Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

a) Sai. Thay $x_0=0$ vào đạo hàm vừa tính: $y^{\prime }(0)=\frac{0^2+2(0)}{(0+1{)}^2}=0\ne 1$.
b) Đúng. Tính $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng. Hệ số góc tại $x_0=1$ là $y^{\prime }(1)=\frac{1^2+2(1)}{(1+1{)}^2}=\frac{3}{4}$.
d) Sai. Tiếp tuyến vuông góc với $y=-x+5$ sẽ có hệ số góc $k=1$.
Giải phương trình $y^{\prime }=1\iff \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=1\iff x^2+2x=x^2+2x+1\iff 0=1$ (vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.
a) Sai. Thay $x_0=0$ vào đạo hàm vừa tính: $y^{\prime }(0)=\frac{0^2+2(0)}{(0+1{)}^2}=0\ne 1$.
b) Đúng. Tính $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng. Hệ số góc tại $x_0=1$ là $y^{\prime }(1)=\frac{1^2+2(1)}{(1+1{)}^2}=\frac{3}{4}$.
d) Sai. Tiếp tuyến vuông góc với $y=-x+5$ sẽ có hệ số góc $k=1$.
Giải phương trình $y^{\prime }=1\iff \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=1\iff x^2+2x=x^2+2x+1\iff 0=1$ (vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

Tính đạo hàm: $y^{\prime }=3\cos (3x)-6\sin (3x)$.
Đồng nhất hệ số: $a=3$ và $b=-6$.
Tính giá trị: $S=a+2b=3+2(-6)=-9$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2+8x+5}{(x^2+x+1{)}^2}$.
Suy ra $a=-1,b=8,c=5$.
Biểu thức $2ab+c=2(-1)(8)+5=-11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=15^x$ là hàm số mũ với cơ số $a=15>1$. Theo công thức đạo hàm $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, ta có $y^{\prime }=15^x\ln 15$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1191, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi của lợi nhuận là đạo hàm P'(x). Với P(x) = -1/2 x^2 + 150x - 1000, ta có P'(x) = -x + 150. Tại x = 80: P'(80) = -80 + 150 = 70 (nghìn đồng/ly). Kết quả trùng với đáp án nguồn (70).

a) $y=5x^4-6x+4$.
b) $y=\frac{(x^3{)}^{\prime }.\cos x-x^3.(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{3x^2\cos x+x^3\sin x}{{\cos }^{2}x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ đúng; $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ đúng (với $a>0,a\ne 1,x>0$); $(x{)}^{\prime }=1$ đúng. Mệnh đề C sai vì công thức đúng là $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, không phải $n{x}^{n+1}$. Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1191, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{3}x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 3}$ với $x>0$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 1141: C).

a) $y=4x^3-16x$.
b) $y=\frac{(x^2{)}^{\prime }.\sin x-x^2.(\sin x{)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}=\frac{2x\sin x-x^2.\cos x}{{\sin }^{2}x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ nên A sai; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ đúng nên B đúng; $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ nên C sai; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ nên D sai. Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra điểm $E$: $y(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng. $y^{\prime }=x^2+2x-2$ nên $y^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Tiếp tuyến tại $E$: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Tại $x=\frac{8}{3}$: $y=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$. Vậy tung độ cần tìm bằng $2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x$, tại $x=\frac{1}{4}$ thì $k=y^{\prime }=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(-7)=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$, $g^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}$, nên $g^{\prime }(-7)=\frac{-2}{36}=-\frac{1}{18}$. Tiếp tuyến: $y=\frac{2}{3}-\frac{1}{18}(x+7)=-\frac{x}{18}+\frac{5}{18}$. Đúng.
b) $g^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{-2}{(x+1{)}^3}$. Sai.
c) $f^{\prime }(x)=16\cos 8x+\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, khác khẳng định. Sai.
d) $f^{\prime }\left(-\frac{\pi }{6}\right)=16\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{12}=-8+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$; $f^{\prime }(\pi )=16\cos 8\pi +\cos \frac{5\pi }{4}=16-\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $4f^{\prime }(\pi )=64-2\sqrt{2}$. Tổng: $56+\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{7\sqrt{2}}{4}\ne -6+\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{9\sqrt{2}}{4}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(-7)=\frac{2}{3}$, $g^{\prime }(-7)=-\frac{1}{18}$, tiếp tuyến $y=-\frac{x}{18}+\frac{5}{18}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x+1{)}^2}$, không phải mũ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=16\cos 8x+\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $56+\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{7\sqrt{2}}{4}$, khác khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-2x{)}^{\prime }}{(x^2-2x)\ln 2}=\frac{2x-2}{(x^2-2x)\ln 2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2x-2}{5x}=-\frac{2}{5}-\frac{2}{5x}$, xác định tại $x=2$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2}{5x^2}$. Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=\frac{2}{5\cdot 4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ bằng $\frac{1}{10}$, tương ứng phương án A.

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai.

a) Ta có $f(1)=3^{1^3-3\cdot 1+1}=3^{-1}=\frac{1}{3}$.

b) Ta có $f^{\prime }(x)={\left(x^3-3x+1\right)}^{\prime }\cdot 3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=\left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3$.

c) Ta có $$f^{\prime }(x)=0\iff \left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\in [-1;2]\\ x=-1\in [-1;2]\end{array}\right]$$ Vậy $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trên đoạn $[-1;2]$.

d) Ta có $f(-1)=27$, $f(1)=\frac{1}{3}$, $f(2)=27$. Suy ra $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(1)=\frac{1}{3}<1$.
a) a) Ta có $f(1)=3^{1^3-3\cdot 1+1}=3^{-1}=\frac{1}{3}$.
b) b) Ta có $f^{\prime }(x)={\left(x^3-3x+1\right)}^{\prime }\cdot 3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=\left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3$.
c) c) Ta có $$f^{\prime }(x)=0\iff \left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\in [-1;2]\\ x=-1\in [-1;2]\end{array}\right]$$ Vậy $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trên đoạn $[-1;2]$.
d) d) Ta có $f(-1)=27$, $f(1)=\frac{1}{3}$, $f(2)=27$. Suy ra $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(1)=\frac{1}{3}<1$.

Ta có: $f^{\prime }(x)={\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Ta xét: $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, $f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1$, $f^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}$

Vậy ta có: $P=f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).f^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1$

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=9x^2-6x+6$ đúng. b) $g^{\prime }(x)=3x^2+2x$, tại hoành độ $x=-1$ thì $g^{\prime }(-1)=3-2=1\ne -5$ (và $g^{\prime }(1)=5$), nên khẳng định sai. c) $f^{\prime \prime }(x)=18x-6$, nên $f^{\prime \prime }-f^{\prime }+g^{\prime }-8=(18x-6)-(9x^2-6x+6)+(3x^2+2x)-8=-6x^2+26x-20\ge 0\iff 3x^2-13x+10\le 0\iff (x-1)(3x-10)\le 0\iff x\in \left[1;\frac{10}{3}\right]$, đúng. d) $g^{\prime }(x)=3x^2+2x$ có giá trị nhỏ nhất tại $x=-\frac{1}{3}$: $g^{\prime }\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$. Cần $g^{\prime }(x)+m>0$ với mọi $x$ tức $m>\frac{1}{3}$, các số nguyên $m\in (-2026;2026)$ là $1,2,\dots ,2025$: có 2025 số, không phải 2026, nên sai. Kết quả DSDS khớp bảng đáp án mã đề 1102.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=9x^2-6x+6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại hoành độ $x=-1$: $g^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2+2(-1)=1\ne -5$; hơn nữa $g^{\prime }(1)=5\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }-f^{\prime }+g^{\prime }-8=-6x^2+26x-20\ge 0\iff x\in \left[1;\frac{10}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min g^{\prime }=-\frac{1}{3}$, cần $m>\frac{1}{3}$, có 2025 số nguyên $m\in (-2026;2026)$ (từ 1 đến 2025), không phải 2026.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(2x+3)-2(x^2+4x-1)}{(2x+3{)}^2}$. Tử số: $(2x+4)(2x+3)=4x^2+14x+12$; trừ đi $2x^2+8x-2$ được $2x^2+6x+14$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2x^2+6x+14}{(2x+3{)}^2}$, suy ra $a=2,b=6,c=14$. Do đó $T=b+c-a^2=6+14-4=16$, khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 1102: 16).

Lời giải. Ta có $w^{\prime }(t)=\frac{57}{25000}{t}^2-\frac{3}{25}t+1,8$. Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là $$w^{\prime }(15)=\frac{57}{25000}\cdot 15^2-\frac{3}{25}\cdot 15+1,8=0,51\text{ (pound/thaˊng)}.$$ (Thang điểm: 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(t)$; 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(15)$ và kết luận.)