Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$. a) Với $F(0)=3$ thì $C=3$, nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$ → sai. b) ${\int }_0^{1}k(3x+2)dx=k\left(\frac{3}{2}+2\right)=\frac{7k}{2}=7\Rightarrow k=2$ → đúng. c) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$ → đúng. d) ${\int }_1^3\frac{3x+2}{x}dx={\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=a+\ln b$ với $a=6,b=9$, suy ra $a+b=15\ne 9$ → sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1202: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$; $F(0)=3\Rightarrow C=3$; $F(2)=6+4+3=13\ne 7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}k(3x+2)dx=\frac{7k}{2}=7\Rightarrow k=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3\Rightarrow a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$.

Ta có $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+3x^3-2026}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+3x^2-\frac{2026}{x}\right)dx$$ $$=\left(e^x+x^3-2026\ln |x|\right){|}_1^2=e^2-e+7-2026\ln 2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=-1$, $x=5$ là $S=\underset{-1}{\overset{5}{\int }}|f(x)|dx$ vì $f(x)$ có thể âm hoặc dương trên đoạn, cần lấy giá trị tuyệt đối để diện tích luôn dương. Đáp án B khớp với đáp án của đề (mã 1202, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{6}f(x)dx={\int }_1^{4}f(x)dx+{\int }_4^{6}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{4}f(x)dx=9-(-3)=12$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1202, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$. a) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$: đúng. b) $F(0)=C=3$ nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$: sai. c) ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$, nên $k\cdot \frac{7}{2}=7\Rightarrow k=2$: đúng. d) ${\int }_1^3\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=6+\ln 9$, vậy $a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$: sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1201: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton-Leibniz, với $F$ là nguyên hàm của $f$ thì ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$; $F(0)=3\Rightarrow C=3$ nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$; $k\cdot \frac{7}{2}=7\Rightarrow k=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=6+\ln 9$, vậy $a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$.

Ta có $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+3x^3-2026}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+3x^2-\frac{2026}{x}\right)dx$$ $$=\left(e^x+x^3-2026\ln |x|\right){|}_1^2=e^2-e+7-2026\ln 2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 2), trên đoạn $[-1;0]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành tạo hình $(K)$ có diện tích 2, nên ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$. Trên đoạn $[0;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành tạo hình $(H)$ có diện tích 11, nên ${\int }_0^{2}f(x)dx=-11$. Do đó ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx=2+(-11)=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[a;c]$ và $f(x)\le 0$ trên $[c;b]$. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^b|f(x)|dx$. Xét các mệnh đề: B đúng vì $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. C đúng vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx\ge 0$, nên ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_b^{c}fdx=S$. D đúng theo công thức trên. A sai vì ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx={\int }_a^{b}f(x)dx$ là tích phân có dấu (phần âm bị trừ đi), không phải diện tích. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_1^2(3x-1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}-x\right]}_1^2=(6-2)-\left(\frac{3}{2}-1\right)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Do đó ${\int }_1^2(3x-1-5f(x))dx=\frac{7}{2}-5{\int }_1^{2}f(x)dx=\frac{7}{2}-5(-2)=3,5+10=13,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.5.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^3[f(x)+2x]dx={\int }_1^{3}f(x)dx+2{\int }_1^{3}xdx=2+2\cdot {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^3=2+(9-1)=2+8=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 405, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [1;8] ta có $\sqrt[3]{x}\ge 0$, nên diện tích cần tính là $S={\int }_1^8\sqrt[3]{x}dx={\int }_1^8{x}^{1/3}dx={\left[\frac{3}{4}{x}^{4/3}\right]}_1^8=\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1\right)=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 405, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(3x-1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}-x\right]}_1^2=(6-2)-\left(\frac{3}{2}-1\right)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Do đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(3x-1-5f(x))dx=\frac{7}{2}-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=\frac{7}{2}-5(-2)=\frac{7}{2}+10=13,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $[a;c]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, còn trên $[c;b]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx$. Kiểm tra các mệnh đề: B đúng vì $S={\int }_a^b|f(x)|dx$ luôn đúng; C đúng theo công thức vừa nêu; D đúng vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx$ nên ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_b^{c}fdx={\int }_a^{c}fdx-{\int }_c^{b}fdx=S$. Mệnh đề A sai vì ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx={\int }_a^{b}fdx$ là hiệu diện tích (tích phân có dấu), không phải diện tích hình $(H)$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;8]$ hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ không âm nên diện tích cần tính là $S={\int }_1^8\sqrt[3]{x}dx={\int }_1^8{x}^{1/3}dx={\left[\frac{3}{4}{x}^{4/3}\right]}_1^8=\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1\right)=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 404, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$, ${\int }_0^{1}g(x)dx=9$, dùng tính tuyến tính của tích phân:
a) ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx=3-9=-6\ne 6$ → Sai.
b) ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=3+9=12$ → Đúng.
c) ${\int }_0^1[2f(x)+2]dx=2\cdot 3+2\cdot (1-0)=8$ → Đúng.
d) ${\int }_0^1[3f(x)-g(x)]dx=3\cdot 3-9=0$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (A-S; B-Đ; C-Đ; D-Đ). Lưu ý: chuỗi ".c)" cuối mệnh đề d là lỗi trình bày có sẵn trong đề gốc, không ảnh hưởng nội dung toán học.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx=3-9=-6\ne 6$, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=3+9=12$, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[2f(x)+2]dx=2\cdot 3+2=8$, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[3f(x)-g(x)]dx=9-9=0$, mệnh đề đúng. Chuỗi ".c)" cuối câu là lỗi in trong đề gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=3x$, $g(x)=3\cos x$:
a) $\int [2f(x)+3g(x)]dx=\int (6x+9\cos x)dx=3x^2+9\sin x+C$ → Đúng.
b) ${\int }_0^{\pi /2}3\cos xdx=3\sin x{|}_0^{\pi /2}=3(1-0)=3$ → Đúng.
c) $\int [2f(x)-g(x)]dx=\int (6x-3\cos x)dx=3x^2-3\sin x+C$, khác $\frac{3x^2}{2}+3\sin x+C$ → Sai.
d) ${\int }_{-1}^{1}3xdx=\frac{3x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$ (hàm lẻ) → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ; B-Đ; C-S; D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (6x+9\cos x)dx=3x^2+9\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi /2}3\cos xdx=3\sin x{|}_0^{\pi /2}=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $3x^2-3\sin x+C$, không phải $\frac{3x^2}{2}+3\sin x+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3x$ là hàm lẻ nên tích phân trên đoạn đối xứng $[-1;1]$ bằng 0.

Đáp án: 4,83.
Lời giải chi tiết: $$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-3x+2\right|dx\approx 4,83$$

Đáp án: 5.
Lời giải chi tiết: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(2\sin x-\cos x\right)dx=\left(-2\cos x-\sin x\right){|}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=2;b=-1\Rightarrow a^2+b^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì $I={\int }_a^{b}6x^{5}dx=6{\int }_a^b{x}^{5}dx=6J$ nên $J=\frac{I}{6}$, không phải $J=6I$. b) Đúng. Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$. c) Đúng. ${\int }_0^4[2f(x)+3]dx={\int }_0^4(12x^5+3)dx={\left[2x^6+3x\right]}_0^4=2\cdot 4096+12=8204$. d) Sai. $-g(x)=2e^x$ nên ${\int }_0^1[-g(x)+5]dx={\int }_0^1(2e^x+5)dx={\left[2e^x+5x\right]}_0^1=(2e+5)-(2)=2e+3\ne 2e-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I={\int }_a^{b}6x^{5}dx=6{\int }_a^b{x}^{5}dx=6J$, suy ra $J=\frac{I}{6}\ne 6I$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^4(12x^5+3)dx={\left[2x^6+3x\right]}_0^4=2\cdot 4096+12=8204$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(2e^x+5)dx={\left[2e^x+5x\right]}_0^1=2e+3\ne 2e-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Cho $f(x)=2x$, $g(x)=3\cos x$.
a) ${\int }_{-10}^{7}2xdx={\left[x^2\right]}_{-10}^7=49-100=-51$ → Đúng.
b) ${\int }_0^{\pi }3\cos xdx={\left[3\sin x\right]}_0^{\pi }=3\sin \pi -3\sin 0=0\ne 2\pi$ → Sai.
c) $\int (2x+3\sin x)dx=x^2-3\cos x+C$ (vì $(x^2-3\cos x{)}^{\prime }=2x+3\sin x$) → Đúng.
d) $\int (2x-\pi \sin x)dx=x^2+\pi \cos x+C\ne x^2-{\pi }^2\cos x+C$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-10}^{7}2xdx={\left[x^2\right]}_{-10}^7=49-100=-51$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }3\cos xdx={\left[3\sin x\right]}_0^{\pi }=0\ne 2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3\cos x+C{)}^{\prime }=2x+3\sin x$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2x-\pi \sin x)dx=x^2+\pi \cos x+C\ne x^2-{\pi }^2\cos x+C$.