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(t)$; 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(15)$ và kết luận.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=13^x$ là hàm số mũ với cơ số $a=13>1$. Theo công thức đạo hàm của hàm số mũ $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, ta có $y^{\prime }=13^x\ln 13$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x}+x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$ với $x>0$. Tại $x=4$: $y^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của hàm số $y=\cos x$ là $y^{\prime }=-\sin x$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của hàm số $y=\cos x$ là $y^{\prime }=-\sin x$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$. Tại $x=4$: $y^{\prime }(4)=\frac{1}{2\cdot 2}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-x+2$. a) $y^{\prime }=x^2-2x-1$ — đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$, ví dụ $y^{\prime }(1)=-2<0$ nên khẳng định $y^{\prime }>0$ với mọi $x$ là sai. c) $y^{\prime }=5\iff x^2-2x-6=0$, theo Vi-ét tổng hai nghiệm bằng $2$ — đúng. d) Tiếp tuyến song song $(d):2x-y-5=0$ (hệ số góc $2$): $y^{\prime }=2\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Với $x=3$: $y=9-9-3+2=-1$, tiếp tuyến $y=2(x-3)-1=2x-7\iff 2x-y-7=0$. Với $x=-1$: $y=-\frac{1}{3}-1+1+2=\frac{5}{3}$, tiếp tuyến $y=2(x+1)+\frac{5}{3}=2x+\frac{11}{3}\iff 6x-3y+11=0$. Cả hai phương trình đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }={\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)}^{\prime }-(x^2{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }=x^2-2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2-2x-1$ có nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ và $y^{\prime }(1)=-2<0$, nên $y^{\prime }>0$ không đúng với mọi $x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=5\iff x^2-2x-6=0$, tổng hai nghiệm $S=2$ (Vi-ét).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$, điểm $(3;-1)$, tiếp tuyến $2x-y-7=0$; tại $x=-1$, điểm $(-1;\frac{5}{3})$, tiếp tuyến $6x-3y+11=0$. Cả hai đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x-3}{x+1}$, áp dụng công thức đạo hàm của phân thức ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ với $u=2x-3$, $u^{\prime }=2$, $v=x+1$, $v^{\prime }=1$: $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-3)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2x+2-2x+3}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=3^{x+1}$, ta có $y^{\prime }=3^{x+1}\cdot \ln 3$. Tại $x=1$: $y^{\prime }(1)=3^2\cdot \ln 3=9\ln 3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ tăng trưởng là $P^{\prime }(t)=120\cdot 0,15e^{0,15t}=18e^{0,15t}$. Tại $t=0$: $P^{\prime }(0)=18$ tế bào/giờ. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C^{\prime }(x)=100-3x+0,075x^2$ (đạo hàm của $27900$ bằng $0$, của $100x$ bằng $100$, của $-1,5x^2$ bằng $-3x$, của $0,025x^3$ bằng $0,075x^2$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$ (triệu người/năm). Tốc độ gia tăng hơn 2 triệu người/năm khi $1,2e^{0,012t}>2\iff e^{0,012t}>\frac{5}{3}\iff t>\frac{\ln (5/3)}{0,012}\approx \frac{0,5108}{0,012}\approx 42,57$. Vậy từ $t=43$ (tức năm $2023+43=2066$) tốc độ gia tăng dân số vượt 2 triệu người/năm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\ln x$ và $\frac{1}{x}$ yêu cầu $x>0$, nên $D=(0;+\infty )$.

b) Sai: $f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$, không phải $1+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}$ (dấu sai).

c) Đúng: $f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}+x-2\ln \frac{1}{x}=-\frac{1}{x}+x+2\ln x=-\left(-x+\frac{1}{x}-2\ln x\right)=-f(x)$.

d) Đúng: Theo c), $f\left(\frac{1}{\sin x+3}\right)=-f(\sin x+3)$ (với $\sin x+3\in [2;4]\subset (0;+\infty )$). Phương trình trở thành $f(\cos x+3)=f(\sin x+3)$. Vì $f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}<0$ với mọi $x>0$ nên $f$ nghịch biến và đơn ánh trên $(0;+\infty )$, suy ra $\cos x+3=\sin x+3\iff \cos x=\sin x\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trên $[0;2\pi ]$: $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$. Tổng $=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\ln x$ và $\frac{1}{x}$ xác định khi $x>0$, nên tập xác định là $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$, mệnh đề đưa ra sai dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1/x)=-1/x+x+2\ln x=-f(x)$ với mọi $x>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng $f(1/t)=-f(t)$ và $f$ nghịch biến (đơn ánh) trên $(0;+\infty )$, phương trình tương đương $\cos x=\sin x$, nghiệm trên $[0;2\pi ]$ là $\pi /4$ và $5\pi /4$, tổng bằng $3\pi /2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x^2+1)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $x^2+1>0$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: đặt $u=x^2+1$ thì $u^{\prime }=2x$, nên $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{2x}{x^2+1}$. Kết quả trùng với đáp án D và với đáp án tham khảo trong nguồn (Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C^{\prime }(x)=3\cdot 0,062x^2-2\cdot 1,2x+30=0,186x^2-2,4x+30$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C^{\prime }(x)=3\cdot 0,009x^2-2\cdot 4,6x+84=0,027x^2-9,2x+84$. Vậy đáp án A.