Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^5[f(x)+5]dx={\int }_0^{5}f(x)dx+{\int }_0^{5}5dx=3+5\cdot (5-0)=3+25=28$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 4 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích cần tính là $S={\int }_1^3(x^2+2)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x\right){|}_1^3=\left(9+6\right)-\left(\frac{1}{3}+2\right)=15-\frac{7}{3}=\frac{38}{3}\approx 12,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 12,7.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7: parabol trên $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm nét đứt $(2;1)$ nên $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$; parabol dưới $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$, đối xứng qua trục hoành dạng $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$. Giải phương trình giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff x^2=6\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, nên diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8(d{m}^2).$$ Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2 = 9,8).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[5f(x)-g(x)]dx=5{\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=5\cdot 2-6=10-6=4$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^5[f(x)+3]dx={\int }_0^{5}f(x)dx+{\int }_0^{5}3dx=3+3\cdot (5-0)=3+15=18$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A={\int }_0^{4}f(x)dx$, $B={\int }_0^{4}g(x)dx$. Từ giả thiết: ${\int }_0^4[-f(x)-g(x)]dx=-A-B=-8\Rightarrow A+B=8$; và ${\int }_0^4[-2f(x)+g(x)]dx=-2A+B=-1$. Trừ hai phương trình: $(-2A+B)-(A+B)=-1-8\Rightarrow -3A=-9\Rightarrow A=3$, suy ra $B=5$. Vậy ${\int }_0^4[2f(x)+g(x)]dx=2A+B=6+5=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[2f(x)-3g(x)]dx=2{\int }_1^{2}f(x)dx-3{\int }_1^{2}g(x)dx=2\cdot 3-3\cdot (-2)=6+6=12$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;2], hàm số y = x^2 - 2x ≤ 0 (đồ thị nằm dưới trục hoành, cắt trục tại x = 0 và x = 2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành được tính bằng công thức S = ∫|f(x)|dx trên đoạn đó, tức là S = ∫₀² |x² - 2x| dx. Loại A vì thiếu giá trị tuyệt đối (tích phân sẽ âm). Loại B, C vì có thừa hệ số π (chỉ dùng khi tính thể tích vật thể quay). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[2f(x)-3g(x)]dx=2{\int }_1^{2}f(x)dx-3{\int }_1^{2}g(x)dx=2\cdot 3-3\cdot (-2)=6+6=12$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A={\int }_0^{2}f(x)dx$, $B={\int }_0^{2}g(x)dx$. Từ giả thiết: $-A-3B=20$ và $3A-2B=-5$. Từ phương trình đầu, $A=-20-3B$. Thay vào phương trình thứ hai: $3(-20-3B)-2B=-5\Rightarrow -60-11B=-5\Rightarrow B=-5$, suy ra $A=-20-3(-5)=-5$. Khi đó ${\int }_0^2[3f(x)+2g(x)]dx=3A+2B=3(-5)+2(-5)=-25$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2-2x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ được tính bằng công thức $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|\mathrm{d}x$. Các phương án B, D có thừa hệ số $\pi$ (thuộc thể tích khối tròn xoay), phương án C thiếu giá trị tuyệt đối (sai vì $x^2-2x\le 0$ trên $[0;2]$ nên tích phân cho giá trị âm). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;2], hàm số y=x^2-2x≤0 nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường x=0, x=2 là S=∫₀² |x²−2x| dx. Phương án A thiếu giá trị tuyệt đối (sai dấu, cho kết quả âm); C, D có hệ số π dùng cho thể tích khối tròn xoay. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $F={\int }_1^{5}f(x)dx$, $G={\int }_1^{5}g(x)dx$. Từ giả thiết: $2F+3G=15$ và $-F-G=-6\Rightarrow F+G=6$. Giải hệ: $F=15-3\cdot 6=-3$... kiểm tra lại: từ $F+G=6$ suy ra $G=6-F$, thay vào $2F+3(6-F)=15\Rightarrow -F=-3\Rightarrow F=3$, $G=3$. Khi đó ${\int }_1^5[3f(x)+2g(x)]dx=3F+2G=9+6=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[2f(x)-3g(x)]dx=2{\int }_1^{2}f(x)dx-3{\int }_1^{2}g(x)dx=2\cdot 3-3\cdot (-2)=6+6=12$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[2f(x)-3g(x)]dx=2{\int }_1^{2}f(x)dx-3{\int }_1^{2}g(x)dx=2\cdot 3-3\cdot (-2)=6+6=12$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $F={\int }_0^{1}f(x)dx$, $G={\int }_0^{1}g(x)dx$. Theo giả thiết: $2F-3G=28$ và $F+3G=-4$. Cộng hai phương trình: $3F=24\Rightarrow F=8$; suy ra $G=-4-8=-12$. Khi đó ${\int }_0^1[-f(x)+g(x)]dx=-F+G=-8-12=-12$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;2], hàm số y = x^2 - 2x ≤ 0 nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường x = 0, x = 2 là S = ∫₀² |x² - 2x| dx. Các phương án có hệ số π dùng cho thể tích khối tròn xoay, không phải diện tích; phương án A thiếu giá trị tuyệt đối nên cho kết quả âm. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích cần tính là $S={\int }_1^2(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_1^2=\left(\frac{8}{3}+2\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{10}{3}\approx 3,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, parabol $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm $(2;1)$ (đường nét đứt), nên $f(x)=a{x}^2+2$ với $4a+2=1\Rightarrow a=-\frac{1}{4}$, tức $f(x)=-\frac{x^2}{4}+2$. Parabol $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$ và cùng hệ số dạng nên $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (điểm $(2;0)$ thuộc $g$). Phương trình hoành độ giao điểm: $-\frac{x^2}{4}+2=\frac{x^2}{4}-1\iff \frac{x^2}{2}=3\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$. Diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2\left(3x-\frac{x^3}{6}\right){|}_0^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\sqrt{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798.$$ Làm tròn đến hàng phần mười: $a\approx 9,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $9,8$.