Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 4 trong 8 bông hoa rồi cắm vào 4 bình khác nhau: $A_8^4=\frac{8!}{4!}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ cách. Đúng.
b) Dán 6 tem khác nhau vào 6 bì thư khác nhau, mỗi bì một tem là một hoán vị: $6!=720$ cách, không phải $6^6=46656$. Sai.
c) Chọn đúng 3 bông hồng từ 10 và 2 bông cúc từ 15: $C_{10}^3\cdot C_{15}^2=120\cdot 105=12600$ cách, không phải 53130. Sai.
d) Chữ số chẵn trong $X=\{1;2;3;4;5;6\}$ là $\{2;4;6\}$, mỗi chữ số có 3 cách chọn, số có ba chữ số: $3^3=27$ số. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn và cắm 4 bông hoa vào 4 bình: $A_8^4=1680$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách dán là hoán vị 6 tem vào 6 bì: $6!=720$, không phải 46656.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_{10}^3\cdot C_{15}^2=120\cdot 105=12600$, không phải 53130.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số chẵn trong X là 2;4;6 nên có $3^3=27$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 1: A nối với B bằng 3 con đường, B nối với C bằng 2 con đường, C nối với D bằng 3 con đường. Muốn đi từ A đến D qua B và C mỗi nơi đúng một lần, ta chọn lần lượt: 1 trong 3 đường A→B, 1 trong 2 đường B→C, 1 trong 3 đường C→D. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $3\times 2\times 3=18$. Vậy đáp án là D.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$.
b) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
c) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$
b) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
c) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách)
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$.
b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách).
c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$
b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách)
c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 12 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn nên không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi tam giác được xác định bởi một tập hợp 3 điểm phân biệt trong 12 điểm, do đó số tam giác là $C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}=220$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: có 4 con đường nối $A$ với $B$, 2 con đường nối $B$ với $C$, 3 con đường nối $C$ với $D$. Muốn đi từ $A$ đến $D$ qua $B$ và $C$ mỗi nơi đúng một lần, ta chọn: 1 trong 4 đường $A\to B$, sau đó 1 trong 2 đường $B\to C$, rồi 1 trong 3 đường $C\to D$. Theo quy tắc nhân, số cách là $4\cdot 2\cdot 3=24$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có 5 chữ số, các chữ số khác 0 (tức lấy từ tập $\{1,2,...,9\}$ gồm 9 chữ số) và đôi một khác nhau. Vậy đó là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử, số cách lập là $A_9^5$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 14 học sinh, chọn 6 bạn.
a) $C_{14}^6=\frac{14!}{6!8!}=3003$ → đúng.
b) Chọn đúng một trong hai bạn An, Bình: chọn 1 trong 2 người và 5 trong 12 người còn lại: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584\ne 2574$ → sai.
c) Cả An và Bình đều không có mặt: chọn 6 trong 12 người còn lại: $C_{12}^6=924$ → đúng.
d) Có cả hai bạn An và Bình: chọn 4 trong 12 người còn lại: $C_{12}^4=495\ne 1848$ → sai. (Kiểm tra: $3003=1584+924+495$, nhất quán.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{14}^6=3003$ cách chọn 6 bạn bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng một trong hai bạn An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=1584$, không phải 2574.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai không có mặt: $C_{12}^6=924$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có cả hai: $C_{12}^4=495$, không phải 1848.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm 4 học sinh có số nam và số nữ bằng nhau nghĩa là chọn 2 nam và 2 nữ. Số cách chọn 2 nam từ 14 nam là $C_{14}^2=\frac{14\cdot 13}{2}=91$. Số cách chọn 2 nữ từ 6 nữ là $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$. Theo quy tắc nhân, số cách lập nhóm là $C_{14}^2\cdot C_6^2=91\cdot 15=1365$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 8 chữ số gồm: chữ số 2 xuất hiện 4 lần và các chữ số 1, 3, 4, 5 mỗi chữ xuất hiện 1 lần (tổng 4 + 4 = 8 chữ số). Số cách sắp xếp 8 chữ số này là hoán vị của 8 phần tử trong đó có 4 phần tử giống nhau (bốn chữ số 2): $$\frac{8!}{4!}=\frac{40320}{24}=1680.$$ Vậy lập được 1680 số, khớp với đáp án A đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Ba chức vụ (chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký) là ba vị trí khác nhau, nên đây là chọn và sắp xếp 3 người từ 25 người, tức là chỉnh hợp chập 3 của 25 phần tử: $A_{25}^3=25\cdot 24\cdot 23=13800$. Kết quả trùng với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Có 5 bóng hồng, 4 bóng trắng, mỗi bóng khác nhau.
a) Chọn 4 bóng tùy ý từ 9 bóng: $C_9^4=126$ cách → Đúng.
b) Số bóng mỗi màu bằng nhau nghĩa là 2 hồng và 2 trắng: $C_5^2\cdot C_4^2=10\cdot 6=60$ cách, không phải 50 → Sai.
c) Chọn 3 hồng và 1 trắng: $C_5^3\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách, không phải 30 → Sai.
d) Chọn 4 bóng có đủ hai màu = tổng trừ trường hợp chỉ một màu: $126-C_5^4-C_4^4=126-5-1=120$ cách → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn a)Đ, b)S, c)S, d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_9^4=126$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
2 hồng và 2 trắng: $C_5^2\cdot C_4^2=60$ cách, không phải 50.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3\cdot C_4^1=40$ cách, không phải 30.
d) (AI giải đề cho tôi)
$126-C_5^4-C_4^4=120$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ khác vectơ không được xác định bởi cặp điểm đầu – điểm cuối phân biệt, tức chọn 2 điểm từ 12 điểm và có thứ tự (điểm đầu, điểm cuối). Số vectơ là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

Chọn 1 nam làm tổ trưởng và 1 nữ tổ phó có $9\times 8=72$ cách. Chọn 1 nam làm tổ phó và 1 nữ tổ trưởng có $9\times 8=72$ cách. Số cách chọn thoả yêu cầu đề bài là $72+72=144$.

Chọn 1 nam làm tổ trưởng và 1 nữ tổ phó có $9\times 6=54$ cách. Chọn 1 nam làm tổ phó và 1 nữ tổ trưởng có $9\times 6=54$ cách. Số cách chọn thoả yêu cầu đề bài là $54+54=108$.

a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_5^2=10$. b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_5^2{C}_7^1=70$. c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_5^2{C}_7^1+C_5^1{C}_7^2=175$. d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_5^2{C}_7^1+C_5^1{C}_7^2}{C_{12}^3}=\frac{35}{44}$. Chọn đáp án [a đúng | b sai | c sai | d đúng].
a) a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_5^2=10$.
b) b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_5^2{C}_7^1=70$.
c) c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_5^2{C}_7^1+C_5^1{C}_7^2=175$.
d) d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_5^2{C}_7^1+C_5^1{C}_7^2}{C_{12}^3}=\frac{35}{44}$.

Chọn 1 nam làm tổ trưởng và 1 nữ tổ phó có $7\times 6=42$ cách. Chọn 1 nam làm tổ phó và 1 nữ tổ trưởng có $7\times 6=42$ cách. Số cách chọn thoả yêu cầu đề bài là $42+42=84$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 7 nam + 8 nữ = 15 học sinh đôi một khác nhau. Xếp 15 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 15 phần tử, số cách là $15!$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 10 chọn D).

a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_7^2=21$. b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_7^2{C}_6^1=126$. c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_7^2{C}_6^1+C_7^1{C}_6^2=231$. d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_7^2{C}_6^1+C_7^1{C}_6^2}{C_{13}^3}=\frac{21}{26}$. Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d đúng].
a) a) Số cách chọn hai học sinh nam là $C_7^2=21$.
b) b) Số cách chọn 3 học sinh gồm hai học sinh nam và một học sinh nữ là $C_7^2{C}_6^1=126$.
c) c) Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $C_7^2{C}_6^1+C_7^1{C}_6^2=231$.
d) d) Xác suất của biến cố “Chọn 3 học sinh có cả nam và nữ” là $\frac{C_7^2{C}_6^1+C_7^1{C}_6^2}{C_{13}^3}=\frac{21}{26}$.

Chọn 1 nam làm tổ trưởng và 1 nữ tổ phó có $7\times 8=56$ cách. Chọn 1 nam làm tổ phó và 1 nữ tổ trưởng có $7\times 8=56$ cách. Số cách chọn thoả yêu cầu đề bài là $56+56=112$.